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文档简介

特征值与特征向量 探究 1 计算下列结果 以上的计算结果与的关系是怎样的 2 计算下列结果 以上的计算结果与的关系是怎样的 例题分析 Ma la l为矩阵M的特征值 a为矩阵M的属于特征值l的特征向量 特征值及特征向量的定义 建构数学 设矩阵A 如果对于实数l 存在一个 非零向量a 使得Aa la 则称l是矩阵A的一个特征值 a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量 从几何上看 特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后 保持在同一条直线上 这时 特征向量或者方向不变 l 0 或者方向相反 l 0 特别地 当l 0时 特征向量被变换成了0向量 设l是矩阵A 的一个特征值 它的一个 特征向量为 则 即满足方程组 故 因l 0 所以x y不全为0 此时Dx 0 Dy 0 则D 0 即 建构数学 设矩阵A l R 我们把行列式 称为A的特征多项式 分析表明 如果l是矩阵A的特征值 则f l 0 此时 将l代入方程组 得到一组非零解 即为矩阵A的属于l的一个特征向量 数学运用 例1 求出矩阵A 的特征值和特征向量 能否从几何变换的角度直接观察出矩阵A的特征向量 思考 总结求二阶矩阵特征值与特征向量的步骤 其几何意义是什么 如果a是矩阵A的属于特征值l的一个特征向量 则对任意的非零常数t ta也是矩阵A的属于特征值l的特征向量 定理1 属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线 属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线 定理2 属于矩阵的不同特征值的特征向量有何关系 思考 探究 1 矩阵A 的特征向量是什么 怎样从几何角度加以解释 2 从几何角度解释 的特征向量 知识回顾
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