方阵的行列式.ppt

1 3方阵的行列式 2 令 1 3 1二阶行列式 考虑二元线性方程组 则方程组 1 1 可表示为 A为方程组 1 1 的系数矩阵 3 用消元法解二元线性方程组 1 1 有 惟一解 4 引入记号 detA 或 A 即detA A ac bd 5 对于上述二元线性方程组 若记 则方程组 1 1 的解可表示为 说明 系数矩阵A与矩阵B1 B2的关系 6 例1解方程组 解 由于 则方程组的解为 7 1 3 2 n阶行列式 余子式和代数余子式 设A aij 是数域F上的n阶矩阵 划去A的元 aij所在的第i行第j列 A中余下的 n 1 2个元素按 原来的位置组成n 1阶方阵的行列式 称为元aij的 余子式 记作Mij 令 称Aij为元素aij的代数余子式 i j 1 2 n 8 第1行元素a11 a12的余子式分别为 如二阶矩阵 显然 detA a11A11 a12A12 M11 a22 M12 a21 对应的代数余子式为 A11 1 1 1M11 a22 A12 1 1 2M12 a21 9 1 一阶方阵A a11 a11 定义 即由一个数组成的一阶方阵和它的行列式就是这个数本身 2 假设n 1阶阶方阵的行列式已经定义 利用递推方法给出n阶行列式的定义 n阶行列式递推定义 10 定义1 8设n阶矩阵A aij 的行列式detA n阶行列式 定义为 式 1 2 中Ai1 Ai2 Ain是第i行各元素的代数余子 同理 有 式 1 2 中A1j A2j Anj是第j列各元素的代数余子 式 i 1 2 n 1 2 称为detA按第i行的展开式 式 j 1 2 n 1 3 称为detA按第j列的展开式 11 由n阶方阵A确定的行列式可记为 A 或 aij 或 矩阵 的行列式按第一行展开为 12 13 对角线法则 注意红线上三元素的乘积冠以正号 蓝线上三元素的乘积冠以负号 说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 14 例2 求detA 解1 设 15 解2 利用对角线法则计算 16 例3计算下三角形矩阵的行列式 解 17 同理 有 18 1 3 3行列式的性质 性质1设A为n阶矩阵 则det AT detA 性质2设交换n阶矩阵A的某两行或列 得到矩阵B 则det B detA 推论若n阶矩阵A有两行或列相同元素 则det A 0 性质3若用数k乘以n阶矩阵A有的某一行或一列 则得到的矩阵的行列式等于detA的k倍 即 19 推论1若n阶矩阵A有一行 列 元全为零 则detA 0 推论2若n阶矩阵A有两行 列 成比例 则detA 0 20 性质4若行列式的某一行 或列 的每一个元素均可表示为两个数的各 则该行列式等于两个行列式的和 即 性质5将n阶矩阵A的某行 或列 的k倍加到另一行 或列 得到n阶矩阵B 则detA detB 21 例4计算4阶行列式 解 分析 若能够将行列式化成上 下 三角形行列式 则计算就方便 原式 22 23 定理1 1设n阶矩阵A aij 则 1 A aij 的第i行与第k行 k i 元素的代数余 子式的乘积之和等于零 即 2 A aij 的第j列与第l列 l j 元素的代数余 子式的乘积之和等于零 即 24 定理1 2设n阶矩阵A aij 则 定理1 3设A B为n阶矩阵 则有 推广 25 例5 计算n阶行列式 1 3 4行列式的计算 其中 26 解 将行列式第1行的 1 倍分别加到其余各行 得 原式 27 28 例6 计算n阶行列式 其中 29 解 将行列式第2 3 n列加第1列 得 原式 30 31 例7 计算n阶行列式 32 解 将行列式第2 3 n列加第1列 得 33 34 n 1 阶 35 n 1 阶 n 2 阶 36 n 2 阶 37 38 39 例8计算 解 将D4的第2 3 4行都加到第1行 则 40 将第2 3 4列都减去第1列 则 41 42 43 评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行列 化成只含有一个非零元素 然后按此行 列 展开 每展开一次 行列式的阶数可降低1阶 如此继续进行 直到行列式能直接计算出来为止 一般展开成二阶行列式 这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用 44 例9 计算n n 1 阶行列式 45 解 将行列式按第1列展开 得 原式 46 例10证明 范德蒙德 Vandermonde 行列式 47 其中 表示所有可能的 的乘积 即 48 分析 由于此行列式是与自然数n相关的结论 证明 1 当n 2时 有 因此可用数学归纳法进行证明 2 假设对于n 1阶的范德蒙行列式结论成立 下证对于n阶的范德蒙行列式结论也成立 49 根据归纳假设 有 因此 有 根据数学归纳原理 对于一切自然数n 2 结论均成立 50 解rn x1rn 1 rn 1 x1rn 2 r3 x1r2 r2 x1r1 得 51 52 即 因此 有 从而 53 思考题 求第一行各元素的代数余子式之和 设n阶行列式 54 提示 n阶行列式按某一行元素展开式为 如何将两个关系式进行转化 55 五 拉普拉斯 Laplace 定理 定义1 9在n阶矩阵A aij 中 任意选定k行 行 k列 1 k n 位于这些行和列交叉点上的k2 个元按原来顺序组成的一个k阶行列式M 称为A 的一个k阶子式 在A中划去这k行 k列后 余下的元按原来 的顺序组成的一个n k阶行列式N 称为k阶子式 M的余子式 56 如果k阶子式M在A中所在的行和列的标号分 别为i1 i2 ik j1 j2 jk 则在M的余子式N 前添加符号 后 所得到的n k阶行列式 称为k阶子式M的 代数余子式 子式M的代数余子式记为B 即 57 例10在4阶矩阵 中 如果选定第二 第四行 i1 2 i2 4 第二 三列 j1 2 j2 3 就可以确定A的一个2阶子式 58 M的余子式为 M的代数余子式为 59 定理1 4 拉普拉斯定理 设n阶矩阵A aij 在A中任意选定k行 1 k n 由这k行元组成的 所有k阶子式Mi i 1 2 t 与它们的代数余子式 Bi