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06-07 二期复习C解 55二期复习C解一、填空（每空2分，共20分）1函数z=arcsin+ln的定义域是 4x2+y29 2若点(,1)是函数z=y2lnx+a(x+y)+b(xy)的一个极值点，则a= 2(ln21) ，b= 2(ln2+1) 3函数z=ln(x2+y3)在点(1,1)处的全微分dz=4设f(x,y)=，则fx(0,0)= 1 ，fy(0,0)= 0 5若非零向量、满足=，则必有（）及（）（徐230题）由得，即、向量在向量上的投影相同：，从而可知只是满足等式的充分条件，并非必要条件即满足的所有、向量，必使成立故必有由得，即，从而 6已知收敛，则=1（）7已知=，其中D：x2+y2a2，则a=（）二、计算及证明（共80分）1（7）判断级数的敛散性解显然级数是正项级数 ，且因=1，故级数收敛， 收敛2（7）求幂级数x2n的和函数，并求的和解 |=|x2|=0， R=+ s(x)=x2n=(x2n+1)=x(x2)n=(x)=(2x2+1)，|x|+ =s()=23（7）将f(x)=ln(x24x+3)展成x的幂级数解 f(x)=ln(x24x+3)=ln(1x)(3x)=ln(1x)+ln(3x)=ln(1x)+ln3+ln(1) ln(1x)=，(1x1)，ln(1)=，(3x3) f(x)=ln(x24x+3)=ln3+)，(1x于是I=（2）将两已知球面化为球面坐标方程后，交线处与z轴的夹角为=于是I=；（3）令f(x,y,z)=1，则V=2 因为积分区域内有奇点,故必须先用积分曲线代入化简去掉奇点后才能用green公式.7（7）求，L：，方向为正向解 原式=08（8）计算对坐标的曲面积分I=，其中是上半球面z=，取上侧解 记1：z=0，取下侧则I=-=+002+a2a2=+a2=9（10）设f(x)为可微分函数，且满足f(x)=ex+求：f(x)解对所给方程变形得f(x)=ex+x两边关于x求导得f(x)=ex+xf(x)xf(x)=ex再求导得f (x)=exf(x)即f (x)+f(x)=ex这是二阶常系数线性微分方程，设y=f(x)，其对应齐次方程的特征方程及特征根为r2+1=0，r=i齐次的通解为Y=C1cosx+C2sinx因其自由项为ex，m=0，=1，且=1不是特征单根，故设其特解为y*=Aex代入方程得A+A=1即A=于是其特解为y*=ex故y=Y+y*=C1cosx+C2sinx+ex注意到f(0)=1，f(0)=1，得C1=C2=从而所求函数为f(x)=(cosx+sinx+ex)10（7）求曲线在点P(1,1,1)处的切线及法平面方程解 曲线
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