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4 3Hermite插值简介 前述插值问题 要求被插函数与插值多项式在结点取相同值 Lagrange型插值条件 然而 实际许多问题还常常要求两曲线进一步有共同切线 插值条件为 求一次数 多项式 使之满足给定的Hermite型插值条件 5 8 4 3 1Hermite插值公式 Hermite插值问题的提出三次Hermite插值插值基函数构造法满足插值条件的牛顿插值法误差估计2n 1次Hermite插值多项式 1 Hermite插值问题的提出 由于理论与实践的需要 在构造插值函数时 不但要求在节点上函数值相等 而且还要求它的 高阶 导数值也相等 即要求在节点上具有一定的光滑度 使得插值函数与被插函数贴近程度更好 满足这种要求的插值多项式就是Hermite插值多项式 有时也称为具有重节点插值或切触插值 下面具体讨论三次情形 2 三次Hermite插值 问题 求作三次多项式 使之满足 称之为两点三次Hermite插值问题 称满足插值条件 2 1 的为三次Hermite插值多项式 下面采用构造基函数及牛顿插值的方法来确定多项式 2 1基函数构造法 构造基函数使之满足则即为所求 由插值条件 有由 2 3 可设再由 2 2 可求得 同理可得 特别的 在时 得到以区间端点为插值条件得三次Hermite插值多项式 其中 2 2Newton插值法 满足插值条件 2 1 式得插值问题可视为重节点Newton插值问题 且则 其中各阶差商可由定义直接求得 即 2 3误差估计由Newton插值法 可直接得到三次Hermite插值问题的截断误差为 于是有下述定理 定理 设是以为插值节点的三次Hermite插值多项式 在内存在 其中是包含的任一区间 则对任意给定的 总存在依赖于的点 使 3 2n 1次Hermite插值多项式 给定n 1个节点和相应的函数值和导数值 则可构造2n 1次Hermite插值多项式满足条件 1 是不超过2n 1次多项式 2 用类似于前面的方法在n 1个节点上构造2n 1次Hermite插值多项式为其中插值基函数 定义如前 为 定理 设是以为插值节点的2n 1次Her
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