二次函数典型例题.doc

典型例题例1、 已知二次函数，当x4时有最小值-3，且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式分析：因为二次函数当x=4时有最小值-3，所以顶点坐标为(4，-3)，对称轴为x=4，抛物线开口向上图象与x轴交点的横坐标为1，即抛物线过(1，0)点又根据对称性，图象与x轴另一个交点的坐标为(7，0)有下面的草图：解：此题可用以下四种方法求出解析式方法一：因为抛物线的对称轴是，抛物线与轴的一个交点为（1，0），由对称性可知另一点为（7，0），同例1，抛物线y=ax2bxc通过(4，-3)、(1，0)、(7，0)三点，由此列出一个含a、b、c的三元一次方程组，可解出a、b、c来方法二：由于二次函数当x=4时有最小值-3，又抛物线通过(1，0)点，所以 由上面的方程组解出a、b、c方法三：由于抛物线的顶点坐标已知，可以设二次函数式为y=a(x+h)2+k，其中h=-4，k=-3即有y=a(x-4)2-3，式中只有一个待定系数a，再利用抛物线通过(1，0)或通过（7，0）求出a来. 即 得出 . 所求二次函数解析式为方法四：由于抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1=1，x2=7可以采用双根式y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1=1，x2=7即有y=a(x-1)(x-7)式中只有待定系数a，再把顶点(4,-3)代入上式得: 所求二次函数解析式为.例2、 如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象如图13-25所示，那么代数式b+c-a与零的关系是 Ab+c-a=0；Bb+c-a0；Cb+c-a0；D不能确定解： 从图13-25上看出抛物线开口向下，所以a0当x=0时，y的值为正，所以c0又因为抛物线以y轴为对称轴，所以b=0综上分析知b+c-a0，应选B注意：这个题考察了二次函数中三个系数a、b、c的含义，二次项系数a决定抛物线开口方向，c为抛物线在y轴上的截距即抛物线与y轴交点的纵坐标，抛物线的对称轴方程为 ，要根据图象具体分析才能得出正确结论例3、已知：二次函数y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+(a-3)x+b2-1的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求 a，b的值解：方法一 依题意，设M(x1，0)，N(x2，0)，且x1x2，则x1，x2为方程x2+2ax-2b+1=0的两个实数根，所以x1+x2=-2a，x1x2=-2b+1因为x1，x2又是方程-x2+(a-3)x+b2-1=0的两个实数根，所以x1+x2=a-3，x1x2=1-b2由此得方程组当a=1，b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，所以 a=1，b=0舍去当a=1，b=2时， 二次函数为y=x2+2x-3和y=-x2-2x+3符合题意，所以a=1，b=2方法二 因为二次函数y=x2+2ax-2b+1的图象的对称轴为x=-a，二次函数的图象的对称轴为，又两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M，N所以两个二次函数图象的对称轴为同一直线，所以 ，解得a=1. 所以两个二次函数分别为y=x2+2x-2b+1和y=-x2-2x+b2-1依题意，令y=0得x2+2x-2b+1=0，(1)-x2-2x+b2-1=0，(2)(1)+(2)得b2-2b=0，解得b1=0，b2=2以下解法同方法一注意：本题给出两种不同的解法方法一的关键是紧紧抓住问题的本质就是两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M，N从而把文字语言转化为代数语言，设M(x1，0)，N(x2，0)，再转化为x1，x2是两个二次方程的等根来解方法二是利用两个二次函数的图象都经过x轴上两个不同的点M，N这个现象，挖掘它的内涵(从草图中也可看出)知道，两个二次函数图象的对称轴应为同一直线，从而解得a=1在求b的过程中把方程(1)和方程(2)相加消去x，因为两个方程设而不解，这种方法同学们可能不习惯,可以这样理解: 都是方程(1)和(2)的解,不妨设 ,同时也应有 ,所以 .从而推出2b=b2得解最后提醒学生对于解得的结果还要进行检验是否符合题意例4、 二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是 解： 图象大致是D分析： 这一类题是考察数学逻辑推理能力题目中a，b，c均是变量，字母多不知从何下手考虑考虑问题应该是有层次的，首先抓住两个函数共性的东西，如两个图象的交点中有一个是(0，c)，也就是说两个图象的交点中有一个应在y轴上，从而否定了A和B，且c0其次考虑完字母c后，再考虑a的取值若a0，则直线y=ax+c与x轴交点应在原点左边，这样否定了C；再检验D，从二次函数图象知a0，且c0，直线y=ax+c与x轴交点应在原点右边，所以D是正确的考虑变量的取值范围要先考虑第一个再考虑第二个、第三个有次序地进行，切忌无头绪地乱猜，思维例5、 如果抛物线y=-x2+2(m-1)x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b(1)求m的取值范围；(2)若ab=31，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；(3)设(2)中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是否存在点P，使PAB的面积等于BCM面积的8倍？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设A、B两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)因为A、B两点在原点的两侧，所以x1x20，即-(m+1)0当m-1时，0，所以m的取值范围是m-1(2)因为ab=31，设a=3k，b=k(k0)，则x1=3k，x2=-k，所以所以m=2所以抛物线的解析式是y=-x2+2x+3(3)易求抛物线y=-x2+2x+3与x轴的两个交点坐标是A(3，0)，B(-1，0)；抛物线与y轴交点坐标是C(0，3)；顶点坐标是M(1，4)设直线BM的解析式为y=px+q，所以直线BM的解析式是y=2x+2设直线BM与y轴交于N，则N点坐标是(0，2)所以设P点坐标是(x，y)，因为SABP=8SBCM所以所以y=4，由此得y=4当y=4时，P点与M点重合，即P(1，4)；所以满足条件的P点存在注意：这一类题是探索性的，需要独立思考，前两问是为第三问作铺垫的，都是常规的思路不太难第三问是假设条件成立可导出什么结果，在求BCM的面积时要用分割法，因为BCM是任意三角形，它的面积不好求，而BCN和CMN的面积都好求，底都为CN=1，高都是1SBCM=SBCN+SCMN这样就化难为易了方程-x2+2x+3=4有解则P点存在，如果方程无解则P点不存在，探索性题的思路都是这样的例6、 某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数(1)试求y与x之间的关系式；(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？解：(1)依题意设y=kx+b，则有所以y=-30x+960(16x32)(2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16)=30(-x+32)(x-16)=30(-x2+48