【相约期末】高中数学 第一章解三角形期末知识梳理 新人教A版必修5.doc

第一章 解三角形1、正弦定理：在中，、分别为角、的对边，为的外接圆的半径，则有2、正弦定理的变形公式：，；，；（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形abc中，已知a、b、a（a为锐角）求b。具体的做法是：数形结合思想dbsinaabac画出图：法一：把a扰着c点旋转，看所得轨迹以ad有无交点：当无交点则b无解、当有一个交点则b有一解、当有两个交点则b有两个解。法二：是算出cd=bsina,看a的情况：当absina，则b无解当bsinab时，b有一解注：当a为钝角或是直角时以此类推既可。3、三角形面积公式：4、余弦定理：在中，有，5、余弦定理的推论：，(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)6、如何判断三角形的形状：设、是的角、的对边，则：若，则；若，则；若，则 附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.7用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1)(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b点的方位角为(如图(2)(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45，西偏东60等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数一个步骤3.解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等两种情形4.解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解例1、一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时()a5海里 b5海里c10海里 d10海里解析如图所示，依题意有bac60，bad75，所以cadcda15，从而cdca10(海里)，在rtabc中，得ab5(海里)，于是这艘船的速度是10(海里/时)答案c例2、如图所示，为了测量河对岸a，b两点间的距离，在这岸定一基线cd，现已测出cda和acd60，bcd30，bdc105，adc60，试求ab的长审题视点 在bcd中，求出bc，在abc中，求出ab.解在acd中，已知cda，acd60，adc60，所以aca.bcd30，bdc105cbd45在bcd中，由正弦定理可得bca.在abc中，已经求得ac和bc，又因为acb30，所以利用余弦定理可以求得a，b两点之间的距离为aba.例3、如图，a，b，c，d都在同一个与水平面垂直的平面内，b、d为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为75，30，于水面c处测得b点和d点的仰角均为60，ac0.1 km.试探究图中b、d间距离与另外哪两点间距离相等，然后求b，d的距离解在acd中，dac30，adc60dac30，所以cdac0.1 km.又bcd180606060，故cb是cad底边ad的中垂线，所以bdba.又abc15在abc中，所以ab(km)，同理，bd(km)故b、d的距离为 km.例4、如图，在abc中，已知b45，d是bc边上的一点，ad10，ac1