14第十四章.doc

第十四章 波动光学一、基本要求1. 掌握光程的概念以及光程差和相位差的关系。2. 理解获得相干光的方法，能分析确定杨氏双缝干涉条纹及薄膜等厚干涉条纹的位置，了解迈克尔逊干涉仪的工作原理。3. 了解惠更斯-菲涅耳原理; 掌握用半波带法分析单缝夫琅和费衍射条纹的产生及其明暗纹位置的计算，会分析缝宽及波长对衍射条纹分布的影响。4. 掌握光栅衍射公式。会确定光栅衍射谱线的位置。会分析光栅常数及波长对光栅衍射谱线分布的影响。5. 了解自然光和线偏振光。理解布儒斯特定律和马吕斯定律。理解线偏振光的获得方法和检验方法。6. 了解双折射现象。二、基本内容1. 相干光及其获得方法 只有两列光波的振动频率相同、振动方向相同、振动相位差恒定时才会发生干涉加强或减弱的现象，满足上述三个条件的两束光称为相干光。相应的光源称为相干光源。获得相干光的基本方法有两种：（1）分波振面法（如杨氏双缝干涉、洛埃镜、菲涅耳双面镜和菲涅耳双棱镜等）；（2）分振幅法（如薄膜干涉、劈尖干涉、牛顿环干涉和迈克耳逊干涉仪等）。2. 光程和光程差（1）光程 把光在折射率为的媒质中通过的几何路程r折合成光在真空中传播的几何路程，称为光程。（2）光程差 在处处采用了光程概念以后就可以把由相位差决定的干涉加强，减弱等情况用光程差来表示，为计算带来方便。即当两光源的振动相位相同时，两列光波在相遇点引起的振动的位相差 （其中为真空中波长，为两列光波光程差） 3. 半波损失 光由光疏媒质（即折射率相对小的媒质）射到光密媒质发生反射时，反射光的相位较之入射光的相位发生了的突变，这一变化导致了反射光的光程在反射过程中附加了半个波长，通常称为“半波损失”。4. 杨氏双缝干涉经杨氏双缝的两束相干光在某点产生干涉时有两种极端情况：（1）位相差为0或2的整数倍，合成振动最强；（2）位相差的奇数倍，合成振动最弱或为0。其对应的光程差 杨氏的双缝干涉明、暗条纹中心位置： 亮条纹 暗条纹相邻明纹或相邻暗纹间距: （D是双缝到屏的距离，d为双缝间距）5. 薄膜干涉以为例，此时反射光要计“半波损失”， 透射光不计“半波损失”。则反射光干涉公式：（干涉条纹定域于薄膜上表面）明纹 （）暗纹 （）透射光干涉公式为：（干涉条纹定域于薄膜下表面） 明纹 （ ）暗纹 （ ）这里强调同学们要注意的是，一定要先分析反射光是否存在“半波损失”的情况，不能死搬硬套，另外要明白反射光加强的位置一定是透射光减弱否则就违反了能量守恒的定则。特殊地，垂直入射时，则有上表面 显然，对空气劈尖，由于存在“半波损失”，所以上式适用于空气劈尖的反射光干涉的结论。而对牛顿环也是一空气劈尖，同样适用。只不过牛顿环的测量常换成平凸透镜中心的距离与透镜的曲率半径来表示牛顿环的明暗纹 （明环） （暗环）6. 迈克尔逊干涉仪利用分振幅法使两个相互垂直的平面镜形成一等效的空气薄膜，产生双光束干涉。干涉条纹移动条数与平面镜移动距离之间的关系 7. 惠更斯-菲涅耳原理 菲涅耳发展了惠更斯原理，他认为波在传播过程中，从同一波阵面上各点发出的子波，经传播而在空间某点相遇时，产生相干叠加。这个发展了的惠更斯原理称为惠更斯-菲涅耳原理。光的衍射是同一光束中无数子波在障碍物后叠加而相干的结果。8. 单缝衍射用半波带法处理单缝衍射问题，可以避免复杂的计算。（1）衍射明纹中心位置 （2）衍射暗纹中心位置 （3）其中在的两个第一级暗纹之间的区域，即 范围为中央明纹 中央明纹宽度 9. 光栅衍射（1）光栅 由大量等宽等间隔的平行狭缝构成的光学元件称为光栅。（2）光栅常数 如果光栅的一个狭缝宽为，缝间不透光部分宽为，则把称为光栅常数或光栅常量。（3）光栅衍射 如果把平行单色光垂直入射到光栅上，透过光栅每条缝的光都会产生衍射，这N条缝的N套衍射条纹通过会聚透镜后，又互相发生干涉，会形成细又亮的干涉主极大（明条纹），所以光栅衍射就是单缝衍射和多缝干涉的总效果。光栅衍射主极大条件（光栅方程） 缺级条件 若某一位置满足光栅方程的明纹条件，而单缝衍射在该处却正好为暗纹中心，则该级谱线便不会出现，这种现象称为缺级，所满足方程式为： 即 光谱重叠 如果波长为的第级谱线与波长为的第级谱线同时出现在屏上的同一位置，这种现象称为重叠，光谱级次越高，其重叠情况越复杂。两谱线重叠时必须满足如下条件： 10. X射线衍射 X射线射到晶体上时产生的衍射现象称为X射线衍射。X射线在晶体上产生强反射（形成亮斑）的条件为 此式又叫布拉格方程。式中d为相邻晶面间的距离。11. 自然光与偏振光（1）自然光 光矢量的振动在各个方向上的分布是对称的，振幅也可看作完全相等，这种光称为自然光。可以把自然光分解为两个相互独立的（无相位关系），等振幅的，相互垂直方向的振动。（2）线偏振光如果光矢量始终沿某一方向振动，这样的光称为线偏振光。线偏振光的振动的方向与光的传播方向构成的平面称为振动面。由于线偏振光的光矢量保持在固定的振动面内，所以又称为平面偏振光或完全偏振光。（3）部分偏振光在一束光中，虽然光振动在各个方向都有，但各方向的振幅大小不同；或者一束光中，如果某一振动方向的光振动较强，与之垂直的方向上光振动较弱，则这一束光称为部分偏振光。12. 马吕斯定律式中为入射到检偏器的线偏振光的光强。为通过检偏器的透射光强（不计检偏器对透射光的吸收），为检偏器的偏振化方向和入射线偏振光的光矢量振动方向之间的夹角。注意：（1）若是自然光入射到检偏器，则通过检偏器后，透射光强为入射光强的一半。（2） 检偏器对透射光有吸收，如吸收，则。13. 布儒斯特定律当入射角满足条件 时，反射光为振动方向与入射面垂直的完全偏振光。式中为入射空间媒质折射率，为折射空间媒质折射率，称为布儒斯特角。对定律应注意：当入射时，折射光仍为部分偏振光（平行于入射面成分占优势）。14. 双折射现象双折射现象：一束光射入各向异性的晶体内分成两束折射光的现象。光沿光轴方向在晶体内传播时不产生双折射。光轴表示一个方向、不是指某一条直线。（1）寻常光，简称光在双折射中，遵守折射定律的一束折射光称为寻常光。寻常光为线偏振光。晶体内任一条光线和光轴所决定的平面称为这条光线的主平面。光的电矢量（光矢量）的振动方向垂直于其主平面。（2）非常光，简称e光在双折射中，另一束不遵循折射定律（即折射光线并不一定在入射面内、而且对不同入射角，入射角的正弦与折射角的正弦之比不是恒量）的光称为非常光。非常光为线偏振光。光的电矢量（光矢量）振动方向总在其主平面内。光和光都是对某种晶体而言，离开了晶体我们只能说它们是线偏振光。引起双折射的原因是这两种光线在晶体内传播速度不同。光沿晶体内各个方向的传播速度相同，其波面是球面，其折射率为一常数；光沿晶体内各个方向的传播速度不同，它的波面为椭球面。沿光轴方向两束光的速度相同，折射率相同：，沿非光轴方向。对于光，沿各方向的传播速率不同，不存在普遍意义的折射率。通常把真空中光速与光沿垂直于光轴方向的传播速率之比，称为的主折射率，即。在垂直于光轴方向上与相差最大。若，该晶体称为正晶体。石英是一种正晶体；若，这种晶体称为负晶体。方解石是一种负晶体。15. 获得偏振光的方法获得偏振光的方法有三种：（1）利用晶体的选择性吸收；（2）利用介质的反射和折射；（3）利用晶体的双折射。三、习题选解14-3 如图所示，在杨氏双缝实验中，当作如下调节时，屏幕上的干涉条纹将如何变化？（扼要说明理由）（1）使两缝之间的距离逐渐减小；（2）保持双缝的距离不变，使双缝与屏幕之间的距离逐渐变小； 题14-3图（3）如图所示，把双缝中的一条狭缝遮住，并在两缝的垂直平分线上放置一块平面反射镜。解：（1）令两缝之间的距离为，双缝与屏之间的距离为，屏上任意一条干涉条纹到屏中央的距离为。杨氏双缝干涉明、暗条纹的分布由光程差所确定（干涉相长）（干涉相消）其中为干涉条纹的角距离并且即 据题意若减小，在和不变的情况下，对应级数的、均增大，即减小时，干涉条纹变疏，两侧条纹向远离中央的方向移动。杨氏双缝干涉的相邻明条纹或暗条纹的间距为所以在和一定的情况下，减少便使增大，即干涉条纹的间距变宽。干涉图样变得容易分辨。（2）同理，若和保持不变，减少，对应级数的、减少，也变小，即缩短后干涉条纹变密，由两侧向中央靠拢，到一定程度时将分辨不清干涉条纹。（3）此装置是使经一部分直接照射在屏上的入射光和一部分经平面镜反射的反射光在空间形成干涉。反射光可认为是由位于上的虚光源发出的。一个实光源和一个虚光源相当于杨氏双缝实验中的两个相干光源，但由于反射光在空气和平面镜的分界面上反射时附加了半波损失，所以它的相干条件为 （干涉相长） （干涉相消）或 （干涉相长） （干涉相消）此装置的干涉条纹和杨氏双缝干涉的条纹相比其明暗条纹的分布的状况恰好相反。14-4 如图所示，双缝干涉实验中，用波长的光照射和，通过空气后在屏幕上形成干涉条纹，已知点处为第三级亮条纹，求到和到点的光程差，若将整个装置放在某种透明液体中，点为第四级亮条纹，求该液体的折射率。解：因为点处为第三级亮条纹，由定义：放在某种透明液体中时，光波长会变为，此时有 所以 ，但 故。 题14-4图14-5 由弧光灯发出的光通过一绿色滤光片后，照射到相距为的双缝上，在距双缝远处的屏幕上出现干涉条纹。现测得相邻两明条纹中心的距离为，求入射光的波长？解：杨氏双缝干涉条纹间距为其中，为双缝间距，为屏幕到双缝的距离，由此有14-6 在双缝干涉实验中，屏幕到双缝的距离远大于双缝之间的距离，对于钠光灯的黄光（）产生的干涉条纹，相邻两明纹的角距离（即相邻两明纹对双缝处的张角）为：（1）对什么波长的光，这个双缝装置所得相邻两条纹的角距离比用钠黄光测得的角距离大？（2）假如将该装置全部置于水中（水的折射率为1.33），用钠黄光照射时相邻两明纹角距离有多大？解：由于，可以认为是在无穷远处平行光的干涉，干涉相长的条件为 相邻的第级和级的干涉明条纹对应的张角为当较小时，可近似用代替相邻明纹角间距 （1） 由题意，用波长的光照射同样狭缝时 （2） 将该装置置于水中时，干涉相长条件变为 相应的角分辨率为 此时光波长和狭缝间距均未变 此时相邻明纹角间距为 14-7 如图所示，用单色光源照双缝，在屏上形成的干涉图样中央零级明条纹位于点。若将缝光源移至，零级明纹将发生移动。欲使零级明纹回到原点，必须在哪个缝覆盖一薄云母片才有可能？若用波长的单色光，欲使移动了4 个明纹间距的零级明纹回到点，云母片的厚度应为多少?云母片的折射率为。 题14-7图解：可以看出光源由移到后，。这时欲使零级条纹回到原点，应在的狭缝处覆盖云母片，以增加由经这一路光的光程使其等于。云母片折射率，若覆盖云母片厚度为，则插入云母片后引起的光程差为 由题意 14-8 在杨氏双缝实验中，用白光（波长范围为400700 nm）垂直入射双缝，两缝间距为0.2 mm，在距缝1.5 m处的屏幕上出现光谱。求： （1）写出各级光谱宽度计算式。 （2）第一级光谱宽度为多少？ （3）第一级光谱与第二级光谱是否重叠？解：(1)在杨氏双缝实验中，明纹中心位置为 （k=0，1，2，）则各级光谱在屏幕上的宽度可表示为 将代入得 m（2） k=1 得第一级光谱宽度为 m（3） 第一级光谱中波长极大亮纹出现在屏上 处 （1700 nm）第二级光谱中波长极小亮纹出现在屏上 处 (2400 nm）由于 ，所以0 。即第一级光谱与第二级光谱没有发生重叠。14-9 在两块折射率为1.55的平板玻璃构成的空气劈尖中充满折射率的透明介质，若已知A、B、C三点处的介质厚度分别为，今用白光垂直入射，分别计算A、B、C三点处的透射光中，哪种波长的可见光因干涉而获得强度极大值。解：由题知一束光线经两块玻璃透射后，两束光线之间的光程差中不计半波损失，透射光的光程差为。在强度极大条件下，光程差应满足 （k=1，2，） 所以，因干涉而获得极大的可见光中的波长为（1）对 题14-9图 此时k只能取1。所以，在处，波长为414 nm的透射光有干涉极大。（2）对此时k仍只能取1。所以，在处，波长为580 nm的透射光有干涉极大。（3）对此时k仍只能取1。所以，在处，波长为690 nm的透射光有干涉极大。14-10 在空气中垂直入射的白色光从肥皂膜上反射，在可见光光谱中处有一干涉极大，而在处有一干涉极小，在这极大与极小之间没有另外的极小。假定膜的厚度是均匀的，求这膜的厚度。设肥皂水的折射率为1.38。解：在垂直入射到肥皂膜的白光中，发生反射干涉的条件是： 依题意，若对应的干涉极大为级干涉极大，则对应的是同一级干涉极小14-11 白光垂直照射到厚度为的玻璃片上，玻璃的折射率为，试问在可见光范围内（）哪些波长的光在反射中增强？哪些波长的光在透射中增强？解：白光垂直照射在玻璃片上，发生反射干涉增强的光波长需满足 只有时，落在（）可见光范围之内。发生反射干涉相消的光波波长应满足当，当时落在可见光范围内。由能量守恒知反射干涉相消对应着透射光增强的状况。所以波长为的光波在反射中增强，而波长为和的光波在透射中增强。14-12（1）在白光的照射下，我们通常看到呈彩色花纹的肥皂膜或肥皂泡，并且当发现有黑色斑纹出现时，就预示着泡膜将破裂，试解释这一现象。（2）在单色光照射下观察牛顿环的装置中，如果在垂直平板的方向上移动平凸透镜，那么当透镜离开或接近平板时，牛顿环将发生什么变化？为什么？答：（1）肥皂泡膜是肥皂水（）形成厚度一般并不均匀的薄膜，在可见单色光照射下便可产生等厚干涉花纹，而且不同波长的单色光所形成的干涉花纹分布是不同的。由于白光是包含各种波长可见光的复色光，因此肥皂泡膜在白光照射下就可观察到呈现彩色的干涉花纹。至于当肥皂泡膜上出现黑色斑纹时，预示着泡膜即将破裂可解释如下：泡膜上的黑斑这一局部区域可近似看作厚度均匀的薄膜，由于它的两表面与空气相接触，因此在薄膜反射的干涉相消条件中须代入半波损失，其为 其中为入射波长，为光线入射角。在白光照射下出现黑斑这一现象，说明对于任何波长的可见光在该处均产生干涉相消，此时唯有，厚度时，才能成立，因而黑斑的出现即是肥皂泡膜即将破裂的先兆。（2）在牛顿环装置中，若平凸透镜球面与平板玻璃相接触，干涉明暗条纹的条件为 明条纹 暗条纹上两式中，空气厚度与环半径间满足关系式，为透镜球面的半径。将平凸透镜沿垂直于平板方向向上移动一距离，各处的空气层厚度均增加同一量值, 而各处的光程差也增加同一量值，为，因此各处的干涉条纹的级数都增加相等数。每当增加时，干涉条纹向里收缩，明暗交替变化一次。而当增加时，干涉条纹又变得与原来相同，但干涉条纹的级数增加1。所以当透镜离开平板时，干涉条纹向中心收缩。当透镜接近平板时，干涉条纹向外扩张。各处将整体地同步发生明暗交替的变化，而且干涉条纹间距保持不变。14-13 白光垂直照到空气中一厚度为的肥皂膜上，设肥皂膜的折射率为1.33。问该膜的正面呈现什么颜色？背面呈现什么颜色？解：在垂直入射到肥皂膜的白光中，发生反射干涉相长的光波波长满足下面的公式： 因而将相继代入上式，可知当（红色）（紫色）恰好落在白光的波长组成范围内，而对其它值的波长在白光波长组成范围之外。由此可见，肥皂膜的正面呈现紫红色。在垂直入射到肥皂膜的白光中，发生透射干涉相长的波长须满足： 只有（蓝绿光）落在白光的波长组成范围内，故肥皂膜的背面呈蓝绿色。14-14 在棱镜（）表面涂一层增透膜（），为使此增透膜适用于波长的光，膜的厚度应取何值？解：光垂直入射可增透膜上，为了增强光的透射，须使光在膜的两表面上反射后光满足干涉相消条件，此时由于棱镜折射率大于膜的折射率，不存在半波损失引起的附加光程差，所以有当时，可求得增透膜最小厚度为，当取其它整数值时，从上式算出得厚度对波长的光也都满足要求。14-15 彩色电视机常用的三基色的分光系统采用镀膜的方法进行分色。现要求红光的波长为，绿光的波长为，设基片玻璃的折射率为，膜材料的折射率，试求膜的厚度。解：设薄膜厚度为，薄膜反射干涉相长条件为 其中为薄膜的折射率，为入射角，薄膜的厚度应满足 题1415图 于是对应红光的薄膜厚度为对应绿光的薄膜厚度为当时，薄膜的厚度分别为 当取，或其它值时所算出的厚度也能满足分色的要求。本题的答案不是唯一的。14-16 波长为的平行光垂直地照射到长的两块玻璃片上，两玻璃片一边相互接触，另一边被厚的纸片隔开，试问这中呈现多少条明条纹？解：劈尖干涉中两条光线光程差如图a为 干涉明条纹条件为 若两条相邻明条纹之间的间距为，如图b，则题14-16图当时,。在长为的距离中干涉明条纹条数为 条14-17 有一劈尖折射率，尖角。在某一单色光的垂直照射下，可测得相邻明条纹间的距离为，试求：（1）此单色光的波长。（2）如果劈尖长为，那么总共可出现多少条明条纹？解：（1）劈尖干涉的条纹间距为因而光波长（2）在长为劈尖上，明条纹总数为条14-18 如图所示：检查一玻璃平晶（标准的光学玻璃平板）两表面的平行度时，用波长的氦-氖激光器垂直照射，得到 题14-18图20条干涉条纹， 且两端点与都是明条纹，设玻璃的折射率，求平晶两端的厚度差。解：设玻璃的宽度为，厚度差为，则。劈尖干涉的条纹间距为 由于端点与都是明条纹，间隔数目为个。由题意：于是玻璃厚度差为14-19 （1）若用波长不同的光观察牛顿环，。观察到用照射时第级暗环与用照射时的第级暗环重合，已知透镜的曲率半径为。求用时第个暗环的半径；（2） 又在牛顿环中用波长照射，其第5个明环与用波长时的第6个明环重合，求波长。解：（1）牛顿环中第级暗条纹半径为式中为透镜球面的曲率半径，为照射光波长。依提意，波长为时的第级暗条纹与波长为时的第级暗条纹在处重合时，满足于是 （2）牛顿环中第级明条纹的半径为用波长的光照射时的明条纹与用波长的光照射时级明条纹重合，这时有关系式所以 14-20 如图所示，平面玻璃板是由两部分组成（冕牌玻璃，火石玻璃），透镜是用冕牌玻璃制成，而透镜和玻璃之间充满二硫化碳（）。问由此而成的牛顿环的花样如何？为什么？ 题14-20图解：在装置的左侧，由于火石玻璃折射率大于二硫化碳的折射率。当光波由冕牌玻璃射向二硫化碳，以及由二硫化碳射向火石玻璃时，上下表面的反射光线都有半波损失。因而没有额外的光程差，牛顿环中心为亮斑。在装置的右侧，光线从冕牌玻璃射向二硫化碳时，反射光线有半波损失。而由二硫化碳射向冕牌玻璃时，反射光线没有半波损失，因而上下表面的反射光线有的额外光程差，牛顿环中心为暗斑。而且在左侧为明条纹的位置，在右侧是暗条纹。14-21 如图所示的实验装置中，平面玻璃片上放一滴油，当油滴展开成圆形油膜时，在波长的单色光的垂直入射下，从反射光中观察油膜所形成的干涉条纹。已知玻璃的折射率，油膜的折射率，问：（1）当油膜中心最高点与玻璃片上表面相距时，看到的条纹情况如何？可看到几条明条纹？明条纹所在处的油膜厚度为多少？中心点的明暗程度如何？ （2）当油膜继续扩展时，所看到的条纹情况将如何变化？中心点的情况如何变化？解：（1）在空气-油以及油-玻璃反射界面上均有半波损失，因此明条纹的位置须满足 （）式中为油膜的厚度 当， 题14-21图 由此可见，在圆形条纹区域内，可观察到明暗相间的同心圆条纹，且油膜边缘处为级明环。当，可看到五条明条纹（）。而中心点的明暗程度介于明条纹与暗条纹之间。（2）此时油膜半径扩大，油膜厚度减少。圆形条纹级数减少、间距增大。中心点由半明半暗向暗、明、暗、明依次变化，直至整个油膜呈现一片明亮区域。14-23 在复色光照射下的单缝衍射图样中，其中某一波长的第级明纹位置恰与波长的单色光的第级明纹位置重合，求这光波的波长。解：设单缝宽度为，衍射明条纹的衍射角满足： 由题意，波长时的第级明条纹与波长为时的第级明条纹重合14-24 在单缝衍射实验中，如果缝宽等于入射单色光的（1）个波长；（2）个波长；（3）个波长；（4）个波长时，分别计算其中央明条纹边沿的衍射角，结果说明什么问题？解：中央明条纹边沿衍射角为 （1）当时， （2）当时, （3）当时, （4）当时, 结果说明缝宽越宽时，衍射条纹越密，而且当缝宽远大于波长时，光线沿轴向传播，这是光线直线传播的经典极限。14-25 在宽度a=0.6 mm的狭缝后D=40 cm处有一与狭缝平行的屏，如以平行单色光垂直入射，在屏上形成衍射条纹。若在离O点为=1.4 mm的P点，看到的是明条纹，试求：（1）该入射光的波长；（2）p点条纹的级数；（3）从P点看来对该波而言，狭缝处的波阵面可看作半波带的数目。解：由题知 代入单缝衍射明纹位置公式 得 （1） 的取值范围为 时 时 都在合理的取值范围内，所以该入射光的波长可以是，也可以是。（2）由（1）知 时，P点条纹为3级；时，P点条纹为4级。（3）从P点来看，对的光波而言，狭缝处的波阵面可以分为23+1=7个半波带；对的光波而言，狭缝处的波阵面可以分为24+1=9个半波带。14-26（1）在单缝衍射中，为什么衍射角越大（级数越大）的那些明条纹的亮度就越小？（2）当把全部装置放入水中时，单缝衍射的图样将发生怎样的变化？在此情况下，如果用公式 来测定光的波长，问所测出的波长是水中的波长，还是空气中的波长？答：（1）衍射角越大，则可分的半波带数目越多，分成波带的面积以及相应的光能量越小。再因为级数越高的明条纹，相消的半波带的数目也越多，留下未相消的一个半波带形成明条纹，因此它的亮度就越小了。（2）当把全部装置放在水中时，由于光波在水中的波长变短了，变为真空中的分之一，因此单缝衍射条纹变密了倍。如在此情况下，用公式 来测定光的波长，应是光在水中的波长。14-27 波长为的平行光线垂直入射于一宽为的狭缝，若在缝的后面有一焦距为的薄透镜，使光线聚焦于一屏幕上，试问从衍射图样的中心点到下列各点的距离如何？（1） 第一极小；（2）第二级明纹的极大处；（3）第三极小。解：（1）单缝衍射各级极小的条件为：， 衍射图形的第一级极小，可令求得：它离中心点距离（2） 单缝衍射明纹各级极大的条件为： 第二级明条纹的位置为： 它离中心点距离 （3） 第三级极小的位置为：14-28 有一单缝，宽，在缝后放一焦距为的会聚透镜。用平行绿光（）垂直照射单缝，求位于透镜焦平面处的屏幕上的中央明条纹的宽度。如把此装置浸入水中，中央明条纹角宽度如何变化？解：（1）中央明条纹角宽度满足公式：空气中， 又所以中央明条纹宽度（2）浸入水中时浸入水中，增大，角宽度减小。14-30 一束具有两种波长和的平行光垂直照射到一衍射光栅上，测得波长的第三级主极大衍射角和的第四级主级大衍射角均为，已知，试问（1）光栅常数？（2）波长？解：（1）光栅衍射公式为 由题意 光栅常数 （2）由题意有14-31 以波长400-760的白色光垂直照射到光栅上，在它的衍射光谱中，第二级和第三级发生重叠，问第二级光谱被重叠的范围是多少？解：由光栅方程可知，确定级次的主极大的衍射角随增大而增大，而且相邻两主极大的间距也随增大而变化，与单缝衍射类似，不同波长的单色光各自产生一条谱线，总的光谱是各套谱线的非相干迭加。零级条纹在同一位置，呈白色，其它各级主极大因位置不同而错开。由于光栅谱线是一些细亮的条纹，所以低级次的谱线互相没有影响。由光栅方程 可得对于白光比较得 即1级谱线与2级谱线是不重叠的，2级谱线与3级谱线是重叠的，级次越高重叠越严重。由以上分析可知，不管光栅的参数如何，白光入射第2级谱线都会与第3级重迭一部分，每一级彩色谱线靠中心侧为紫光，外侧为红光。设第3级的紫光与第2级的重迭，则有即2级谱线被重叠的范围是600nm-760nm。14-33 波长的单色光垂直入射在一光栅上，第二、第三级明条纹分别出现在与处，第四级缺级。试问：（1）光栅上相邻两缝的间距是多少？（2）光栅上狭缝的宽度是多少？（3）按上述选定的值，在范围内，实际呈现的全部级数。解：（1）光栅的明条纹的条件是： 对应于与处满足：即光栅相邻两缝间距离为（2）由于第四级衍射条纹缺级，即第四级干涉明条纹落在单缝衍射暗条纹上，因此须同时满足方程组 解得： 取，得光栅上狭缝的最小宽度为，刻痕宽度。（3）由 当所以在范围内实际呈现的全部级数为级明条纹。（时明条纹在处，看不到）14-34 利用一个每厘米有条缝的光栅，可以产生多少完整的可见光谱？（设可见光的波长）解：设，由光栅的明条纹条件：，知对第级光谱，是从到，要产生完整的光谱，即要求：亦即的第级明纹要在的第级明纹之后。因为只有才满足上式，所以只能产生一个完整的可见光谱，而第二和第三级光谱即有重叠现象出现。14-35 为了测定一个给定光栅的光栅常数，用氦-氖激光器的红光()垂直照射光栅，作夫琅和费衍射。已知第一级明条纹出现在的方向。问这光栅的光栅常数是多少？中有多少条缝？第二级明条纹出现在什么角度？又使用该光栅对某单色光同样做衍射实验，发现第一级明条纹出现在方向，问这单色光的波长是多少？对这单色光，至多可看到第几级明条纹？解：由衍射光栅明条纹公式：得（1）（2）内缝的条数（3）因为 所以不可能出现第二级衍射条纹。（4）由 得单色光的波长按照公式 当=，所以第二级明条纹可以看到。14-36 在单缝夫琅禾费衍射中，垂直入射的光有两种波长，。已知单缝宽度，透镜焦距。求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离。若用光栅常数的光栅替代单缝，其它条件不变，求两种光第一级主极大之间的距离。解：（1）取，由单缝衍射的明纹公式知 若这两种波长的光在屏上的第一级明纹中心分别出现和处，则 由于和很小，有故 两个第一级明纹中心的间距为 （2）用光栅替代单缝，由光栅方程得两种波长的光所对应的第一级明纹满足 由于 ，所以很小。则由得两个第一级明纹之间的距离为 14-37 一光栅宽为，共有条缝。如用钠光垂直入射，在哪些角度出现光强主极大？如钠光与光栅的法线方向成角入射，光栅光谱将有什么变化？解：（1）光栅常数，其中为光栅宽度，为光栅条缝数。光线垂直光栅入射时，衍射主极大的光栅公式为： 当时， 衍射极大只能取整数，因而可以出现级的衍射光强极大。由 可算出衍射极大所对应的角度分别为（2）若光线与光栅法线方向成角入射，则衍射极大的光栅公式为 （）当有当，有这时衍射将出现级衍射极大。光栅衍射光强度分布将整体偏移，并且级光强极大移出衍射范围，而级光强极大移入衍射范围。14-38 一平面光栅，当用光垂直照射时，能在角的衍射方向上得到的第二级主极大，并能分辨的两条光谱线，但不能得到的第三级主极大，计算光栅的透光部分的宽度和不透光部分的宽度以及总缝数。解：光栅常数可由光栅衍射公式求得光栅分辨本领 光栅缝数 条用=300 nm的入射，第三级缺级，缺级公式为可取或。其解有二（1）（2）14-39 已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为，由它们发出的光波波长，望远镜物镜的口径至少要多大才能分辨出这两颗星？解：光学仪器的最小分辨角为 14-40 已知地球到月球的距离是，设来自月球的光的波长为，若地球上用物镜直径为的天文望远镜观察时，刚好将月球的环形山上的两点分开，则两点的距离为多少？解：直径的望远镜的最小分辨角 地球到月球的距离，若月球上点距离为，则分辨角14-41 在迎面来的汽车上，两盏前灯相距，试问汽车离人多远的地方，眼睛恰可分辨这两盏灯？设夜间人眼瞳孔直径为。入射光波长（这里仅考虑人眼圆形瞳孔的衍射效应）解：由人眼最小可分辨角为（在空气中）而所以眼睛恰巧分辨两灯的距离为14