1940-1959普特南大学数学竞赛试题.pdf

第第1届届 1940年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 A 1 有一个立体两底位于水平面 2 h z 与 2 h z 内包围它的侧面是曲面 它的每一个水平截面的面积为 a0z3 a1z2 a2z a3 特殊情形系数可以为零 证明它的体积为 4 6 1 21 MBBhV 这里 B1B2为底面积M 为中 截面面积 A 2 有一个浮标由三部分组成一个圆筒与两个相等圆锥其中每个圆锥的高 等于圆筒的高问当表面积一定时什么样的形状会有最大的体积 A 3 如果一个质点在平面内运动其坐标可表为时间 t 的函数x t3 ty t4 t 证明曲线在 t 0 处有一个拐点并且质点运动的速度在 t 0 处有一个极大 值 A 4 伐木工砍一棵树树干是圆柱形粗细均匀他先砍出一道 V 形槽槽的 两边是平面两面的交线是通过圆柱的轴的一条水平线其二面角为 如果给定 证明平分 的平面是水平面时所砍去的材料的体积最小 A 5 求下列极限的值 i n n e n2 lim ii dtt x x t x 0 1 0 2sin1 1 lim A 6 一个游泳者站在正方的游泳池的一角希望达到对角线方向的对面的一 角设 w 是步行速度s 是游泳速度s w求他到达目的地所需时间最 短的路径 考虑两种情况 i 2 s w A 7 i 证明一个薄的均匀的球壳对一个在球外的点产生的引力相当于这个球 壳的质量全部集中于它的中心时所产生的引力 ii 确定在曲线 z xy上的所有直线并将结果图示 第第1届届 1940年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 B 1 i 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa d 设 Aik是行列式 d 中 aik的余子式 D 是在 d 中 对应地用 Aik代替 aik所得的行列式证明D d3 ii 设 P y Ay2 By C 是 y 的一个二次多项式设二次方程 P y y 0 的根 是 aba b证明ab 是双二次方程 P P y y 0 的根据此写出 一个二次方程使得它的根 cd 是上述双二次方程的另外两根并应用 以上结果解下面的双二次方程 y2 3y 2 2 3 y2 3y 2 2 y 0 B 2 求方程 yy 2 y 2 0 通过点 x 1y 1 的所有的解 B 3 有一个直径 3 吋水平放置的圆盘正在按每分钟四周旋转离圆盘较远但 在同一平面上有一个点在发光一个昆虫放在圆盘的边上离光源最远处 头对光源这时它立即惊起按每秒 1 吋爬行而且总是头对着光源试建 立运动的微分方程并求出昆虫再次达到圆盘的边上的点 B 4 已知抛物线 y2 2mx试从它的那些与曲线的法线重合的所有弦中求一条 长度最短的弦 B 5 从等轴双曲线的中心向曲线的各条切线作垂线求垂足的轨迹用极坐标 写出轨迹的方程并作草图 B 6 求 平 面 Ax By Cz 1 0 与 椭 球1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 之 间 的 最 短 距 离 令 222 1 CBA h 222222 CcBbAam 试用代数式表示并讨论 平面在椭球外面的条件 第第2届届 1941年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 A 1 求从原点到曲线 y2 x3上一点的弧长 已知这一点处的切线与 x轴成 45o角 A 2 在曲线 y x3上取一点 P在 P 处的切线又再与曲线交于 Q证明在 Q 点 曲线斜率是在 P 的斜率的四倍 A 3 求三次方程使它的根是 x3 ax2 bx c 0 的根的立方 A 4 求两条直线方程 它们每一条都与四条直线 x 1 y 0 y 1 z 0 z 1 x 0 x y 6z全部相交 A 5 i 解微分方程组zyx dt dx 132 yx dt dy 当 t 0 满足条件 x y 0 ii 一个重质点缚在一条轻的杆 AB 的一端 A 上杆长 a杆的 B 端有铰 链使它能在一个垂直平面上自由转动杆在铰链上面竖直的位置处于平 衡然后轻微地扰动它证明杆从通过水平位置降到最低位置的时间是 21ln g a A 6 i 半径为 a 的圆在内半径为 3a 的一个圆环的内侧滚动求在动圆圆周上 一点生成的闭曲线所包含的面积 ii 炮弹击中距地面高度为 h 的正在飞行的飞机已知炮弹在地面上发射 时有初速度 v0大炮位置及仰角都是未知的试推断大炮位于一圆内圆 心在飞机的正下方半径是ghv g v 2 2 0 0 忽略大气阻力 A 7 i 求与曲线族 y k2 2 x2 k2 x2 的所有曲线切触的曲线作这条曲线及族中 两条曲线的草图 ii 如果函数 1 1 1 bxax 展开为 x 的幂级数 c0 c1x c2x2 证明函数 1 1 1 1 22 xbxaabx abx 可展开为 x的幂级数L 32 3 22 2 2 1 2 0 xcxcxcc 第第2届届 1941年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 B 1 从悬链线 c hx cycos 的顶点 0c 作悬链线在 P 点的切线的垂线 L证明 L被两坐标轴所截的长度等于 P 点的纵坐标 y B 2 求定积分 i 3 1 3 1 xx dx ii 1 31xx ee dx B 3 已知幂函数 a0 a1x a2x2 中的 an n2 1 3n证明存在关系式 an pan 1 qan 2 ran 3 0这里 pqr 是与 n 无关的常数求这些常数及幂级数的和 B 4 求抛物线方程它切 x 轴于 10 y 轴于 02 求抛物线的轴及顶点坐 标 B 5 i 证明 1 1 affafadxxfx a L这里 a 1并求出 a dxxfx 1 2 与上式相当的表达式 ii 一质点在直线上运动仅有与速度成反比的力作用于其上如果初速 度为 1000 呎 秒当它经过 1200 呎后速度为 900 呎 秒试计算运行这段 距离的时间误差不超过百分之一秒 B 6 i 设 f x 在 axb 上有定义并且连续可微证明在 a x b 上有 2 1 fbx ab afbf ax afxf 为 ab 之间的某数 ii 两条均匀的杆子每条的质量为 m长为 2a相互平行相距 b并 且其中心联线与它们垂直试计算相互吸引力并考虑 a 为零的情形 B 7 i 设L 6 3 1 63 xx uL 7 4 1 74 xxx vL 8 5 2 852 xxx w证 明u3 v3 w3 3uvw 1 ii 设中心锥 ax2 by2 2 px qy c 0 ax2 by2 2 px qy 2c 0 是已 知的正的常数证明如果从原点到第一个锥的所有射线段按 比 1 改变 新的射线段的端点生成第二个锥 设 P 点坐标为 1 2 1 2 b q a p 证明如果从 P 到第一个锥的所有射 线段按 比 1 呈反向改变新的射线段的端点生成第二个锥注意 1 的 情形 第第3届届 1942年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 A 1 证明 如果 f x 是具有整系数的多项式 并且存在一个整数 k 使得整数 f 1 f 2 f k 均不被 k除尽则 f x 没有整根 A 2 设 A 与 B 是在连续且有连续导数的曲线 y f x 上的两个固定点设弧 AB 对于弦 AB 是凹的如果 P 是弦 AB 上的一个点使得 AP PB 最大求证 PA与 PB与曲线 y f x 在 P 点的切线有相同的交角 A 3 求 f x 当适当选择积分常数时使得 n n dxxfdxxf A 4 抛物线 y2 4px沿着抛物线 y2 4px作不带滑动的滚动求滚动着的抛物线 顶点的轨迹方程 A 5 证明有四条直线上与六个椭圆上的点满足联立方程 x4 x2 y4 y2 z4 z2且 没有另外的点满足它 A 6 f x 是 n 次多项式使得 f x 的一个幂次能被它的导数 f x 的一个幂次所除 尽即 f x p被 f x q除尽pq N求证f x 被 f x 除尽并且 f x 有一 个 n 重的单根 A 7 如果L 2 2 2 1 uu与L 2 2 2 1 vv是收敛的实常数级数证明 u1 v1 p u2 v2 p 是收敛的p 是大于等于 2 的整数 A 8 有一个以直线 A1x B1y C1 0A2x B2y C2 0A3x B3y C3 0 为边界的三角 形证明它的面积 不计较符号 是 22 11 11 33 33 22 333 222 111 2 BA BA BA BA BA BA CBA CBA CBA 第第3届届 1942年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 B 1 有一颗子弹用初速 v0与水平线成角 射出除重力外没有其他的力作用于 其上 求从始点起直到它落在水平面上所经路径之长 并证明当 sin lg sec tg 1 时弹道最长 B 2 在半径为 R 的圆柱体上镗上一个半径为 r rR 的圆柱形的孔两轴成直 角 i 证明小圆柱套上大圆柱的表面的面积为 1 0222 2 2 1 1 1 8dv vmv v rS R r m ii 如果 1 0222 1 1 vmv dv Kdv v vm E 1 0 2 22 1 1 证明S 8 k2E R2 r2 K B 3 从笛卡尔平面内任一点 ab 证明 i 能对抛物线 y2 4px作三条实的或虚的法线 ii 如果 4 2p a 2 27pb28 第第4届届 1943年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 A 1 试证明当 0 x0 直线 x 0 及 x a 所包围的面积的质量中心 的 x 坐标是由 g x 给定的证明 2 xgx dx e xgx xg Axf这里 A 是正 常数 A 7 i 证明 222 222 222 1 2 2 21 2 2 21 bacabcbca abcacbcab bcacabcba 1 a2 b2 c2 3 ii 回转半椭球是由椭圆1 2 2 2 2 b y a x 在第一象限部分绕 x 轴旋转构成的 证明当且仅当8b5a时用它的顶点放在水平面上这个半椭球成稳 定的平衡 第第4届届 1943年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 B 1 有一运动质点 xy 对 10 与 10 的角速度相等而符号相反证明 y x2 y2 1 dx x x2 y2 1 dy并且验证这是通过 10 与 10 且以原点为中 心的等轴 直角 双曲线族的微分方程 B 2 计算下面的极限 n i n in1 22 1 lim n i n in1 2 1 lim 2 1 2 1 lim n i n in B 3 求方程 y y P x yQ x 0 的任何两个线性无关的积分的乘积 z 所满足的 微分方程 B 4 已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x 的两条垂直的直径作出与它们共轭的两条直径证 明通过这些直径的端点的等轴双曲线也通过椭圆的两焦点 B 5 一辆卡车它的车轮半径均为 a 呎以每秒 弧度的角速度行驶一个质 点从车轮中的轮胎脱出这里假设 a 2 g 不计空气阻力证明质点能够 达到的距路面最大高度是 g ga 2 21 B 6 假设 f x 在区间 01 连续 证明 1 0 1 x x y xy yz xz dxdydzzfyfxf 3 1 0 3 1 t t dttf B 7 i 证明函数方程 f x y f x y f x f x f y f y 1 xy 是实数 的任何解 f t 有 f t m2f t 其中 m 是大于等于零的常数 假设 f t 的二次导数存在且连 续则 f t 是函数 cosmt coshmt 中的一个 ii 设有 n 个常数值 b1b2bnn 个彼此不同的常数值 a1a2 an以及由 x 的恒等式0 1 1 1 1 12 2 1 2 2 22 1 1 1 2 11 12 n n nnn n n n baaa baaa baaa xpxxx L LLLLLL L L L 定义的一个多项式 p x 对于一个已知多项式 t 定义另一个多项式 Q x 它为上面的恒等 式中将 p x b1b2bn代之以 Q x b1 b2 bn 所得的 x 的恒等式所确定证明用 x a1 x a2 x an 除 p x 所得余式为 Q x 第第5届届 1944年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 A 1 一边长为 2a 的正方形总位于 XY的第 I 象限内当此正方形移动时它的 两个相邻顶点始终分别保持在 x轴上和 y轴上求正方形中心的轨迹 A 2 设多项式 f x 除以 x a 2 x b 其中 a b试导出表示余式的公式 A 3 问下列级数是收敛还是发散 L 4 4 3 3 2 2 7 19 5 4 7 19 4 3 7 19 3 2 7 19 2 1 1 A 4 求二次曲线族 x 2y 2 a x y 的正交轨线族问两族曲线在坐标原点交成的 角等于多少 A 5 一半径为 a 的圆面绕其所在平面内与圆心相距为 b b a 的一条直线旋转 180o问当 a b 为何值时旋转所生成的立体的重心位于立体的表面上 A 6 对于 XY 平面 水平面 内的每一个圆都用圆面上方的一个点来代 表这个点位于经过圆心的竖直线上且到圆心的距离等于圆的半径证 明与一定圆相交成定角的所有圆的代表的轨迹为一单叶双曲面的一部 分再考虑平面内的适当圆族证明在双曲面上必有两族母线存在 第第5届届 1944年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 B 1 一边长为 2a 的正方形始终位于 XY平面的第 I 象限当此正方形移动时 它的两个相邻顶点总分别保持在 x 轴上和 y 轴上试证在正方形内部或在 正方形边界上的点的轨迹通常为一二次曲线 一部分 对于正方形的什么 样的点这种轨迹会发生退化 B 2 对于给定抛物线族a xaxa y2 23 223 i 求顶点的轨迹 ii 求包络 iii 画出包络和弦族两个典型曲线的略图 B 3 给定 x uv y uv 其中 和 是下列偏微分方程的解 1 uvvu 1 假定 u 和 v为自变量 试证 1 可以变换为 x u v y 2 并概要说明通过对 2 积分怎样获得 1 之 解 1 还有另外什么解 B 4 一质点在一与距离 k 次方成反比的有心力作用下运动如果质点的运行轨 迹为一圆 假设有心力均由圆周上的点出发 试求 k的值 B 5 作出曲线 xx x y 26 sin1 的略图并证明 0 26 sin1xx xdx 存在 第第6届届 1945年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 A 1 设 abc 为实常数函数 f x ax2 bx c 当 x 1 时满足条件 f x 1试 证当 x 1 时 f x 4 A 2 设 a x b x c x 和 d x 都是 x的多项式试证 xxxx dxxcxbdxxdxadxxdxbdxxcxa 1111 可被 x 1 4除尽 A 3 位于边长为 b 的正方形四角上的四个雷达站同时发现一枚飞弹这时飞弹 至四个雷达站的距离按照环绕正方形次序各为 R1R2R3R4证明 2 4 2 2 2 3 2 1 RRRR 并证明此时飞弹离开地面的高度 h 由下列公式给出 8 22 42 2 2 4 2 2 2 3 2 1 4 4 4 3 4 2 4 1 2 4 2 3 2 2 2 1 2 2 b RRRRRRRRRRRRb h A 4 设函数 g x 对一切 x 值有连续的一阶导数 g x 又设对每一 x 下列条件成 立 i g 0 0 ii g x g x 试证g x 0 A 5 求由坐标平面与椭球面1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 的一个切平面所界的最小体积 A 6 一单位质量的质点在一直线上运动它所受的作用力 f v 是其速度 v 的函 数但具体形式不知观测质点的运动发现在时间 t 内质点通过的路程 x可用公式 x at bt2 ct3来表示式中 abc 均为常数数值由观测决定 试对进行实验的 v值范围求出函数 f v 第第6届届 1945年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 B 1 令 K 表示半径为 1 的一个圆盘的圆周令 k 表示联结 K 上两点 ab 且含 于圆盘内部的一条圆弧假设 k 把圆盘分成面积相等的两部分试证 k 的 长度大于 2 B 2 设 AB 为抛物线 P 上的两个变点使得在 AB 处的两条切线相互垂直 证明由 AB 及 P 之顶点所成的三角形形心的轨迹为一抛物线 P1对 P1再 重复上述过程又得一抛物线 P2余类推设如此得到的抛物线序列为 P P1P2Pn如果 P 的方程为 y2 mx试求 Pn的方程 B 3 有一半径为 R 的实心球其密度 是离开球心的距离 r 的函数如果球对 球内任意一点的引力量值是 kr2 k 为常数 试求出函数 P r 并且求出 在球外面距球心为 r 远处的一点所受引力的量值 对于一薄球壳体作如下 假定如果点 P 在壳体里面则设壳体对 P 的引力值为零如果 P 在壳体 外面则设引力值为 2 r m 其中 m是壳体的质量r 是 P 到球心的距离 B 4 对每一个正整数 n令 n n n p 1 1 1 1 1 n n n P nn nn n Pp Pp h 2 证明 h1 h2 hn B 5 证明大于 n2 13 的下一个整数能被 2n 1除尽 B 6 一质点在一圆心为 O 的圆上运动已知它在一点 P 从静止开始到达另一 点 Q 又静止下来中间再无其他静止点试证质点的加速度矢量在 P 与 Q 之间的任何一点均不为零而且在 P 与 Q 之间的某一点 R加速度矢量必 沿半径 RO 的方向 第第7届届 1946年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 A 1 设数列 an 满足条件 2 an an 1 1n1试证当 n 时 n alim存在且等 于 1 A 2 设一实值连续函数对于所有实数 x 和 y 满足函数方程 22 yxf f x f y 证明 2 1 x fxf A 3 给定一平面图形以及在该平面内但不在线段 S1S2S6上的任意两点 Q1和 Q2 证明连结 Q1和 Q2且具有下述性质的折线 P 不存在 i P 穿过每一 Si i 126 恰有一次 ii P 不与它自身相交 iii P 不通过任一个顶点 V1V2V3V A 4 一门海岸炮在一固定垂直平面内能以 0o和 90o之间的任意仰角发炮如果 空气阻力忽略不计炮弹离开炮口时的初速为一常数 v0 试求出该平面 内位于水平线上方能被炮弹击中的点的集合 H A 5 设 a1b1c1均为正数其和等于 1对 n 12定义 an 1 2 n a 2bncn bn 1 2 n b 2cnancn 1 2 n c 2anbn证明当 n 时anbncn的极限都存在 并且求出这些极限 A 6 一个 3 3 矩阵的行列式等于零且其任一元素的余因子等于该元素的平方 aij的余因子是划去第 i 行和第 j 列后得到的行列式与 1 i j的乘积 试证 矩阵中每个元素都为零 V2 V3V1 V S1S3 S4 S5 S2 S6 第第7届届 1946年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 B 1 设函数 f x 满足 f 1 1且对 x1 有 1 22 xfx xf 试证极限 limxf x 存在且极限值小于 1 4 B 2 设 f x 是一定义在闭区间 01 内的可微函数满足 f x M0 x 1试 证 n k n k f n dxxf 1 1 0 1 n M B 3 设 xy 为平面内点的卡氏坐标I 表示线段 1x3y 1对于 I 上的每 一点 P在连结原点与 P 的线段上取一点 P 使得 PP 100 1 当 P 沿 I 运动时对应点 P 沿某一曲线 C 运动设 l I 和 l C 分别是 I 和 C 的长 度问 l I 和 l C 哪一个较大证明你的结论 B 4 设 P z z2 az b 是一具有复系数 ab 的复变量 z 的二次多项式又设对满 足 z 1 的每一个 z均有 P z 1试证a b 0 B 5 设 abcd 为不同整数使得 x a x b x c x d 4 0 有一个整数根 r 证明4r a b c d B 6 OXOYOZ 是相互垂直的直线C 是 OZ 上一定点U 和 V 分别是 OX 上和 OY上的两变点一点 P 使得 PUPVPC 相互垂直试求点 P 的轨 迹 第第8届届 1947年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 A 1 设 z为一复数满足 z 1问 z2 z 2 的最大值是多少 A 2 相切的两个球面有一公共的切锥面这三个曲面把空间分成许多部分只 有一个环形部分由所有三个曲面围成假设两个球面的半径分别是 r 和 R试求环形部分的体积 答案用 rR的有理函数表示 A 3 设 an 是一极限为 0 的递减的正数序列使得对一切 n 有 bn an 2an 1 an 2 0试证 1 1 n n anb A 4 设 D 是半径为 r 的一个圆所围成的平面区域设 xy 是 D 的一点并考 虑以 xy 为圆心 为半径的一个圆用 l xy 表示此圆在 D 外边的那段弧 的长度试求 D dxdyyxl 1 lim 2 0 A 5 设 x1x2xn表示 n 次单位根计算 2 ji xx i ai1 ai2 ai i 1 aii 1 ai n 试 证此行列式不等于零 考察对应的齐次线性方程组 第第9届届 1948年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 A 1 i 有通过三个点 0 a0 a0 a 与 aa0 并分别平行 x 轴y 轴与 z 轴的三条直线a 0另有一条变动的直线它与三条已知直线的 每一条有一个公共点求由变动直线形成的曲面方程 ii 哪些平面割曲面 xy xz yz 0 成 1 圆 2 抛物线 A 2 从相同的始点 O 作三个向量各长 ab 与 c设 E 是以 O 为顶点以已知 向量为棱的平行六面体而设 H 是以 O 为顶点以已知向量为高的平行六 面体证明 E 与 H 的体积的乘积等于 abc 2推广这个定理到 n 维并给 出证明 A 3 假设复数 a1a2an全非零并且 ar as 1当 r s证明 1 3 1 n n a 收敛 A 4 已知顶点为 ABCD 的四面体内的一点 P使得 PA PB PC PD 为最 小证明 APB CPD并且被同一条直线所平分还有哪些其他成对的 角相等 A 5 在复平面的每一个象限方程 z6 6z 10 0 有多少根 A 6 对于每一个实的或复的 x证明 x x x k k sin 3 3 2 cos21 1 第第9届届 1948年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 B 1 开区间 01 的每一个有理数 q p pq 是互素的正整数 由长度为 2 2 1 q 中心 在 q p 的闭区间所覆盖证明 2 2 不被上述的闭区间中的任何一个所覆盖 B 2 i 证明 2 lg lgcos lg n n n 发散 ii 假设p 0a 0并且ac b2 0证明 222 2 cybxyaxp dxdy 2 1 21 bacp B 3 设 K 是一条闭的平面曲线K 的任何两点之间的距离总小于 1证明 K 在 一个半径为 3 1 的圆周内部 B 4 证明在展开式 4 611 2 xxx a1x a2x2 a3x3 中的系数 a1a2a3 是正整数 B 5 设 a1a2an是任意正数序列证明 n n n n a aa 11 suplime B 6 令 C 是一个有连续转动的切线的闭凸曲线设 O 是 C 内的一点对 C 上 的每一点 P 定义 C 上的点 T P 如下在 P 作 C 的切线从 O 作切线的垂 线T P 是垂线与曲线 C 的交点从 C 上一点 P0开始用公式 Pn T Pn 1 n1 定义 Pn证明点列趋于一个极限并且序列 Pn的极限具有这些点的 性质 考虑下面的事实T 是一个连续的变换凸曲线在它的每一切线中的 一侧这不要证明 第第10届届 1949年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 A 1 比 b a 为何值时蚶线 r a bcos 是凸曲线 a b 0 A 2 判断下列级数的敛散性 i LL lg 1 4lg 1 3lg 1 2lg 1 n ii L L L n 3333 1 333 1 33 1 3 1 33 A 3 序列 x0 x1x2由下列条件定义x0 ax1 b n xnx x nn n 2 12 1 1 n1 这里 ab 是已知数试用 ab 表示 n n x lim A 4 i 有一个底面为三角形的直立棱柱其彼此相邻的三个面 即两个侧面与 一个底面 的面积之和为给定值证明这些面有相等面积并且彼此垂直时体 积最大 ii 证明 x t dte xxx xxxx 0 2 642 753 2 642422 1 7531531311 L L A 5 正整数变量 n 的函数 D n 具有下列性质 i 当 p 是素数时D 1 0 D p 1 ii 对任何两个正整数 u 和 v有 D uv uD v vD u 解决下面 三个问题 i 证明这些性质是相容的并且确定唯一的 D n 导出一个关于 n nD 的 公式假设 k k pppn L 21 21 这里 p1p2pk是不同的素数 ii 对于什么样的 nD n n iii 定义 D2 n D D n 等等求 m趋向于 时 Dm 63 的极限 A 6 幂级数 a0 a1x a2x2 a3x3 f x 的每一个系数 an或者取值 1或者取值 0 试证 i 若 f 0 5 是一个有理数则 f x 是一个有理函数 ii 若 f 0 5 不是一个有理数则 f x 不是一个有理函数 第第10届届 1949年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 B 1 在一条直街上有 n 家住户每家有一个或多于一个小学生在街的什么地 方让小学生集中他们走的路的距离的总和最小 B 2 半轴为 a 和 b 的椭圆 它的周长有两个显然的近似值 即 a b 与 2 2 1 ab 当比值 a b 很接近 1 时那一个比较接近真实值 B 3 在阳历里按公元纪元 i 年数不被 4 除尽是平年 ii 年数被 4 除尽但不 被 100 除尽是闰年 iii 年数被 100 除尽但不被 400 除尽是平年 iv 年 数被 400 除尽是闰年 v 闰年 366 天平年 365 天证明圣诞节在星 期三的概率不是 7 1 B 4 有一个正柱体它的横截面是一椭圆半轴为 a 和 ba b柱体很长由 很轻的均匀物质做成柱体横放在水平地面上它与地面相切于一直线 这条直线是各个横截面的短轴的下端的连线沿着这些短轴上端点的连线 放一条很重的均匀的直的金属线长度与柱体相同金属线牢固地与柱体 结合我们不计柱体的重量金属线的密度以及与地面的摩擦因为上述 系统为对称所以具有平衡性这种平衡性可以理解为当 a b 很小时是稳定 的当这个比接近 1 时是不稳定的考察这个论点并求稳定与不稳定分 界时的比值 a b B 5 i 已知第 n 项是 Sn 2Sn 1的序列收敛证明序列 Sn 也收敛 ii 变动一个平面的位置使之包含一个锥锥的体积为 3 3 a 它的曲面 的直角坐标方程为 2xy z2求这个变动平面的包络方程并将结果应用于 一般的二阶锥 即锥面 B 6 考虑闭的平面曲线 ci与 c0它们的长各为 ci 与 c0 闭曲面 si与 s0它们的 面积各为 si 与 s0 假设 ci在 c0内而 si在 s0内证明下列四项之中的正确结 论及其他不正确的结论 i 当 ci是凸的则 ci c0 ii 当 si是凸的则 si s0 iii 当 c0是包含 ci的最小凸曲线则 c0 ci iv 当 s0是包含 si的最小凸曲线则 s0 si 可假设 ci与 c0是多边形而 si与 s0是多面体 第第11届届 1950年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 A 1 证明如果 abcdef 为实数则行列式 0 0 0 0 fec fdb eda cba 是非 负的 A 2 在平面上一动点到几个定点的距离的平方和为一常数问此点的轨迹是 什么又对于此常数必须附加何种限制用几何语言叙述方能使所求轨迹为 非空集合 A 3 求无穷级数的和LL 23 1 10 1 7 1 4 1 1 1 n n A 4 画出下列方程表示的曲线y4 x4 96y2 100 x2 0 A 5 在平面上考虑由整数点构成的点网络试对具有有理斜率的直线证明下述 结论 i 这样的直线或者不通过网络点或者通过无穷多个网络点 ii 对于每一条这样的直线都存在一个正数 d使得除去直线上可能有 的网络点以外再没有网络点与直线的距离小于 d A 6 试确定抛物线的一条法线弦的位置使得这条弦截该抛物线所成的弓形有 最小面积 A 7 证明如果级数 a1 a2 a3 an 收敛则级数 n aaa a n L 32 32 1 也收敛 第第11届届 1950年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 B 1 设微分方程 M xy dx N xy dy 0 有一形如 f xy 的积分因子试找出函 数 M 和 N 必须满足的条件推导时可以假设 M 和 N 具有一切阶的连续偏 导数 B 2 考虑 x 的两个可微的且不恒为零的函数试找出这样两个函数的例子使 得他们之商的导数等于它们的导数之商 B 3 证明如果 x为正数则 xx 1 11 1ln B 4 试研究一个同时与四个不同的同心圆相切的平面椭圆图形的存在性讨论 可以采用任何行之有效的方法 B 5 已知通过环面中心的一个平面是环面的切平面证明该平面与环面的交集 由两个圆组成 B 6 设三次方程 x3 ax2 bx c 0 的所有根均为实根试证最大根与最小根之差 不小于ba3 2 或不大于 3 3 2 2 ba B 7 试求四维超球面 x2 y2 z2 t2 r2的体积及其内部 x2 y2 z2 t2 r2的超体积 第第12届届 1951年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 A 1 设 n i in ix axf 0 为整系数次多项式 若 a0an及 f 1 均为奇数 证明 f x 0 没有有理根 A 2 试证方程 2 2 2 99y dx dy x 的积分曲线是一族与一个固定正方形相切 的二次曲线 A 3 试求保证 r1r2r3与 2 1 r 2 2 r 2 3 r 都是方程 x3 ax2 bx c 0 的根的充要条 件 A 4 联合国的会旗由地球的极坐标地图构成以北极作为中心 极点 伸 展导南纬 45o那些平行的纬线是同心圆其半径分别与它们的余纬 度成比例澳大利亚挨近地图的边缘被南纬 30o线所横贯试问在这个 纬度附近东西单位距离与南北单位距离在图上长度比是多少 A 5 设 aj j 12n 是完全任意的数没有一个等于 1试证 n i i j n j jji aaaa 2 1 11 1 1 1 1 A 6 某人有一块长方形木料尺寸为 m n r 立方英寸 mnr 为整数 他将 表面漆上油漆然后切成 1 立方英寸一个的小块发现恰好有半数小块完 全没有油漆求证具有这种特性而实质上不同的木块的数目是有限的 A 7 以某个圆的圆心引出一族方向线其角度为 0 1 2 3 从初始方 向开始以弧度来度量 设这些线交圆周于 P0P1P 1P2P 2P3P 3 试证在圆周上不存在那样的区间它不含有上述任何一个 P 点 第第12届届 1951年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 B 1 给定一个三角形的两边与夹角有个笨人想到用余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA 去求第三边 a他这样用对数求 lgb 并二倍之加到 lgc 的二倍上减去 2bccosA 的对数之和将结果除以 2再取反对数虽然他的做法 易受怀疑但他竟获得了正确的得数试问就三角形而论这种做法能产 生正确结果的充要条件是什么 B 2 试求由的积分曲线族与圆相交所生成的曲面 B 3 找出方程0 0 0 0 32 31 21 xaxa xaxa xaxa ai 0 有重根的充要条件 B 4 一个均匀的固体物件是由一个高为 h 半径为 r 的圆柱与一个半径为 r 的半 球吻接而成这物件以半球的顶点朝下放在水平桌面上圆柱的轴处于竖 直位置因而容易摆动我们显然直觉到若 r 比 h 大这平衡是稳定的 而若 r 比 h 小这平衡是不稳的试问要使此物件成随遇平衡比值 h r 的临界值应是多少 B 5 设数列 an 是单调的而且 1n n a 收敛试证 1 1 n nn aan收敛 B 6 试证内接于椭圆的三角形中面积为最大的三角形的充要条件是它的形心 与椭圆的中心重合 B 7 给定任意实数 N0而 Nj 1 cosNj证明 j j N lim存在并且不依赖于 N0 第第13届届 1952年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 A 1 试证对于每个正整数 n有n n nnn 6 34 21 3 2 A 4 试 从 恒 等 式 2 0 2sinln xdx 2 0 sinln xdx 2 0 cosln xdx 2 0 2ln dx 推 算 2 0 sinln xdx的值 A 5 设从一点 P 能向抛物线作出三条法线试证这三条法线的倾角之和与连结 P 及焦点的直线之倾角相差 的倍数 A 6 证明数列777 777 7777 收敛 并计算其极限值 A 7 假定 x3 px2 qx r 0 的根都是正实数试求 pqr 之间的一个关系式 使得该式是这些根为一个三角形的三内角的余弦值的充要条件 第第13届届 1952年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 B 1 无穷级数 1 1 1 n n n n 收敛吗试证明你的论断 B 2 若 a0a1a2an为实数而 f x a0 a1x a2x2 anxn假定对每个整数 if i 为整数求证 n aK对于每个 K都是整数 B 3 求解方程组 n zyz dx dy n zyy dx dz 其初始条件为 当 x 0 时 y 1 z 0 B 4 试确定三维笛卡尔空间内一个具有如下性质的曲面方程 a 它通过 111 b 若在曲面上任一点 P 作切平面分别与各坐标轴交于 ABC 点则 P 是ABC 的垂心 B 5 试证若将方程 x4 ax3 bx2 cx d 0 的根适当编号则它们满足关系式 4 3 2 1 r r r r 这里假定 a2d c2 0 B 6 P 与 Q 是圆 c 其圆心为 c 内满足 CP CQ 的任意两点试确定 c 上一点 Z 的位置使 PZ QZ为最小 B 7 设 W为无理数0 W 1试证 W有唯一的收敛的展开式 L 3210210100 1111 pppppppppp W式中 p0p1p2为整数且 1 p0 p1 p2 如果 2 2 W试求 p0p1p2 第第14届届 1953年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 A 1 设 n 为大于 1 的奇数A为 n n 对称矩阵其每行每列均由整数 12 n 的某个排列构成求证整数 12n 必定都在 A的主对角线上出现 A 2 在边长为 1 的正方形内任取五点 P1P2P3P4P5用 dij表示点 Pi与 Pj 之间的距离试证至少有一个距离 dij 2 2 又题目中的 2 2 能否用一个更 小的数来取代 A 3 试证如果微分方程 xqyxp dx dy p x q x 0 的积分曲线族被直线 x K 所截则在各交截点处的所有切线交于同一点 A 4 一根均匀连杆 AB 长为 2K 重为 W其上端 A 撑在一堵光滑竖直的墙上 而下端 B 以长为 2b 的绳子 BC 系着C 点固定在墙上 A 点的正上方如 果这系统处于平衡状态试确定 ABC 的大小 A 5 设实函数 f x 定义于 0 x 1以 f x 0 x 表示当 x 0 时0 x xf 试证 下面的论断若0 lim 0 xf x 以及 0 2 x x fxf 则 f x 0 x A 6 设实数列 u0u1u2满足 1 2 k knn uun 012试证若 n u 收敛则对于所有的 k有 uk 0 A 7 证明方程 x2 3xy 2y2 122 无整数解 第第14届届 1953年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 B 1 证明对于任何正整数 a方程 x2 y2 a3总有整数解 B 2 如所周知交错调和级数L 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 收敛将 1 重 排如下L 6 1 11 1 9 1 4 1 7 1 5 1 2 1 3 1 1如所知 2 也收敛用 S 表 示它的和分别记 1 和 2 的前 k项部分和为 sk与 Sk试证下列表达式 i S3n s4n 2 1 s2n ii S s B 3 设 a 与 b 为适合 a b 的实数记号 ab 表示包括端点 ab 的闭区间令 a1b1 a2b2 anbn 为一给定的闭区间集其中任意两个区间 都至少有一公共点求证必存在一点它是所有这些区间的公共点 B 4 给定一抛物线 P 的焦点 f 与准线 D 以及一条直线 L试用尺规作图找出 L与 P 的交点并加以证明讨论 L和 P 在何种情形下没有交点 B 5 令 f x 为定义于 1 x 1 的实值函数且 f x 存在又 anbn是两个数列 满足 1 an 0 bn0 介于 en与 en 1之间 第第15届届 1954年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 A 1 试证除了 000 外没有其它整数 mnp 使得032 pnm A 2 A1A2An是半径为 r 中心为 O 的圆的一内接正多边形P 是 OA1延长线上 的一点试证 n n n i i rOPPA 1 A 3 设 P 表示正项递减收敛级数 1i i x 这里 x1x2x3 的一切 有限或无穷 子级数的和数的集合求证当且仅当对于每个整数 n 都有 xn 1ni i x则 P 是一个区间 A 4 在一圆周上选取 n 点用弦将它们两两连接起来假定这些弦除了在端点 外任何三条弦均不共点试问它们有多少的交点 A 5 试用尺规作图法求出平面上一已知抛物线的焦点 A 6 试找出使得方程 xn 2 x n 2 x n 0 有一个有理根的充要条件 此条件指正 整数 n 的值 A 7 研究由微分方程 f x x3 ax f x 及初始条件 f 0 1f 0 0 定义的函数 f 求证 f的根有上界而无下界 第第15届届 1954年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 B 1 一球沿着两条相交直线滚动求其中心的轨迹 B 2 设函数 f 具有二阶连续导数且 f 0 0试证由 g 0 f 0 g x x xf x 0 所定义的函数 g 有一阶连续导数 B 3 证明不存在把一球冠面映为平面的保距映射 在球冠上的距离是沿球面的大 圆来度量的 B 4 是否存在 1000000 个连续整数其每一个都含有一个二重的素因子 B 5 给定一个由 0 和 1 组成的无穷序列和一个固定整数 K设序列中含有 K 个 相邻项的那种 K 数组中彼此形式互异的不多于 K 组求证这序列最终 必为周期序列 例如序列 11011010101中省略未写的项全由 0 与 1 交替 出现则该序列就是从第五项开始的周期序列 B 6 证明若对于所有 x有 f x 0 且当 x 时 f x 0则方程 f m f n f p 1 至多存在数目有限的正整数解 mnp B 7 一个物体在四个力作用下处于平衡状态试证若四个力作用线相互偏斜 则它们必是一个双曲面的母线 第第16届届 1955年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 A 1 计算 x x x a a x 1 1 11 lim 式中 a 0a 1 A 2 试证每一个正整数都有一个包含全部十个阿拉伯数字的倍数 A 3 一个质点在竖直平面内受重力以及垂直于它的速度的量且与速度成比例的 力的作用从静止开始下落试求质点运动的轨迹方程并说明它是何种曲 线 A 4 设 n 阶可微的实函数 f x 在闭区间 ab 内至少有 n 1 个不同的零点而 多项式 P Z Zn cn 1Zn 1 c0只有实零点求证 Dn cn 1Dn 1 c0 f x 在 a b 内至少有一个零点式中 Dn是微分算子 n dx dn A 5 把 n 个物体排为一行如果这些物体的一个子集合中任何两元素均不相邻 则称这个子集合为不亲切的证明含有 k 个元素的不亲切子集合的个数是 k kn C 1 A 6 i 设有一个变换将平面映为自身且保持所有的有理距离不变求证它一 定是保距变换 ii 试证上述理论对于直线不真 A 7 证明在任何有限的二项展开式中系数为奇数的项的个数一定是 2 的幂 第第16届届 1955年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 B 1 设微分方程 M xy dx N xy dy 0 为齐次且恰当的则它的解 y f x 满足 xM yN C 常数 B 2 设平面上每个点集 X都有一个叫做它的覆盖的伴随点集 X又设 1 YYXYX 试证 i XX ii XX iii YX 蕴涵YX 并证明其逆 i ii iii 蕴涵 1 B 3 一个球内切于四面体将每个切点与该点所在面的三顶点连结起来这样 形成的每面的三个角 以切点为顶点 组成一个集合试证这四个集合是相 等的 B 4 试证若 A B C 是三角形的三个内角 均以弧度度量 则 AcosB sinAcosC 0 B 5 考虑空间 2n 个点的集合 n 1 设它们之间至少用 n2 1 条线段相连则至 少形成一个三角形并证明对于每个 n若 2n 个点由 n2条线段连成则 可能有不形成任何三角形的情况 B 6 给定 T1 2Tn 1 2 n T Tn 1n 0证明 i 若 m n则 Tm与 Tn没有大于 1 的公因子 ii 1 1 1 i i T B 7 设复系数多项式 P Z 与 Q Z 有相同的零点集合但零点的重数可能不同且 P Z 1 与 Q Z 1 亦具有上述性质试证P Z Q Z 第第17届届 1956年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 A 1 若曲面的法线都与一条固定直线相交求证这曲面必为一个回转曲面的一 部分 A 2 把一条均匀金属线弯成曲直两段一段形如曲线 y ex 0 xaa 1 另 一段为直线 y ea a 1xa 假定 xy平面垂直于地平面x轴水平指向右 将这条弯好的金属线在点 a 1ea 处挂住又用一个水平力 F 作用于金属 线的 01 点使金属线与上述曲线及线段处于重合状态试证所施力 F 指向右边 A 3 设 A B R K为某个正整数证明不等式 AB BKAAKB coscos coscoscoscos 1试证1lim asn n A 7 考虑 xy 平面上圆的某个集合其中每个圆都与 x 轴相切而这些圆两两 不相交试证 i 这些切点包含 x轴上全部有理点 ii 这些切点不能包含 x轴上所有的无理点 第第17届届 1956年年 普特南数学竞赛试题普特南数学竞赛试题 B 1 考虑 100 阶行列式 aij 这里 aij i j求证当这行列式展开式的 1001 项中 每一项的绝对值被 101 除的时候余数都是 1 B 2 如果计算工具不能作除法运算为了确定 A 1 A 0 的十进制小数值有时 用递推公式 xk 1 xk 2 Axk k 012 是方便的这里 x0是一选定的 开始值试求 x0的界限 如果有的话 以保证用这样的开始值 x0使 上述递推运算能收敛于所求的值 A 1 B 3 设 f x 是定义在 0 x1 中的一个正值单调减函数 求证 1 0 1