凸函数的性质及其应用.doc

编号编号 学学士士学学位位论论文文 凸函数的性质及其应用凸函数的性质及其应用 学生姓名 胡 金 学 号 20080102014 系 部 数学系 专 业 数学与应用数学 年 级 08 级 指导教师 宋爱丽 完成日期 2012 年 4 月 30 日 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 摘要 凸函数是数学分析中的一个重要的概念 本文首先给出了凸函数的定义 然后给出了凸函数的几种性质及其等价性质 其次叙述凸函数常用的几种判别 方法 最后给出凸函数在微分学 积分学 不等式证明及在高考数学中的应用 关键词 关键词 凸函数 定义 性质 判别 The nature of the convex function and its application Abstract Convex function is one of the important mathematical analysis of the concept this paper presents the definition of the convex function and then gives some properties of convex function and its equivalent properties second narrative convex function of several normal identifying method and finally gives convex function in differential calculus the integral calculus inequality certificate and the application in mathematics Key words convex function definition properties discriminant 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS I 目 录 摘要 I ABSTRACTABSTRACT I 引言 1 1 1 凸函数的等价刻划 1 1 1 凸函数的定义 1 1 2 连续条件下凸函数的等价刻划 4 1 3 一阶导数存在下凸函数的等价刻划 4 1 4 二阶导数存在下凸函数的等价刻划 6 1 5 补充定理 6 2 2 凸函数的性质 6 性质 2 1 6 性质 2 2 8 性质 2 3 9 性质 2 4 10 性质 2 5 10 3 3 凸函数的应用 12 3 1 在微分学中的应用 12 3 2 凸函数的积分性质 14 3 3 利用凸函数的性质证明不等式 17 3 4 用凸函数的性质分析高考题 21 参考文献 24 结束语结束语 25 致谢 25 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 1 引言 凸函数是一类重要的函数 它的的概念最早见于 jensen 1905 著述中 它 在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用 现已成为数学规划 对 策论 数理经济学 变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具 为了理 论上的突破 加强它们在实践中的应用 产生了广义凸函数 对于凸函数的研 究 在数学分析的多个分支都有用处 特别是在函数图形的描绘和不等式的证 明推导方面 凸函数起着十分重要的作用凸函数有其良好而独特的性质 由于 凸函数理论的广泛性及其在数学各个领域都有广泛的应用 因此还应该对凸函 数的理论作进一步的探讨 本文在已有的研究基础之上 总结了凸函数常用的 定义及其等价关系 而后给出其一些很好的性质 利用这些性质将有助于我们 解决许多不等式问题 在本文的第三部分将会详述 1 1 凸函数的等价刻划 1 11 1 凸函数的定义凸函数的定义 定义定义 1 1 设在区间 I 上有定义 在区间 I 称为是凸函数当且仅当 f x f x 有上式中 改成 12 0 1 x xI 1212 1 1 fxxf xf x 则是严格凸函数的定义 1905 年丹麦数学家 jensen 首次给出如下定义 定义定义 2 2 设在区 f x 间 I 上有定义 在区间 I 称为是凸函数当且仅当 有 f x 12 x xI 1212 22 xxf xf x f 定义定义 3 设在区间 I 上有定义 在区间 I 称为是凸函数当且仅当 f x f x 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 2 有 1 2 n x xxI 1212 nn xxxf xf xf x f nn 引理引理 1 1 定义 2 与定义 3 等价 证明证明 定义 3定义 2 只需取即可 定义 2定义 3 用数学归纳法 2n 1 由定义 2 时定义 3 显然成立 而时 有 2n 4n 1234 x x x xI 3412 3412 1234 22 22 422 xxxx xxxx ff xxxx ff 1234 4 f xf xf xf x 即对于也成立 对于任意自然数 将定义 2 中式子应用到 n 次 有 4n n 即定义 3 对于成立 1212 22 22 nn nn xxxf xf xf x f 2nk 2 设当时 定义 3 中式子成立1kn 即 令 121121 11 nn xxxf xf xf x f nn 12 n xxx A n 则 则 由于定义 3 中式子对于 12 n xxxnA 12 1 n xxxA A n 成立 故1kn 1212 11 nn xxxAf xf xf xf A f Af nn 不等式两端同乘 再减去 再除以 得到 1n f An 则定义 3 中式子对于一切自 1212 nn xxxf xf xf x f nn 然数成立 引理引理 2 2 若连续 则定义 1 2 3 等价 f x 证明证明 1 定义 1定义 2 在定义 1 中令 可得 1 2 1212 1212 1 1 22 xxf xf x ffxxf xf x 12 x xI 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 3 2 定义 2定义 1 为任意实数 12 x xI 0 1 若为有理数 设 为自然数 m n mn m n 12111222 1212 1 1 mxnm xxxxxxxmm fxt xfxxff nnnn 1122 1212 1 1 f xf xf xf xmm f xf xf xf x nnn 若为无理数 则存在有理数列 使 由的连续 0 1 0 1 n lim n n f x 性 121212 1 lim 1 lim 1 nnnn n n fxxfxxfxx 1212 lim 1 1 nnn n f xf xf xf x 即定义 1 中式子对任意成立 0 1 由引理 1 可知定义 2 与定义 3 等价 故定义 1 2 3 等价 事实上函数如果为凸函数我们可以断定此函数一定连续 下面我们给出 f x 一定理对此进行阐释 定理定理 1 1 若函数在 I 上有定义且是凸的 则函数是 I 上的连续函 f x f x 数 证明证明 在区间上任取一点 总存在一个闭区间 且 I 0 x a bI 0 xa b 从而在有界 即 满足 取点的邻 f x a b M Nxa b Nf xM 0 x 域 且该邻域含于内 不妨设 且令 0 xx a b 0 0 xx 0 xx t 则 当时 有 且01t 00 xxx 00 1 xt xt x 由凸函数的性质得 00 1 11 t xxx tt 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 4 000 1 1 f xtf xt f xMtt f x 即有 1 00 f xf xt Mf x 及 00 1 11 t f xf xf x tt 即有 2 00 f xf xt f xM 由 1 2 式可知 0000 1 f xf xt f xMf xM xx 当时 有 故在处右连续 当时 0 xx 0 f xf x f x 0 x 00 xxx 同样可证在处左连续 f x 0 x 证毕 1 21 2 连续条件下凸函数的连续条件下凸函数的等价刻划等价刻划 定理定理 2 2 设函数在区间内有定义 在连续 f x a b f x a b 12 x xa b 2 1 1212 12 21 1 22 x x xxf xf x xxff t dt xx 则称为区间上的凸函数 f x a b 1 31 3 一阶导数存在下凸函数的等价刻划一阶导数存在下凸函数的等价刻划 定理定理 3 3 在区间 I 上有定义 当且仅当曲线的切线恒保持在曲 f x yf x 线以下 则成为凸函数 若除切点之外 切线严格保持在曲线下方 则称曲线 f x 为严格凸的 f x 定理定理 4 4 判定定理 判定定理 设在区间 I 上有导数 则在 I 上为凸函数 f x f x 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 5 的充要条件是递增 fxI x 证明证明 充分性 不妨设及记 12 x xI 12 xx 0 1 则 或 12 1 xxx 1212 1 1 f xfxxf xf x 1 12 1 0f xf xf x 由于 1 式等价于 1 f xf xf x 2 12 1 0f xf xf xf x 应用定理 使得Largrange 12 xx 1212 1 1 f xf xf xf xfxxfxx 但 112121 1 1 xxxxxxx 212212 1 xxxxxxx 故 2 式左端 12 1 f xf xf xf x 221 1 1 fxxfxx 21 1 xxff 按已知条件递增 得知 从而上式0 2 式获证 fxI x ff 必要性 由定理 1 的推论 4 在内为递增的 因存在 故 fx 0 I fx 亦在内为递增的 若 I 有右端点 b 按照已知条件 f 在 b 点有左 fxfx 0 I 导数 易知 0 xI f xf b fxfxfbf b xb 同理 若 I 有左端点 a 则即在 I 上为递增的 fafx fx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 6 1 41 4 二阶导数存在下凸函数的等价刻划二阶导数存在下凸函数的等价刻划 定理定理 5 5 判定定理 判定定理 若在区间 I 上有二阶导数 则在 I 上为凸 f x f x 函数的充要条件是 0fx 证明 证明 必要性 在内的充要条件是在内为递增 由定I 0fx fx I 理 4 即证得 充分性 若在内 知是内的不减函数 再由定I 0fx fx I 理 4 即得证 1 51 5 补充定理补充定理 引理引理 3 3 区间上的函数是一个凸函数的充分必要条件为 对于区间上IfI 的任意三点 当时 有 321 xxx 321 xxx 0 312231123 xfxxxfxxxfxx 证明 证明 此式子即为性质 2 1 中式子的变式 2 2 凸函数的性质 性质性质 2 12 1 设在区间 I 上有定义 则以下条件等价 其中各不等式要 f x 求对任意 保持成立 123 x x xI 123 xxx i 在 I 上为凸函数 1 f x ii 2 21 21 f xf x xx 31 31 f xf x xx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 7 iii 3 3132 3132 f xf xf xf x xxxx iv 4 21 21 f xf x xx 32 32 f xf x xx 推论推论 1 1 若在区间 I 上为凸函数 则 I 上任意三点 有 f x 123 xxx 21 21 f xf x xx 31 31 f xf x xx 32 32 f xf x xx 推论推论 2 2 若在区间 I 上的凸函数 则过的弦的斜率 f x 0 xI 0 x k x 是 x 的增函数 若为严格凸的 则严格增 0 0 f xf x xx f k x 推论推论 3 3 若是区间 I 上的凸函数 则 I 上任意四点 s t u0 hha b 若取 由凸性 12 x x 12 xx 32 xxh 其中分别表示在 3221 2132 f xf xf xf xMm xxxxh M m f x 上的上下界 从而 2 hh 2121 Mm f xf xxx h 若 可取由的凸性 有 21 xx 32 xxh f x 23 12 2312 f xf xf xf x xxxx 从而 由此可得 2 式成立 21 32 2132 f xf xf xf xMm xxxxh 若 则 2 式明显成立 这就证明了 2 式对一切皆成立 12 xx 12 x x 因此 2 式当与互换位置也成立 故有 令 1 x 2 x 2121 Mm f xf xxx h 则 1 式也获证 Mm L h 例例 3 3 设为区间内的凸函数 并且有界 试证极限 与 f x a blim xa f x 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 14 存在 lim xb f x 证明证明 设时为内任意三点 根据的x a b 10 x f x M xx a b f x 凸性 当 x 递增时也递增 又因为 0 0 f xf x xx 根据单调有界原理 有极限 00 10 010 f xf xMf x xxx xxxx 0 0 0 lim xb f xf x A xx 从而 亦存在 0 0000 0 lim lim xbxb f xf x f xxxf xA bxf x xx 3 23 2 凸函数的积分性质凸函数的积分性质 将凸性与函数的连续性 甚至单侧连续性 单调性等联系起来 应用到积 分学中可以得到许多好的结论 我们举例如下 例例 4 4 设是区间 a b 上的凸函数 则 xf 2 ba f dxxf ab b a 1 2 bfaf 证明证明 设是上的凸函数 故有意义 当 x时 xf ba dxxf b a b ba 2 a b x 2 ba a 故 2 ba f 2 xxba f 2 1 xfxbaf 即 xfxbaf 2 2 ba f 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 15 又因 dxxf b a b ba ba a dxxfdxxf 2 2 令 x a b u 得 2 ba a dxxf b ba duubaf 2 b ba dxxbaf 2 故 b dxxf b a b ba dxxfxbaf 2 b ba dx ba f 2 2 2 a 2 ba f 从而 2 ba f b a dxxf ab 1 作变换 t 则有 ab xb b a dxxf b a dtbabttaf 0 1 1 1 0 1 dtbtta 1 0 1 dxbftatfab 2 bfaf ab 从而 b a dxxf ab 1 2 bfaf 综上知 2 ba f b a dxxf ab 1 2 bfaf 例例 5 5 设函数在上递增 试证 函数为凸 g x a b ca b x c f xg x 函数 证明证明 因 递增 积分有意义 且 g x 123 xxx 2 1 21 2 2121 1 x x f xf x g x dxg x xxxx 3 2 32 3232 1 x x f xf x g x dx xxxx 故由性质 1 知为凸函数 f x 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 16 例例 6 6 设为上的凸函数 证明 有 f x a b c xa b 1 xx cc f xf cft dtft dt 证明证明 因为凸函数 由性质 1 推论 4 存在且递增 当 f x ft ft 故 1 中的积分有意义 对任作一分划 ta b c x 有 参看性质 2 我 012 n cxxxxx 1 1 n ii i f xf cf xf x 们有 111 iiiii f xf xfxxx 11 iiiii f xf xfxxx 于是由 1 式知 11 1 n iii i fxxxf xf c 1 1 n iii i fxxx 将分划无限分细 令 1 max 0 ii xx 取极限可知 x c fx dxf xf c 同理有 x c fx dxf xf c 例例 7 7 设 是上的一个凸函数 则对于 f 0 0 bb bayx 时byxyx 有 a y x yx dttf xy dttf yx 1 1 0 证明证明 不妨设 当时 a 显然成立 当时 设yx 0 x0 x x dttf x xF 0 1 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 17 那么由已知性质 函数 F 任是上的凸函数 而由引理 3 得 b 0yxyx 0 yxFxyyyFxxF 即 0 000 xxyx dttf yx xy dttfdttf 再注意到既得所证不等式 xydttfdttfdttf y x yx 00 3 33 3 利用凸函数的性质证明不等式利用凸函数的性质证明不等式 利用凸函数证明不等式已经有了许多结果 我们所做的就是由性质 4 证明了 不等式 并且利用不等式证明了几个复杂的不等式 HolderJensen 例例 8 8 设 证明 3 5 2 x 21231532 19xxx 证明证明 由于函数在区间上是凸函数 由凸函数的性质 即性yx 0 质 4 有 21231531123153xxxxxxx 1123 153 4214 4 xxxx x 由于不可能同时相等 从而有1 23 153xxx 21231532142 19xxxx 例例 9 9 设函数是区间上的凸函数 对于 f x 0 则 12 0 n x xx 1212 1 0 nn f xf xf xnff xxx 证证 明明 由于 则由性质 1 中 4 式 有 12 0 iinn xxxxxx 12 12 0 0 iininn iininn f xff xxf xf xxxf x xxxxxxxx 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 18 即 12 121 0 i inn n x f xff xxxf x xxx 令 对上式两边求和 有1 21in 1 12 1 0 n inn i f xff xxxf x 即 1212 1 0 nn f xf xf xnff xxx 例例 1010 设及则有 赫尔 11 1 1 1 0 0 1 2 ii abin Holder 德 不等式成立 当且仅当与成正比例时等号成立 1 1 111 nnn iiii iii abab i a i b 证明证明 取 因为 f x 1 0 xx 1 0 xx 所以在上为凸函数 由性质 4 得 2 1 0fxx f xx 0 1 1221 122 1212 nnnn nn t xt xt xt xt xt x tttttt 即 亦即 1 111 nnn iiiii iii t xt xt 11 111 nnn iiiii iii t xt xt 令 则有 于是有 1 1111 1 1 1 111 nnn iiiii iii t xt xt 令 则有 1 11 111 nnn iiiiiiiiii iii t xt xttbxta 1 1 111 nnn iiii iii abab 当与成正比例时 即 为正常数 i a i b ii akb k1 21 inn 111 111 1 11111 nnnnn iiiiiiii iiiii abkbk babab 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 19 当与不成正比例时 不全相等 又因为在为严格凸函 i a i b i t f xx 0 数 故严格不等式成立 例例 1111 设和 是两组正数 证明 12 n a aa 12 n q qq 1 1 n i q 1 11 1 n qq nnn aq aq a a 证明证明 要证原不等式即要证明 111 1 ln lnln nnnn qaqaq aq a 令 则由于 所以为凹函数 由不等 lnf xx 0 x 2 1 0fx x fJensen 式 即得所证 1 11122 nnnn f q aq aq f aq f aq f a 例例 1212 证明 12 0 1 2 1 n in aaa aipA n 设 1 11 1 mm pp nnn nn p AAa p 证明证明 设 则 0 0A 11 1 1111 1 11 mmmm pppp nnnnnnn nnnn pp AAaAAnAnA pp 1 1 111 1 11 mmm ppp nnnn nnn pp AnAnAA pp 1 11 1 11 1 1 1 11 p mm ppp nnn nn pnp AnAnA pp 用不等式 Holder 1 1 1 11 1 1 111 1 1 1 11 p p p pp p pmmm ppp nnn nnn pnp AnAnA pp 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 20 1 111 11 1 1 1 11 mmm ppp nnn nnn pnpp AnAnA pppp 1 11 1 11 11 mm pp nk nk pn AnkA pp 11 1 11 11 mm pp nk nk pn AnkA pp 1 11 0 11 m p n n pnn An pp 所以 1 11 1 mm pp nnn nn p AAa p 由于不等式中等号成立的条件是均为常数 而 Holder 1 1 2 n n A nm A 0 0A 这实际上是不可能的 所以上式中的等号不成立 例例 1313 证明不等式 其中均为正数 3 a b c abc a b c abc a b c 证证 明明 设 由可见 ln 0f xxx x 1 ln1 fxxfx x 在时为严格凸函数 由不等式有 lnf xxx 0 x Jensen 1 33 abc ff af bf c 从而 即 1 ln lnlnln 333 abcabc aabbcc 3 a b cabc abc a b c 又因 所以 3 3 abc abc 3 a b c abc a b c abc 例例 1414 应用不等式证明 设 有 Jensen0 1 2 i in a 12 12 12 111 n n n n aaa aaan a aa n 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 21 证明证明 取函数 因为是区间 lnf xx 0 x 2 1 0 fx x f 上严格凹函数 则对及 0 12 0 n a aa 1 1 2 i in nN n 1 则上式等号成立 12 n aaa 2 若不全相等 则由不等式 1 2 n a aaJensen 11 nn iiii ii faf a 即 12 1212 11 ln lnln ln ln n nn aaa aaaa aa nnnnn 11 11 nn ii ii ii ff aa 即 121212 111111111 ln lnln ln ln nnn nanananaaana aa 12 11 1111 ln lnln n n na aa aaan 因为在上单调递增 综合 结论得f 0 命题成立 12 12 12 111 n n n n aaa aaan a aa n 3 43 4 用凸函数的性质分析高考题用凸函数的性质分析高考题 在高中数学学习中 我们会经常见到凸函数 最后我们来看看在高考中利 用凸函数的性质证明不等式的例子 例例 1515 求证 对于任意 函数 都有 2 1 21 xx1 3 2 23 xxxf 2009 扬州高考模拟真题 2 2 2121 xfxfxx f 学学 士士 学学 位位 论论 文文 BACHELOR S THESIS 22 证明证明 由定义一欲证 只要证在是凸 2 2 2121 xfxfxx f xf 2 1 函数 当时 xxxf 3 4 3 2 3 4 6 xxf 2 1 x0 xf 则由凸函数的性质是凸函数 则有 xf 2 2 2121 xfxfxx f 例例 1616 2005 高考数学全国卷 理科第 22 题 设函数log log 求得最小值 xxf x 2 1 x x 1 2 10 x xf 设正数满足 证明 n PPP 2 21 1 2 21 n PPP log log log 1 P 1 2P 2 P 2 2P n P 2 2 n P2n 解解 构造函数l