2015全国高中数学联赛预赛模拟题1.doc

2015全国高中数学联赛预赛模拟题11已知函数，则最小正周期为_. 解：，则最小正周期. 2关于的不等式任意两个解的差不超过9，则的最大值与最小值的和是_. 解：方程的两根是，则由关于的不等式任意两个解的差不超过，得，即 . 故的最大值与最小值的和是03. 设数列的前n项和，则_.解：4. 若、，其中，并且，则实数对表示平面上不同点的个数为_. 解：由及题设知，个位数字的选择有5种. 因为 ，故（1） 由知，首位数字的可能选择有种；（2） 由及知，首位数字的可能选择有种. 于是，符合题设的不同点的个数为种.5已知（R）且 则a的值有_个. 解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有 所以当，且时，恒有由于不等式的解集为，不等式的解集为因此当时，恒有. 故a的值有无数个6. 设且的图象经过点，它的反函数的图象经过点，则等于_.解：由题设知 化简得 解之得 （舍去）. 故等于4.7已知函数的图象如图，则满足的的取值范围为 解：因为 ，所以. 于是，由图象可知，解得. 故x的取值范围为 8圆锥曲线的离心率是 解：原式变形为，即 所以动点到定点的距离与它到直线的距离之比为故此动点轨迹为双曲线，离心率为9在中，已知，则的面积为解：在中，由 得由正弦定理得 因为，所以角可取锐角或钝角，从而故10. 中末尾0的个数为_解：，所以一个因子2和一个因子5乘起来，末尾就会出现一个0，而且只有这样，末尾才会出现一个0因为,故中2的因子的个数多于5的因子的个数，所以中5的因子的个数就是中末尾0的个数11. 在数列中，（1）求证：数列为等差数列，并求的通项；（2）若对任意的整数恒成立，求实数的取值范围；（3）设数列，的前项和为，求证：解：（1）由得：又，数列是首项为1，公差为3的等差数列，即：（2）对任意的整数恒成立，即恒成立对任意的整数恒成立设，则 当时，为递增数列 所以的取值范围为：（3）由，得所以，xyO12. 设不等式组 表示的平面区域为. 区域内的动点到直线和直线的距离之积为. 记点的轨迹为曲线. 过点的直线与曲线交于、两点. 若以线段为直径的圆与轴相切，求直线的斜率. 解：由题意可知，平面区域如图阴影所示设动点为，则，即 由知，xy0，即x2y20所以y2x24(y0)，即曲线的方程为1(y0)设，则以线段为直径的圆的圆心为. 因为以线段为直径的圆与轴相切，所以半径 ，即 因为直线AB过点F(2，0)，当AB x轴时，不合题意所以设直线AB的方程为yk(x2)代入双曲线方程1(y0)得，k2(x2)2x24，即(k21)x24k2x(8k24)0因为直线与双曲线交于A，B两点，所以k1所以x1x2，x1x2所以|AB| |x1x2|，化简得：k42k210，解得k21（k21不合题意，舍去）由(4k2)24(k21) (8k24) 3k210，又由于y0，所以1k 所以k 13. 如图，的内心为，过点作直线的垂线，垂足为,设、分别为内切圆与边、的切点，求证：、三点共线。【证法1】如图，设直线与边相交于点，连结、。因为,所以,有,即.又因为，所以有。因为,所以、四点共圆，有。由、及，得。故、三点共线。【证法2】如图，连结、.因为，所以所以、四点共圆，有。又因为为的内心，所以。从而。因为，所以.于是.故、三点共线。14. 已知函数，（）讨论函数的单调性； （）证明：若，则对任意，有解：（）的定义域为 （i）若即，则，故在单调增加（ii）若，而，故，则当时，；当