初等数论在中学数学竞赛中的应用.doc

莆田学院学士学位论文初等数论在中学数学竞赛中的应用摘要本文通过中学数学竞赛中的一些与初等数论有关的问题，简要地介绍初等数论中较为基本的解题方法。 并对问题所涉及的初等数论基础知识作简单的阐述。关键词：初等数论；中学数学；竞赛；整除；不定方程12Elementary number theory in middle school mathematics competition applicationAbstractThis text introduces the comparatively basic solution approach in elementary number theory briefly through some elementary number theory questions in the mathematics contest of middle school. And do simple exposition to the elementary number theory rudimentary knowledge that the question involves.Key words elementary number theory; mathematics of middle school; competition; dividing exactly; indeterminate equation目录0引言11整除理论在中学数学竞赛中的应用11.1一般整除性问题在中学数学竞赛中的应用11.2利用抽屉原理巧解整除性问题42不定方程在中学数学竞赛中的应用6参考文献11致谢120引言数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。大学里学习的初等数论是一门非常有用的数学学科的分支，它主要包括四大块内容：整除、不定方程、同余和原根。 它与中学数学的知识密切相关，这里就来通过一些典型例题的分析解答，介绍初等数论在中学数学竞赛中的应用。并对问题所涉及的数论基础知识作简单的阐述。众所周知，初等数论在数学竞赛中占有重要的地位。据有关数据统计，从1959年到2005年，国际数学奥林匹克竞赛已举办了46届， 在总共278道题目中，主要用初等数论知识来解的约占四分之一，如果加上需要用到一点数论知识去解的问题， 那所占的比重就更大了1。在国内的中学数学竞赛中，与数论有关的题目也经常出现。因此，虽然中学数学教材中没有初等数论这一部分，但在中学数学课外活动特别是数学竞赛辅导中，常常要补充讲一些初等数论的有关内容。由于初等数论的主要对象为整数性质，所涉及的内容, 往往形式较简单, 意义易理解，解题时一般所用知识不多，但经常需要较高技巧，所以，初等数论的内容，不仅是数学竞赛的基础知识，而且是培养学生思维灵活性的极好素材。本文就对初等数论在中学数学竞赛中的应用作些探讨，下面就由一些典型例题的分析来探讨。1整除理论在中学数学竞赛中的应用整除理论是初等数论的基础。由整除的概念出发, 引进带余除法和辗转相除法, 然后建立了最大公因数和最小公倍数理论, 接着证明了数学中最重要、最基本、最著名的定理之一算术基本定理。1.1一般整除性问题在中学数学竞赛中的应用例、证明对于任意整数，数是整数。分析：要证明数是整数，需证明数的结果的分数形式商是整数，化简得:于是，要证明数是整数， 相当于证明6 整除又因为两个连续整数的乘积是2 的倍数， 3个连续整数的乘积是3 的倍数，即和，并且，所以可知，所以数是整数，于是得证。证明：因为而且两个连续整数的乘积是2 的倍数，3 个连续整数的乘积是3 的倍数，并且，所以从和。有即是整数从这个例题可以清楚的知道：要证明一个与多项式有关的整除问题，不是直接可以从例题就可以看出来的，而是要从已知条件和所求的问题中发现一些东西，如有的已知条件中的多项式可以通过恒等变形后就可以非常容易的发现所求的结论，如这个例题就是利用所求的结论进行恒等变形而达到结论的，还有的可以通过已知条件和结论之间的一些简单运算（如加、减、乘、除等）从而达到结论。这类问题在中学数学竞赛中出现的频率是非常高，因为这是初等数论解决整除问题的一个基本方法。下面我们举几个例子来剖析它。例1、证明：若被6整除，则也能被6整除。证明：因为而，都是三个连续整数的乘积。故能被3和2整除，从而能6整除，又，故。当然本例题还有别的证法。证明二：由被6整除可以得到即，将此式代入若同为偶数，则；若同为奇数，则为偶数，有；若为一偶一奇，显然。因而，故例2、证明当时，是整数，并用3除时余2。证明：因为又是两个连续整数，2能整除，故为整数。而故用3除时余2。例3、证明这里n是任意整数。证法1：依题意，整理得任何三个连续整数乘积必定是3的倍数。故所以证法2：因为三个连续整数，故乘积是3的倍数。即又所以。当然这个例题还有如下证法。证法3：根据题意，n可写成，这里为整数。当时，；当时，即故，即；当时，故，即。所以这里n是任意整数。上面例1、例2、例3都是初等数论中的整除理论在中学数学竞赛中的应用，虽然都是从整数出发，看起来好像很简单，如果直接证明的话，你一定会发现很多问题，如计算量很大等。但是如果通过对已知条件和结论进行加工、构造（如恒等变形等）你会发现证题的途径有一定的技巧性。因而除了掌握常规证题方法外，还需不断地探讨新的证题方法，从中发现证题的规律，从而提高证题能力。1.2利用抽屉原理巧解整除性问题抽屉原理又叫鸽舍原理。为纪念19世纪德国数学家狄利克雷，因此抽屉原理也叫狄利克雷原理，这个原理最简单的表达方式是：假如有（或更多）个物体装入个盒子里，那么一定有某个盒子至少装有两个物体。抽屉原理从小学起,已为广大数学爱好者所熟悉。到了中学，在数学竞赛中的应用就更为频繁了。原理虽然很简单，但是巧用它, 能解决一系列有趣的数学问题, 下面就介绍如何运用它来巧解一些整数的整除性问题。例4、任意7 个整数中,必有4 个整数的和是4 的倍数。证法一：因为7 个整数是任意的，所以用这7个字母代表。 利用抽屉原理得到的性质：任意3 个整数中，必有两个整数的和是2 的倍数。由此性质知，中必有两个整数的和是2 的倍数，为此，可设 (是整数)，同理知，中必有两个整数的和是2 的倍数，可设(是整数)，同理知 中必有两个整数的和是2 的倍数，可设(是整数)。同理知，整数中必有两个数的和是2 的倍数， 可设(是整数) ， 所以由此证毕。证法二：7个整数必包含在以4为模的4个剩余类里，下面分几种情况讨论。、若7个整数都分布在以4为模的某同一个剩余类里，显然这时的任意4个整数的和都为4的倍数；、若7个整数都分布在以4为模的某两个剩余类里，那么必有某一个剩余类里含有4个整数，且这4个整数的和为4的倍数；、若7个整数都分布在以4为模的某三个剩余类里，则有4种情况：、和。容易验证每种情况都可以找到4个整数的和为4的倍数；、若7个整数都分布在以4为模的四个剩余类里，容易验证仍然可以找到4个整数的和为4的倍数。综上所述，任意7 个整数中,必有4 个整数的和是4 的倍数。这个例题的证法一是利用抽屉原理得到的一些性质巧解中学数学竞赛题中的整除性问题。如果深入仔细地想一想,由抽屉原理得到的这个性质以及例4启示我们,其中蕴含着更一般的定理: 任意个整数中,必有个整数的和是的倍数(是任意一个正整数)。证法二仍然是利用抽屉原理，只是把以4为模的4个剩余类当成4个抽屉。2不定方程在中学数学竞赛中的应用方程的个数少于未知数的个数且未知数又必须为整数的方程(组) 称为不定方程(组)。不定方程是数论中比较困难的内容。我们只讨论简单的不定方程,求解的理论证明总的来说, 这部分内容较简单, 容易掌握, 在中学数学竞赛中出现频繁，但在解不定方程时, 计算量较大, 需要仔细并能灵活运用有关解题的技巧。例、某中学初三年级有13 个课外兴趣小组,各组人数如表1：表一组别12345678910111213人数235791011141317212224一天下午, 学校同时举办语文、数学两个讲座. 已知有12 个小组去听讲座，其中，听语文讲座是听数学讲座人数的6 倍。 还剩下1 个小组在教室讨论问题，这一组是哪组？解：设去听数学讲座的人数为，则去听语文讲座的人数为，讨论问题的这一小组人数若为，则应该等于兴趣小组的总人数，而兴趣小组的总人数由表中知应是：2 + 3 + 5 + 7 + 9 + 10 + 11 + 14 + 13 + 17 + 21 + 22 + 24 =158 (人) 。所以即（1）式化为即由（2）式知为整数。设（为任意整数）则。将值代入（2）式得。因为表示一个兴趣小组的人数,所以。 即只能取0 , 1 , 2 ,当时,;当时,；当时,。 但从表中可看出4 个人的小组和18 个人的小组是没有的，组内有11 人的是第7 组，所以剩下第七小组在教室讨论问题。这个例题就是不定方程在中学数学竞赛中的应用，本例采用的是逻辑推理方法，算出只有三种情况，即在教室讨论问题的小组的人数只中可以为4、11和18，而4个人的小组和18个人的小组是没有的，从而推理出只能为11，因此得出在教室讨论问题的小组为第七组。这逻辑推理的方法是解不定方程的一种重要的方法，也是一种很重要的数学思想方法。当然解不定方程还有很多方法，下面举几个例子来分析。例5、求不定方程的一切正整数解。分析：现在先回忆完全平方数的4个性质:(1) 平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而不能是2，3，7，8；(2) 偶数的平方必是4 的倍数，而奇数的平方是8 的倍数加1；(3) 当平方数的个位数是奇数时，其十位数必是偶数；当平方数的个位数是6 时，其十位数必是奇数；(4) 任意平方数可以表示为或的形式。解：因是16的倍数，由上述平方数性质2 知，不定方程中， 只能全是偶数，于是可设(也是正整数)， 代入并化简可得, 而,同理可知，其中全是偶数，于是再设,(也是正整数)，代入并化简可得易知不定方程(*)的正整数解是或。由此可见我们求的不定方程的正整数解是：或。这个例题就是在了解完全平方数的性质的基础上，观察平方数，运用平方数的性质，从而达到大数化小，最后求得与原不定方程同解的更为简单的不定方程，这样大大减少了计算量。例6、设为质数，且，求三元数组。分析：本题可采用奇偶分析法求解。解：由题设可知与必同为奇数或同为偶数。、当与同为偶数时，因为为质数，所以，从而有均为质数，且。故。、当与同为奇数时，则与同为奇数，从而为偶数。又因为为质数，所以，从而有。由于与是两个相联的奇数，所以只有。故综上所述：或。本例所采用的是奇偶分析的方法求解，在对奇数和偶数充分熟习的基础上，对已知条件的与同为奇数、同为偶数的情况分别讨论，分析过程中应注意唯一的一个偶数质数2。三个未知数中知道一个后，该方程也就成了大家所熟习的二元一次不定方程，那解法就很简单了。例7、求所有正整数，使得是一个完全平方数。分析：因勾股数方程固定的求解公式，可直接应用其得到结果，因此本题可采用公式求解法。解：设，则为一勾股数组。由可知，存在，使得或若（1）成立，则，解得，为完全平方数。又由， 即检验知只有符合题意，此时若（2）成立，则，解得，为完全平方数。又由，即检验知只有和符合题意，当时，当时，综上所述。所求的值为和。本例采用的是公式法求解，因为本例用到勾股数方程，而勾股数方程本来就是固有的求解公式，因此可以直接运用它得到结果。本例中如题设为一完全平方数，可设则为一勾股数组，因此可以直接运用勾股数方程得到结果。当然数学里固有的公式很多，如佩尔方程、欧拉公式等都是固有的求解公式。例8、求的整数解。解法1：直线过点。且直线的斜率。由直线的点斜式参数方程得或当取整数时，即得原方程的整数解。解法2：化为由是5的倍数得，代回方程得到，所以原方程的整数解可由给出。本例的解法一采用的是几何的方法求解的，与解法二相比显然解法一比较简单，而且很容易就让中学生理解接受。上述几个例题都是初等数论中的关于不定方程在中学数学竞赛中的应用，不定方程这块内容本来一直就是中学数学竞赛中的热点，其看似简单，其实解法相当灵活，如果不熟习不定方程的解法或用的方法不对，很有可能解不出来或者加大计算量。如上面的例题有用到逻辑推理方法、奇偶分析法、公式法、几何法等等，当然还有很多解法。如配方法、判别式法、拆项法、分解法、放缩法、约数分析法、比较指数法等等，当然这里不能一一列举，只能对个别典型的例题分析解答。参考文献1陈志云.程敬荣，通过初等数论的教学培养学生思维的灵活性J，高等函授学报，8-9.2潘焦萍，初等数论典型题解J， 当代电大（本科数学类），2004（8），90.3一帆，巧用抽屉原理妙解整除性竞赛题J，聪明屋，36-38.4从志坚，抽屉原则在证明整除性问题中的应用J