江西省南昌三中高一数学下学期期中试题（含解析）新人教A版.doc

2012-2013学年江西省南昌三中高一（下）期中数学试卷一、选择题：每小题3分，在每小题的四个选项中只有一个是正确的1（3分）=（）abcd考点：等比数列的前n项和专题：计算题分析：判断数列的是等比数列，利用等比数列求和公式求解即可解答：解：因为，所以是等比数列，首项为，公比为所以=故选d点评：本题是基础题，考查等比数列前n项和的求法，考查计算能力，高考会考常考题型2（3分）（2012青浦区一模）在边长为1的正六边形a1a2a3a4a5a6中，的值为（）abcd考点：平面向量数量积的运算专题：计算题分析：连接a1a5，由正六边形的性质，可证出a1a3a5是边长为的正三角形，再用向量数量积的定义，可计算出的值解答：解：连接a1a5，a1a2a3a4a5a6是正六边形，a1a2a3中，a1a2a3=120又a1a2=a2a3=1，a1a3=同理可得a1a3=a3a5=a1a3a5是边长为的等边三角形，由向量数量积的定义，得=cos120=故选b点评：本题给出正六边形的边长为1，叫我们求向量的数量积，着重考查了正多边形的性质、余弦定理和向量数量积的运算等知识，属于基础题3（3分）设，是两个非零向量，下列说法正确的是（）a若=，则b若，则=c若=，则存在实数，使得=d若存在实数，使得=，则=考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系专题：平面向量及应用分析：根据选择项知需要判断命题的真假，由数量积运算将两边平方后化简说明c正确、a错、b错，再对两边取模后，代入进行验证d错解答：解：设非零向量，的夹角是，将两边平方得，即，得cos=1，则，是共线向量，即存在实数，则c正确，a错；另：当时，有，代入，显然不成立，故b错；存在实数，时，则，故不一定成立，故d错故选c点评：本题考查了向量的平方就是向量模的平方应用，以及数量积的运算，考查了分析问题和解决问题的能力4（3分）（2011安徽模拟）在abc中，角a，b均为锐角，且cosasinb，则abc的形状是（）a直角三角形b锐角三角形c钝角三角形d等腰三角形考点：诱导公式的作用分析：利用cos（）=sin及正弦函数的单调性解之解答：解：因为cosasinb，所以sin（a）sinb，又角a，b均为锐角，则0ba，所以0a+b，且abc中，a+b+c=，所以c故选c点评：本题考查诱导公式及正弦函数的单调性5（3分）数列an的通项公式，其前n项和为sn，则s2012等于（）a1006b2012c503d0考点：数列的求和专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由数列通项公式可求得该数列的周期及其前4项，根据数列的周期性及前4项和即可求得s2012解答：解：由得，该数列周期为t=4，且，a2=1=，a3=，a4=，则a1+a2+a3+a4=+=1，所以s2012=503（a1+a2+a3+a4）=5031=503故选c点评：本题考查数列的求和及数列的周期性，解决本题的关键是通过观察通项公式求出数列的周期6（3分）若，均为单位向量，且，则的最大值为（）ab1cd2考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：由 ，均为单位向量，且，求得 （）1，再由 =32（）32，从而求得的最大值解答：解：，均为单位向量，且，则 +0，（）1而 =+222=32（）32=1，故的最大值为 1，故选b点评：本题主要考查平面向量数量积的运算和模的计算问题，特别注意有关模的问题一般采取平方进行解决，考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力，属于中档题7（3分）（2013奉贤区一模）已知sn是等差数列an（nn*）的前n项和，且s6s7s5，有下列四个命题，假命题的是（）a公差d0b在所有sn0中，s13最大c满足sn0的n的个数有11个da6a7考点：命题的真假判断与应用；等差数列的前n项和；等差数列的性质专题：阅读型分析：根据题设条件可判断数列是递减数列，这样可判断a是否正确；根据s6最大，可判断数列从第七项开始变为负的，可判断d的正确性：利用等差数列的前n项和公式与等差数列的性质，可判断s12、s13的符号，这样就可判断b、c是否正确解答：解：等差数列an中，s6最大，且s6s7s5a10，d0，a正确；s6最大，a60，a70，d正确；s13=13=130a6+a70，a6a7，s12=12=120；sn的值当n6递增，当n7递减，前12项和为正，当n=13时为负故b正确；满足sn0的n的个数有12个，故c错误；故选c点评：本题考查等差数列的前n项和的最值在等差数列中sn存在最大值的条件是：a10，d0一般两种解决问题的思路：项分析法与和分析法8（3分）如图在矩形abcd中，ab=，bc=4，点e为bc的中点，点f在cd上，若，则的值是（）abcd考点：平面向量数量积的性质及其运算律专题：平面向量及应用分析：由题意得选择基向量和，求出它们的长度和，由向量加法的三角形法则求出，代入式子由数量积运算求出，同理求出和，代入进行化简求值解答：解：选基向量和，由题意得，=，=4，=+=，即cos0=，解得=1，点e为bc的中点，=1，=（）（）=5+，故选b点评：本题考查了向量数量积的性质和运算律在几何中的应用，以及向量加法的三角形法则，关键是根据题意选基向量，其他向量都用基向量来表示9（3分）（2012南充模拟）在等比数列an中，s4=1，s8=3，则a17+a18+a19+a20的值是（）a14b16c18d20考点：等比数列的性质专题：计算题分析：根据等比数列的性质可知，从第1到第4项的和，以后每四项的和都成等比数列，由前8项的和减前4项的和得到第5项加到第8项的和为2，然后利用第5项到第8项的和除以前4项的和即可得到此等比数列的公比为2，首项为前4项的和即为1，而所求的式子（a17+a18+a19+a20）为此数列的第5项，根据等比数列的通项公式即可求出值解答：解：s4=1，s8=3，s8s4=2，而等比数列依次k项和为等比数列，则a17+a18+a19+a20=（a1+a2+a3+a4）251=16故选b点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题10（3分）（2012天津）已知abc为等边三角形，ab=2设点p，q满足，r若=，则=（）abcd考点：平面向量的综合题专题：计算题；压轴题分析：根据向量加法的三角形法则求出，进而根据数量级的定义求出再根据=即可求出解答：解：，r，abc为等边三角形，ab=2=+（1）=22cos60+22cos180+（1）22cos180+（1）22cos60=22+2+2=424+1=0（21）2=0故选a点评：本题主要考查了平面向量数量级的计算，属常考题，较难解题的关键是根据向量加法的三角形法则求出然后再结合数量级的定义和条件abc为等边三角形，ab=2，=即可求解！二、填空题：（每小题4分）11（4分）（2008江苏）已知向量和的夹角为120，则=7考点：向量的模专题：计算题分析：根据向量的数量积运算公式得，化简后把已知条件代入求值解答：解：由题意得，=，=7故答案为：7点评：本小题考查向量模的求法，即利用数量积运算公式“”进行求解12（4分）正项等比数列中，则=9考点：等比数列的性质专题：计算题分析：利用等比数列通项的性质可得，再利用各项为正数，可得答案解答：解：由题意，正项等比数列故答案为9点评：本题以等式为载体，考查等比数列通项的性质，从而得解13（4分）（2009重庆）设a1=2，bn=，nn+，则数列bn的通项公式bn=2n+1考点：数列递推式专题：压轴题；创新题型分析：由题设条件得=，由此能够导出数列bn的通项公式bn解答：解：由条件得=且b1=4所以数列bn是首项为4，公比为2的等比数列，则bn=42n1=2n+1故答案为：2n+1点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用14（4分）在abc所在的平面上有一点p，满足+=，则pbc与abc的面积之比是2：3考点：向量在几何中的应用专题：计算题分析：解题突破口是从已知条件所给的关系式化简，确定出2=，即点p是ca边上的第二个三等分点，由此问题可解解答：解：由+=，得+=0，即+=0，得+=0，即2=，所以点p是ca边上的第二个三等分点，故=故答案为：2：3点评：本题考查向量在几何中的应用，解答的关键是从已知条件所给的关系式化简，确定点p的位置15（4分）如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n1，nn）个点，每个图形总的点数记为an，则a6=15； =考点：等差数列与等比数列的综合；归纳推理专题：规律型分析：根据图象的规律可得出通项公式an，进而求出a6，根据数列 的特点可用列项法求其前n项和的公式，而 又是前2010项的和，代入前n项和公式即可得到答案解答：解：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n3，即an=3n3a6=363=15令sn=1+=1=s2010=故答案为：15，点评：本题主要考查等差数列的通项公式和求和问题属基础题三、解答题（共50分）16（8分）已知向量（1）若点a、b、c能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）若abc为直角三角形，且a为直角，求实数m的值考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积判断两个平面向量的垂直关系专题：计算题；向量法分析：（1）根据三点构成三角形的条件，即只要三点不共线，根据共线的条件确定出m的值，从而解出a、b、c能构成三角形时，实数m满足的条件；（2）将几何中的角为直角转化为向量的语言，通过向量的数量积为零列出关于实数m的方程，求解出实数m解答：解：（1）若点a、b、c能构成三角形，则这三点不共线，故知3（1m）2m实数时，满足条件（2）若abc为直角三角形，且a为直角，则，3（2m）+（1m）=0解得点评：本题考查向量的坐标形式的运算，考查向量共线与向量垂直的等价条件关键要将几何问题通过向量工具解决出来，体现了转化与化归的思想17（10分）（2011湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5（i） 求数列bn的通项公式；（ii） 数列bn的前n项和为sn，求证：数列sn+是等比数列考点：等比关系的确定；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和专题：证明题；综合题分析：（i）利用成等差数列的三个正数的和等于15可设三个数分别为5d，5+d，代入等比数列中可求d，进一步可求数列bn的通项公式（ii）根据（i）及等比数列的前 n项和公式可求sn，要证数列sn+是等比数列即可解答：解：（i）设成等差数列的三个正数分别为ad，a，a+d依题意，得ad+a+a+d=15，解得a=5所以bn中的依次为7d，10，18+d依题意，有（7d）（18+d）=100，解得d=2或d=13（舍去）故bn的第3项为5，公比为2由b3=b122，即5=4b1，解得所以bn是以首项，2为公比的等比数列，通项公式为（ii）数列bn的前和即，所以，因此是以为首项，公比为2的等比数列点评：本题主要考查了等差数列、等比数列及前n和公式等基础知识，同时考查基本运算能力18（10分）设锐角三角形abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，a=2bsina（）求b的大小；（）求cosa+sinc的取值范围考点：正弦定理；正弦函数的定义域和值域专题：计算题分析：（1）先利用正弦定理求得sinb的值，进而求得b（2）把（1）中求得b代入cosa+sinc中利用两角和公式化简整理，进而根据a的范围和正弦函数的性质求得cosa+sinc的取值范围解答：解：（）由a=2bsina，根据正弦定理得sina=2sinbsina，所以，由abc为锐角三角形得（）=由abc为锐角三角形知，a，所以由此有，所以，cosa+sinc的取值范围为点评：本题主要考查了正弦定理得应用和三角函数中两角和公式的运用涉及了正弦函数的性质，考查了学生对三角函数知识的把握19（10分）已知数列an的通项为an，前n项的和为sn，且有sn=23an（1）求an；（2）求数列nan的前n项和考点：数列的求和；数列的概念及简单表示法专题：计算题分析：（1）n=1时，由s1=23a1可求a1，n2时由an=snsn1可得an与an1之间的递推关系，进而结合等比数列的通项公式可求（2）结合（1）可求nan，然后结合错位相减求和即可求解解答：解：（1）n=1时，s1=23a1a1=当n2时3an=2sn3an1=2sn1得 3（anan1）=an，an是公比为，首项为的等比数列，（2）得 =点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及等比数列的通项公式、错位相减求和方法的应用，属于数列知识的综合应用20（12分）已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1（nn*）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足，证明：bn是等差数列；（3）证明：考点：数列与不等式的综合；数列递推式专题：证明题分析：（1）由题设知an+1+1=2（an+1），所以数列an+1是首项为2，公比为2的等比数列，所以an=2n1（2）由题设知，由此能推导出nbn2=（n1）bn+1，从而得到2bn+1=bn+bn1，所以数列bn是等差数列（3）设，则=，由此能够证明出解答：解：（1）an+1=2an+1，