阅读与思考对数的发明

对数的发明讲课教师 职克明教学设计一、 对数的地位对数是初等数学的重要内容之一,它在数学史上有一定的地位和研究价值二、 对数产生过程中的关键人物时间与相关故事与著作.本文在前人工作的基础上,通过对现有文献的解读和分析,对对数历史的发展过程进行了较为详细的探讨和研究.主要工作如下： 一、通过对阿基米德、斯蒂菲尔等科学家工作的分析和比较研究,发现他们的思想为对数的最终发明提供了一定的启迪和思考. 二、深入探究了纳皮尔和比尔吉的工作.指出：纳皮尔是用几何的方法发明了对数,而比尔吉是用代数的方法发明了对数.同时,对他们的相关工作进行了比较分析. 三、对布里格斯发明常用对数的过程进行了详细的阐述,并论述了常用对数在欧洲的发展及其影响.揭示了常用对数比纳皮尔的对数更加实用. 四、论述了自然对数诞生的过程.分析了自然对数的几何模型及其底e的伯努利模型,旨在使人们从本质上更深刻地了解它们,再现了常数e在数学史上的重要地位. 五、简要考察了复数的对数理论.澄清了莱布尼兹、伯努利和欧拉三人之间关于复数对数的争论.使人们对对数有了更进一步的理解和认识.对数和它的发明者1614年,居住在爱丁堡的一位苏格兰贵族公布了他的一项重要发明的详情,这个消息很快传开了,第二年,经过一些通信联系后,一位数学教授乘坐马车从伦敦出发,前往爱丁堡,去会见这位他无比崇敬的天才的苏格兰人,这位数学教授在旅途日记中写道这个苏格兰人的前额一定很高,因为他头脑发达,否则难以做出如此惊人的发明.由于意外的事故,教授在路上延误了时间,正在爱丁堡焦急等待的苏格兰贵族终于失望了,他向一位朋友抱忽道:“教授不会来了,”可就在这时,教授出现在他的面前,他们在沉默中相互凝视了达一刻钟之久,后来,教授说:“阁下,我经历了长途跋涉专程来看望你,就是想要知道是怎样富有聪明才智的头脑,才使得你首先想出对于天文学的这一极好的帮助,阁下,你发现了它,现在看来很容易的,但是我很奇怪,在此之前为什么没有人能够发现它呢?”这位教授作为贵宾在贵族的城堡里留了一个月之久这位苏格兰贵族就是梅尔挈斯领保的酣普这位苏格兰贵族就是梅尔契斯顿堡的耐普尔( Napier,15501617);去访问他的数学家就是伦敦格雷舍姆学院的几何学教授H布里格斯( Briggs,1561-1631);那项重要的发明就是对数节省大量人力的计算方法之一,它无疑是数学史上的一个里程碑现在我们知道,对数作为一种计算方法的功能在于:通过对数,可以把乘除运算化为较简单的加减运算.这种化简的原始思想,在三角公式中已见端倪,而这个公式在耐普尔时代已为人们熟知,耐普尔的思路很可能就是从这个公式出发的,因为否则很难解释为什么最初他仅限于研究角的正弦的对数.耐普尔潜心研究他的理论二十余年,于1614年在一本题为奇妙的对数定理说明书的小册子中,发表了他关于对数的讨论,并给出了以弧分为间隔的角的正弦的耐普尔对数表.这部著作立即引起了人们广泛的兴趣.当布里格斯于1615年访问耐普尔时,两人一致认为:如果把对数改变一下,使得1的对数为0,10的对数为10的一个适当的次幂,编造出来的对数表就会更有用.于是,也就有了今天的常用对数表,这种对数实质上是以10为底的对数,在数值计算上有很大的优越性,因为我们的数系是以10为基数的布里格斯访问耐普尔以后返回伦敦,以其全部精力编制常用对数表,并于1624年出版了他的对数算术一书,其中包括从1到20000和从90000到100000的十四位常用对数表.后来,靠荷兰的一位出版者兼书商A弗拉寇(v1acq,1600-166)的帮助,填补了从20000到90000之间的空缺.布里格斯和费拉寇发表的四个基本的对数表,直到1924年和1949年之间,才被为纪念对数发现三百周年在英国算出的二十位对数表所代替1 0garish(对数)一词的含义是“比数”耐普尔最初用的是 artificalnumber(人造数),后来才用 logarithm耐普尔的惊人发明被整个欧洲积极采用;特别是天文学界,简直为这项发明而沸腾起来了,拉普拉斯就认为:对数的发明“以其节省劳力而使天文学家的寿命增加一倍”耐普尔出生于苏格兰首府爱丁堡的豪华的贵族庄园梅尔契斯顿堡,他一生全部时间都居住在家乡,1617年,即他向全世界公布了他的伟大发明之后的第三年,于家乡去世。1614年6月，苏格兰数学家约翰.纳皮尔在爱丁堡出版了奇妙的对数定律说明书（Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio）一书，全面总结了这一重要发明。对数与指数有内在的联系，但当时指数的概念尚未形成，对数的建立，并不是从指数出发的。薛凤祚少时随魏文魁学习中国历算。后于清顺治三年(公元1646年)在南京结识波兰传教士穆尼阁，随他学习西方自然科学。顺治九年(1652)前后，薛凤祚至南京，拜波兰传教士穆尼阁(Smogulecki)为师，从事天文、历法学和算学研究，学习西方新法。穆尼阁博学多才，具有丰富的天文、数学知识，在物理、化学方面也颇有造诣，为第一个在中国传播哥白尼天体运行论者。薛凤祚与穆尼阁合作，介绍翻译西方科学，协同翻译西方天文历算著作天步真原。历学会通内容涉及天文数学医药物理水利火器等。主要是介绍天文学和数学。天文部分有太阳太阴诸行法原、木星火星土星经行法原、交蚀法原、历年甲子、求岁实、五星高行、交蚀表、经侵行签、西域回回术、西域表、今西法选要、今法表等。书中既翻译介绍了欧洲天文学和阿拉伯天文学，也有中国传统的方法，力求将中西回各法融会贯通。他是继崇祯历书之后最先系统介绍按第谷体系计算太阳月亮行星交蚀等方法的天文学家。在计算中首次引进了对数三角函数对数。将西方的六十进位制改成十进位制，重新编制三角函数对数表，还介绍了一至二万的常用对数表。薛凤祚所著历学会通的数学部分主要是传自穆尼阁的比例对数表、比例四线新表和三角算法等各一卷。比例对数表和比例四线新表分别给出了1-20000的六位对数表和六位三角函数（正弦、余弦、正切、余切）对数表。书中把“对数”称为“比例数”或“假数”，并简单解释了把乘除运算化为加减运算的道理。这是对数方法在中国的首次介绍。与项名达同时研究三角函数的幂级数展开式和椭圆求周等问题，并代项氏续成遗著。他的代表作有对数简法等四种九卷，合刊成求表捷术。得出了指数为任意实数的二项展开式、对数展开式及三角函数对数展开式，并用来计算对数表。戴煦和项名达共同发现了指数为有理数的二项式定理。1项名达所著作的象数一原的主要内容是论述三角函数幂级数展开式问题，他撰写此书时已年老病重，仅写成整分起度弦矢率论、半分起度弦矢率论、零分起度弦矢率论（两卷）、诸术通诠、诸术明变，图一共6卷。其中卷四和卷六未能完稿，戴煦遵从他的嘱托于咸丰七年（1857）补写完成，并为椭圆求周术补作图解1卷,故现传本象数一原共 7卷。在此书中，项名达推广了明安图和董祐诚的结果。董祐诚同明安图一样，也用连比例的方法讨论了全弧与分弧所对的弦的关系以及全弧和分弧的中矢（即该弧所张的弓形的高），得到四个幂级数公式。项名达进一步归纳为下列两个公式:设n和m分别为圆内某弧的n倍和m倍弧长，vn和vm分别为相应的中矢，r为圆半径，则有 （图一）：由这两个公式可推导出明安图的九个公式和董祐诚的四个公式，其中包括正弦和反正弦的幂级数展开式、正矢和反正矢的幂级数展开式以及圆周率 的无穷级数表达式等。项名达的另一项成就是求出椭圆周长公式（图二）：图二式中p为椭圆周长，e为椭圆离心率，与b为椭圆长半轴与短半轴。这是中国在二次曲线研究方面最早的重要成果。他还据此推出圆周率倒数公式（图三）：图三项名达与戴煦还共同讨论求二项式n次根的简法，在开诸乘方捷术中提出了幂指数为 1/n的二项式定理以及用逐次逼近法开n次方的递推公式（图四）：图四按上述公式逐次求得的k+1，即为准确到不同程度的近似值。勾股六术与三角和较术内容浅显易懂，是项名达为初学者撰写的数学入门书。在这两卷书中,对于勾股形、平面三角形及球面三角形的各边及其和、差的互求关系，做了较系统的分类与总结。人物著作编辑著有对数简法、四元玉鉴细草等。学术简介编辑学术成就戴煦在研究无穷级数时发现了“开方求对数”的简便方法，并在此基础上补充了“定理级对数”和“自然对数级数术”两项定理，比当时世界上的先进算法要简单实用得多。著作影响戴煦一生论著颇多，除了重差图说外，还著有对数简法、续对数简法、外切密率、假数测圆和求表捷术等著作。这一切充分显示了戴煦在数学领域中的领先地位。当时在上海的英国