量子力学的绘景和表象探讨1.doc

湖北民族学院理学院2014届本科毕业论文(设计)9学生姓名： 范苑圆 学 号： 021040204 专 业： 物理学 答辩时间： 2014年5月25日指导老师： 罗敏 评阅老师： 摘 要在量子力学中，绘景和表象一直是一对很容易混淆的概念，但二者在本质上有很大的区别。绘景是来描述波函数和力学量算符随时间演化的图像，相当于经典力学中所选择的“参考系”；表象则是选定的基矢，让波函数和力学量算符有具体的表示形式，它相当于经典力学中的“坐标系”。在同一绘景中，当选择了不同希尔伯特空间的基底，就进入了不同的表象。各个特殊的表象具有其独特的优势，所以在计算时要根据需要去选择不同的表象。关键词：绘景，表象，基矢，波函数，力学量AbstractThe picture and appearance of quantum mechanics has always been difficult to got a clear understanding of ,but there is a big difference between them essentially . The picture is used to describe the image of evolution with time of wave function and mechanics measure. It is equal to the “reference substance” in the classic mechanics . But the appearance is the base vector ,which gives the specific show form of wave function and mechanics measure. It is equal to the “coordinate system” in the classic mechanics . In one picture , it gets different appearance because of different base vector in Hilbert space has been chosen . Each special appearance has its unique advantage , so we have to choose different appearance according to our need when we calculate . Keywords : picture,appearance,base vector,wave function,mechanics measure目 录错误！未找到索引项。居中 小三号 宋体加粗用希腊数字编制页码目 录小四号 宋体1 绪言人们对量子力学的探索从未停止过脚步，但许多人在研究过程中由于对量子力学原理没有深刻清晰的认识，所以对于一些抽象的概念容易混淆，特别是绘景和表象的概念。在21世纪之前的一些文章和书籍中，总会出现将绘景和表象混为一谈，这对于以后的学习和研究者在查阅有关资料的时候会造成误导。本课题阐述了量子力学的绘景、三种不同绘景及其关系、表象、表象的种类、力学量算符和波函数在不同表象中的表示等问题，也对量子力学的绘景和表象以及它们之间的不同做了相关探讨，来避免类似情况的发生，也为以后量子力学的进步扫除一点障碍。2 量子力学的绘景2.1量子力学的三种绘景在经典物理中，我们有清晰的物理图像，在一般意义上，“图像”一词就是个基本上按经典思路起作用的模型，然而在微观系统中，微观粒子具有波粒二象性，这使得我们在微观领域中很难建立起一个经典物理图像。那么我们可将“图像”这个词的意义推广，让其包括任何支配物质运动基本规律的方式。量子力学正是这样将经典“图像”推广为“绘景”。量子力学在描写体系的运动时有三种绘景，在介绍这三种绘景之前，我们可以与经典物理做一下对比。在描述刚体上质点的运动时，我们通常采用三种参考系：第一种参考系是实验室参考系，它的基矢相对实验室静止不动；第二种参考系是与刚体一起转动的的参考系；第三种参考系是部分随刚体运动的参考系。在后两种参考系中，它们的基矢相对与实验室是运动的1。量子力学的三种绘景即薛定谔绘景（S绘景）、海森伯绘景（H绘景）和相互作用绘景（I绘景）。下面将对这三种绘景及其关系做详细的阐述。2.2 薛定谔绘景（S绘景）在德布罗意提出了微观粒子具有波粒二象性之后，薛定谔以他的观点为基础切入主题，提出了量子力学的分析形式波动力学。在波动力学中，系统的状态用含时的波函数来表述，物理条件随时间点的变换归之于波函数的变化，力学量保持不变，用不含时的线性算符表达。这称为量子力学的薛定谔绘景（the Schrdinger picture) 。设力学量算符的本征值方程为 （2.2.1）式中基矢与时间无关，以算符的本征矢系为基就构成了薛定谔绘景中的表象。若系统的哈密顿算符为，则态矢在薛定谔绘景中的运动方程为： （2.2.2）即薛定谔方程： （2.2.3）（2.1.2）式中的哈密顿算符往往可以分解为两部分，其中不显含时间，是体系与外界无相互作用时的哈密顿算符，称为无微扰哈密顿算符；是体系与外界相互作用的哈密顿算符，称为微扰哈密顿算符。2.3 海森伯绘景（H绘景）海森伯则从对原子光谱的研究切入到微观领域，发展了波尔的对应原理。他试图“建立类似于经典力学的量子理论力学，它应只包括观察到的物理量之间的关系。”海森伯创立了量子力学的代数形式矩阵力学：将物理条件随时间的变化归之于力学量的变化，这样，力学量就成为了含时的线性算符，并且在力学量算符之间的类似于经典力学物理量之间的经典关系仍然成立。他将状态视为固定的，用不含时的波函数来表述。这称为量子力学的海森伯绘景（the Heisenberg picture）。在海森伯绘景中，设为含时的力学线性算符，其对应于薛定谔绘景中的不含时算符，引入泊松括号，其运动方程为 （2.3.1）海森伯绘景中的含时力学量线性算符类似与经典力学中的对应物理量，之类的经典关系依然存在。而在薛定谔绘景中，这一类经典关系则是不存在的：，因为它的力学变量是不含时的线性算符2！量子力学的薛定谔绘景与海森伯绘景在描述微观现象时，有各自独特的优势，二者各取所长，相互融洽。狄拉克通过严格的变换理论将二者统一起来，形成了自洽的完整量子力学理论体系。在薛定谔绘景中，不含时的力学算符可由绘景变换变成海森伯绘景中的含时力学算符。若取为系统不含时的哈密顿函数算符，定义 （2.3.2）作变换，再根据力学量平均值在不同绘景下的不变性，可以得到在海森伯绘景下的力学量与薛定谔绘景下的力学量之间的变换关系以及算符随时演化关系 （2.3.3） （2.3.4）海森伯绘景的基本方程由上两式表示，其特点是态矢不随时间变化，但力学量算符及基矢随时间变化。则海森伯绘景中的运动方程可证： （2.3.5）即运动方程 （2.3.6）证毕。2.4 相互作用绘景（I绘景）相互作用绘景的特点是，力学量和算符都随时间而变化。在相互作用绘景下，将哈密顿量分解为，定义，做变换根据学量平均值和薛定谔方程的形式在不同绘景下的不变性，可以得到相互作用绘景下的力学量与薛定谔绘景下的力学量之间的变换关系、波函数以及算符随时间的演化关系 （2.4.1） （2.4.2） （2.4.3） （2.4.4）相互作用绘景的基本方程是后面两式，可以看出波函数和力学量算符都随时间变化，力学量算符的运动方程决定于，态矢的运动方程只决定于。2.5 三种绘景之间的关系量子力学中描述系统的量只有态矢和力学量，三种不同绘景就是三种描述系统随时间变化的不同方式。由上面的讨论可知：薛定谔绘景就是力学量不随时间变化，而态矢随时间变化；海森伯绘景就是态矢随时间变化，而力学量不随时间变化；相互作用绘景就是态矢和力学量都随时间变化。应当指出的是，这三种绘景只是对同一个量子系统随时间运动的不同描述方式，因为不确定关系，态矢和力学量以及算符本身是不能直接测量的，所能测量的只是力学量的本征值和其出现的概率。又因为力学量平均值是不随时间变化的，所以这三种绘景其实是等价的。具体比较如下表2.1所示表 2.1 三种绘景的比较薛定谔绘景（S绘景）海森伯绘景（H绘景）相互作用绘景（I绘景）Q表象基矢与时间无关态矢变换关系算符变换关系（除个别显含时间着外）特别是特别是态矢运动方程算符运动方程(除个别显含时间者外)显含t显含t从上表能够清晰地得出：薛定谔绘景的基矢与时间无关，力学量不随时间变化，态矢随时间改变；海森伯绘景的态矢与时间无关，基矢和力学量随时间变化；相互作用绘景的基矢、态矢、力学量都随时间而变。从薛定谔绘景到海森伯绘景的变换是通过一个幺正变换来完成的，在相互作用绘景中，力学量算符随时间变化的规律与海森伯绘景中算符随时间变化的规律完全相同，而态矢量随时间变化的规律与薛定谔绘景随时间的变化规律相同。只要将换成,则薛定谔绘景中的有关公式就可写成相互作用绘景中的有关公式。又从前面的讨论知道 （2.5.1） （2.5.2） （2.5.3） （2.5.4）所以当时，相互作用绘景和海森伯绘景就完全相同了。三种绘景在描述量子力学系统时的地位是等同的，选择哪种绘景来描述和解决问题方便，需要按照具体的情况而定。例如，在量子力学中，通常用薛定谔绘景中的坐标表象，相互作用绘景中的态矢只含有一个影响较小的微扰算符，所以特别适用于微扰论。3 量子力学的表象3.1表象的引入量子力学与经典物理在描述物理体系的方法上截然不同，其根本原因在于微观体系的运动规律具有不确定性和统计规律。前人根据德布罗意的波粒二象性学说，用它们的智慧找到了描述微观体系状态的恰当方法状态波函数。按照玻恩的统计解释，波函数作为一个复函数，本身没有物理意义，它的意义在于发现微观粒子在时刻处于附近体积元的概率为。在这种条件下，波函数应当满足单值性、有限性和连续性。如果知道了波函数，粒子处于空间某点的几率、力学量的平均值均可求得，所以说波函数完全描述了量子体系的运动状态，所以波函数也叫态函数。量子力学的基本假设中，波函数还满足叠加原理： （3.1.1）是体系的本征态，为发现体系处于相应本征态的概率，满足归一化条件： （3.1.2）其物理意义是：量子体系的一般状态是所有本征态的线性叠加。当我们对某一力学量进行跟踪测量时，量子态将坍缩为某一本征态。因此所测得的物理量是这个本征态所对应的本征值。作为一组描述量子体系的本征函数系，本征函数系应满足正交，归一，完备性。正是由于本征函数系的这种性质，可以引入希尔伯特空间的基矢，即态矢。任何非空的希尔伯特空间具有正交归一完备基的最大优势，是对于给定的矢量，通过内积便很容易定出未知系数，即叠加原理中的展开系数3。某一力学量的本征函数系所构成的希尔伯特空间就构成了这一力学量的表象。也就是说，表象就是希尔伯特空间的“坐标系”，坐标系的基就是力学量的本征完备系。在量子力学中研究不同问题需要采用相应的表象，就如同经典物理中适当选取坐标系研究具体问题一样。表象变换就是希尔伯特空间中的“坐标变换”，是量子力学中的一个基本问题。3.2 表象的分类在量子力学中，只要选择了任意一个算符的正交完备的本征矢作为基底，就可以在这个算符的表象中成立，并且具有独特的表述形式。我们常见的表象有坐标表象、动量表象、能量表象、粒子数表象。接下来将分别阐述这几种表象。3.2.1 动量表象 如果我们以动量的本征矢作为希尔伯特空间的基底，我们就进入了动量表象。3.2.2 坐标表象如果我们以坐标的本征矢作为希尔伯特空间的基底，我们就进入了坐标表象。坐标表象的本征值方程为在离散谱表象，态用列矩阵表示；在连续谱表象，态用波函数表示，现在分别阐述1.离散谱表象设的本征值谱为，相应的正交归一的本征矢的完备系为，则有（1）任意态的列矩阵表示设是体系的任意归一化态矢，插入单位矩阵得到的展开式展开系数它的物理意义是：处于态的体系，其力学量取值的概率为，即为概率幅。因此，利用代替描述体系的状态，并将它写成一个列矩阵称之为态在表象的表示。（2）基矢在自身表象的矩阵表示。若体系正好处于的本征态，即 则态按表象基的展开系数为即除外，其余为零。由此可写出表象基矢的自身表象的矩阵表示 , , , 2. 连续谱表象设的本征值谱为连续谱，相应的正交归一的本征矢完备系为，则有体系的任一态矢的展开式为展开系数为的物理意义是：处于态的体系，其力学量取值的概率是，即为概率幅。因此可用代替描述体系的状态，并称为在表象的表示，也称它为态在表象的波函数。由于的本征值q连续地取值，因此也只能把它排列成连续的列矩阵。当表象就是坐标表象时，态在坐标表象的表示就是波函数，当体系某一状态在坐标表象的波函数和在动量表象的波函数同时出现时使用表示态在x表象的波函数，使用表示态在动量表象的波函数。表2.3，作为前述内容的小结。坐标表象，基为动量表象，基为能量表象，基为一维无限深势阱中属于的能量本征态属于的动量本征态属于的坐标本征态任意态表2.3 用态矢的内积表示体系的各种状态2.2.3算符的表象表示在离散谱表象用方阵表示算符；在连续谱表象，用连续方阵表示算符。1. 离散谱表象选择为希尔伯特空间的基，便进入了表象。（1）在表象的表示。用左乘，插入表象的单位算符得上式可简写为式中为在表象基矢上的投影，也就是列矩阵的矩阵元；为在表象基矢上的投影也就是列矩阵的矩阵元。还可将排列成方阵也可简写为（2）在自身表象的表示。表象的基为，在自身表象的矩阵元为算符在自身表象的矩阵表示就是一个对角矩阵，即因此可以通过把算符的矩阵表示对角化求得该算符的的本征值，这是一种非常常用的方法。总之，进入表象后，态矢和算符分别用列矩阵和方阵来表示，并且他们之间的运算一一对应。因此在离散谱表象中，量子力学的所有公式均可写成矩阵形式。2. 连续谱表象用左乘,插入表象的单位算符 ，即有上式可简写为式中为在表象基矢上的投影，即在表象的波函数；为在表象基矢上的投影，即在表象的波函数；而称为在表象的矩阵元，但由于的本征值连续变化，它实际上是两个变量与的函数。连续谱表象中算符的作用体现为积分作用，是积分的核。由于使用微分算符更方便，只要把化为的形式即可求得表象的微分算符。在表象中，微分算符的作用是将变为，即利用函数的性质，上式可改写为，则联立可得由的任意性，便有当然，上式是“作用在后积分”的意义上成立的。利用上式即可求出表象的微分算符。在表象中，算符的矩阵元与微分算符的关系为现将上式的换成，同时插入两个表象的单位算符及可得比较上式两端即有再根据同理可得正如在坐标表象中一样，在动量表象中，这好似一个普遍的规律。因为这表明，在连续谱表象中，算符在自身表象的微分算符为该算符的本征值。我们不妨比较一下坐标表象与动量表象中的坐标表象，动量表象和它们相应的本征函数，如表2.4.表2.4 坐标表象和动量表象的比较表象算符算符的本征函数（本征值为）的本征函数（本征值为）表象表象容易发现，只要将与，与互换的同时，把换成，即可将表象的算符及本征函数换为表象的算符及本征函数，反之亦然。这与与在傅里叶变换中的情况一样，两者互为镜像2.2.4量子力学公式的表象表示将表象的单位算符插入用狄拉克符号表示的量子力学公式，即可求得量子力学公式在表象的矩阵表示。1. 离散谱表象 （1）归一化条件的狄拉克表示为 插入单位算符即有（2）设体系的状态由描述，求体系的力学量的平均值的狄拉克表述为插入两个单位算符，便有（3） 的本征值方程的狄拉克表示为用左乘上式，在之间插入单位算符，即有 将按表象的基矢展开，并利用狄拉克符号的性质可得上式的矩阵表示为这是一个其次线性方程组，它具有非零解的条件是它的行列式的系数为零，即求解久期方程。即可求得的本征值谱。将本征值逐个带回方程即可得出的展开系数，将展开系数带回便可得到的第个本征矢。2. 连续谱表象（1）在归一化条件上插入单位算符可得对于表象，用代替，即可得熟知的公式（2）求体系的力学量的平均值同样插入两个单位算符，利用，可得（3） 用左乘，在与之间插入单位算符，可得式中是在表象的本征值为的本征函数。将连续方阵的代入上式，得在表象的本征值方程4 绘景和表象的区别在量子力学中，绘景和表象是两个截然不同个概念。由于对时间演化的处理方式不同，量子力学就有不同的绘景。绘景是用来描述量子力学系统随时间演化的图像。它包括薛定谔绘景、海森伯绘景和相互作用绘景。在同一绘景中可以有不同的表象。可以说绘景就是量子力学中的“参照系”。由于在希尔伯特空间中的基底选择不同就进入了不同的表象。表象可分为坐标表象、动量表象、能量表象和粒子数表象等。在不同的表象中，态矢和力学量的表示不同。可以说表象就是希尔伯特空间中的“坐标系”。5 总结与展望本文主要完成了如下工作：（1） 分别阐述了量子力学的三种绘景和三者之间的关系；（2） 阐明了量子力学的表象，表象变换以及态矢和力学量在不同表像中的