2001数学三答案解析.pdf

2001 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析经济数学三试题详解及评析 一 填空题一 填空题 1 设生产函数为 QAL K 其中Q是产出量 L是劳动投入量 K是资本投入量 而 A 均为大于零的参数 则当1Q 时K关于L的弹性为 答答 详解详解 当1Q 时 有 l KAL 于是K关于L的弹性为 1 1 1 AL K L LL K L AL i 2 某公司每年的工资总额比上一年增加 20 的基础上再追加 2 百万 若以 t W表示第t 年的工资总额 单位 百万元 则 t W满足的差分方程是 答答 1 1 2 2 t W 详解详解 t11 W10 221 2 2 tt WW 3 设矩阵 111 111 111 111 k k k k A且秩 3 A则k 答答 3 详解详解 由题设 3 r A知必有 3 111 111 3 1 0 111 111 k k kk k k 解得 1k 或3 k 显然1k 时 1 r A 不符合题意 因此一定有3 k 4 设随机变量 X Y的数学期望都是 2 方差分别为 1 和 4 而相关系数为 0 5 则根据切比 雪夫不等式 6P XY 答答 1 12 详解详解 另 ZXY 则 0 E ZE XE Y 2 D ZD XYD XD YCov X Y 142 0 5 3 D XD Y ii 于是有 2 1 6 6 612 D Z P XYP ZE Z 5 设总体X服从正态分布 2 0 0 2 N而 1215 XXX 是来自总体X的简单随机样本 则随机变量 22 110 22 1115 2 XX Y XX 服从 分布 参数为 答答 1 12 详解详解 因为 2 0 21 2 15 i XNi 于是 0 1 2 i X N从而有 2222 22 1015111 10 5 2222 XXXX 而且由样本的独立性可知 22 2 101 10 22 XX 与 22 2 1511 5 22 XX 相互独立 故 22 101 22 110 2222 1115 1511 10 22 10 5 2 10 22 XX XX YF XX XX 故 Y 服从第一个自由度为 10 第二个自由度为 5 的 F 分布 二 选择题二 选择题 1 设函数 f x的导数在xa 处连续 又 lim1 xa fx xa 则 A xa 是 f x的极小值点 B xa 是 f x的极大值点 C a f a是曲线 yf x 的拐点 D xa 不是 f x的极值点 a f a也不是曲线 yf x 的拐点 答答 B 详解详解 由 lim1 xa fx xa 知lim 0 xa fx 即 0fa 于是有 limlim1 xaxa fxfafx fa xaxa 即 0fa 1fa 故xa 是 f x的极大值点 因此 正确选项为 B 2 设函数 0 x g xf u du 其中 2 1 1 01 2 1 1 12 3 xx f x xx 则 g x在区间 0 2 内 A 无界 B 递减 C 不连续 D 连续 答答 D 详解详解 当01x 时 有 23 0 111 1 262 x g xxdxxx 当12x 时 有 1 22 01 1121 1 1 1 2336 x g xxdxxdxx 即 3 2 11 01 62 21 1 12 36 xxx g x xx 显然 g x在区间 0 2 内连续 所以 应选 D 3 设 1112131414131211 2122232424232221 1 3132333434333231 4142434444434241 0001 0100 0010 1000 aaaaaaaa aaaaaaaa aaaaaaaa aaaaaaaa ABP 2 1000 0010 0100 0001 P其中A可逆 则 1 B等于 A 1 12 A PP B 1 12 P A P C 1 12 PP A D 1 21 P A P 答答 C 详解详解 因为 1 P是单位矩阵交换第一 四列后所得的初等矩阵 而 2 P是交换第二 三列 所得的初等矩阵 于是有 21 BAP P从而 1 11111 211212 BAP PP PAPP A 故正确选项为 C 4 设A是n阶矩阵 是n维列向量 若秩 0 秩 则线性方程组 A AX 必有无穷多解 B AX 必有惟一解 0 0 C y X 仅有零解 0 0 D y X 必有非零解 答答 D 详解详解 由题设 显然有秩 0 秩 1 nn 即系数矩阵 0 非列满秩 因此齐次线性方程组0 0y X 必有非零解 故正确选项为 D 5 将一枚硬币重复掷n次 以XY和分别表示正面向上和反面向上的次数 则XY和 的相关系数等于 A 1 B 0 C 1 2 D 1 答答 A 详解详解 设XY和分别表示正面向上和反面向上的次数 则有YnX 因此XY和的相 关系数为1r 三三 本题满分 8 分 设 uf x y z 有连续的一阶偏导数 又函数 yy x 及 zz x 分别由下列两式 确定 2 xy exy 和 0 sin x z x t edt t 求 du dx 详解详解 根据复合函数求导公式 有 duff dyf dz dxxy dxz dx ii 由 2 xy exy 两边对x求导 得 0 xy dydy eyxyx dxdx 即 dyy dxx 由 0 sin x z x t edt t 两边对x求导 得 sin 1 x xzdz e xzdx i 即 1 sin x dzexz dxxz 将其代入 式 得 1 sin x dufy fexzf dxxxyxzz 四四 本题满分 8 分 已知 f x在 内可导 且 lim lim lim 1 x xxx xc fxef xf x xc 求c的值 详解详解 因为 2 2 2 2 lim lim 1 x c cx c xc x c xx xcc e xcxc 又由拉格朗日中值定理 有 1 1 f xf xf i 于是 介于1x 与x之间 于是 lim 1 lim xx f xf xfe 从而 2c ee 故 1 2 e 五五 本题满分 8 分 求二重积分 22 1 2 1 xy D yxedxdy 的值 其中D是由直线 1yx y 及1x 围成 的平面区域 详解详解 1 积分区域如图所示 2222 11 22 1 xyxy DDD yxedxdyydxdyxyedxdy 其中 111 11 2 1 3 y D ydxdydydxyy dy 2222 11 11 22 1 xyxy y D xyedxdyydyxedx 2 2 1 1 1 2 1 0 y y y eedy 于是 22 1 2 2 1 3 xy D yxedxdy 详解详解 2 如图 12 DDD 其中 1 D关于x轴对称 2 D关于y轴对称 则 222222 12 111 222 1 1 1 xyxyxy DDD yxedxdyyxedxdyyxedxdy 22 12 1 2 0 xy DD ydxdyxyedxdy 1 2 0 3 D ydxdy 六六 已知抛物线 2 ypxqx 其中0 0pq 在第一象限捏与直线5xy 相切 且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为 S 1 问pq和为何值时 S 达到最大 2 求处此最大值 详解详解 依题意知 抛物线如图所示 求得它与x轴交点的横坐标为 12 0 q xx p 面积 S 为 3 232 2 0 326 0 p q p pqq qSpxqx dxxx q 因直线5xy 与抛物线 2 ypxqx 相切 故它们有惟一公共点 由方程组 2 0 xy ypxqx 得 2 150 ypxqx 其判别式必为零 即 221 1200 1 20 qppq 将p 代入 S 中 得 3 4 200 31 q S q q 令 2 5 2003 0 31 qq Sq q 得驻点3 q 当13q 3q 时 0 Sx 证明至少存在一点 0 1 使得 1 2 1 ff 详解详解 由 1 1 0 1 x k fkxef x dx 及积分中值定理 知至少存在一点 1 0 0 1 k 使得 1 1 11 11 0 1 x k fkxef x dxef 即 1 1 11 1 feef 在 1 1 令 x F xxef x 那 么 F x在 1 1 上 连 续 在 1 1 内 可 导 且 1 1 FF 由罗尔中值定理知 至少存在一点 1 1 0 1 使得 0 Fefef 即 1 1 ff 八八 已知 n fx满足 1nx nn fxfxxe n为正整数 且 1 n e f n 求函数项级数 1 n i fx 之和 详解详解 由已知条件可见 1 nx nn fxfxxe 这是以 n fx为未知函数的一阶线性 非齐次微分方程 其通解为 1 n dxdx nx n x fxexedxCeC n 由条件 1 n e f n 得0 C 故 nx n x e fx n 111 nxn x n iii x ex fxe nn 记 1 n i x s x n 其收敛域为 1 1 当 1 1x 时 有 1 1 1 n i sxx x 故 0 1 ln 1 1 x s xdtx t 当1x 时 1 1 ln2 n i fxe 于是 当11x 时 有 1 ln 1 x n i fxex 九 九 本题满分 13 分 设矩阵 111 11 1 112 a a a A 已知线性方程组 AX 有解但不唯一 试求 a的值 2 正交矩阵 Q 使 T Q AQ为对角矩阵 详解详解 1 对线性方程组 AX 的增广矩阵作行初等变换 有 111111 1110110 11200 1 2 2 aa aaa aaaa A 因为方程组 AX 有解但不唯一 所以 3 2rra 由此得 1000 10 2 n n 从而98 0199 n 即最多可以装 98 箱 十二 十二 本题满分 8 分 设随机变量 X 和 Y 对联和分布是正方形 13 13Gx yxy