工程弹性力学基础(4..26修订).doc

1 目目 录录 第一章第一章 绪绪 论论 4 4 1 1 弹性力学的任务及在力学中的地位 4 1 2 基本假设 5 1 3 弹性力学基本的物理量 6 1 4 弹性力学简史 9 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 1111 2 1 平面应力问题与平面应变问题的概念 11 2 2 平衡微分方程 12 2 3 几何方程 14 2 4 物理方程 16 2 5 一点的应力状态 18 2 6 边界条件 21 7 按位移求解平面问题 位移法 24 8 按应力求解平面问题 力法 26 9 应力函数 28 10 逆解法和半逆解法按 平面问题的应力函数 32 第三章第三章 用直角坐标解平面问题最早在用直角坐标解平面问题最早在 4242 3 1 删去 逆解法与半逆解法 多项式解答 42 3 2 悬臂梁自由端受集中力 45 3 3 简支梁受均布荷载 51 2 3 4 楔形体受重力和液压力 57 第四章第四章 用极坐标解平面问题用极坐标解平面问题 6262 4 1 极坐标下平衡微分方程 62 4 2 极坐标中的几何方程及物理方程 64 4 3 极坐标中的应力函数与相容方程 68 4 4 应力的坐标变换与极坐标下应力的函数表达式 70 4 5 轴对称问题的一般解 72 4 6 受压圆环或圆筒的解 75 4 7 压力隧洞 78 4 8 薄板圆孔应力集中 81 4 9 平面楔顶部受力 半无限平面受法向力 86 4 10 半无限平面体在边界上受分布力 92 第五章第五章 有限单元法解平面问题有限单元法解平面问题 9999 5 1 有限单元法的概念 99 5 2 有限单元法的位移模式 101 5 3 单元的应力 节点力以及刚度矩阵 104 5 4 载荷向节点的移植 107 5 5 总刚度矩阵 109 5 6 ANSYS 有限元程序简介及基本操作 113 5 7 平面问题有限元算例 120 第六章第六章 空间问题的基本理论空间问题的基本理论 127127 3 6 1 平衡微分方程 127 6 2 一点的应力状态与静力边界条件 128 6 3 主应力 最大与最小应力 130 6 4 几何方程 物理方程 133 6 5 轴对称问题的基本方程 137 第第 七章七章 薄板弯曲问题薄板弯曲问题 141141 7 1 有关概念与附加假定 141 7 2 弹性曲面的微分方程 142 7 3 薄板横截面上的内力 144 7 4 边界条件 扭矩的等效剪力 146 7 5 矩形薄板的重三角级数解 149 7 6 矩形薄板的单三角级数解 150 7 7 弹性薄板受集中力作用时的解答 152 7 8 圆形薄板的轴对称弯曲 154 4 Ao x Bo P1 y o Po A1 B1 u dx x u u dy y v v v dx x v v dy y u u A B Ao x Bo P1 y o Po A1 B1 u dx x u u dy y v v v dx x v v dy y u u A B 图 2 5 正交线段的位移 2 3 几何方程几何方程 应变分量与位移分量之间的关系应变分量与位移分量之间的关系 我们取和坐标轴同向的两条正交微分线段和研究 而且 受 ooA P ooB PyxdBP dAP oooo 力后两条线段位移到了新位置和 图 2 5 在 x 向的位移是 在 y 向的位移是 11A P 11B P o Puv 由于位移分量是点的位置坐标的函数 因此线段另外两个端点和的位移和相差一个微 o A o B o P 量 和三点在向和向的分别位移列于表 o P o A o Bxy 2 1 表 2 1 两条正交线段端点的位移 位移后在方向的长度变化 ooA Px 为 oooo11 APPAAPAP d x 它可以用两个端点在方向的位移差来计算所以 x 方向xx x u ux x u uxdd d 的应变有 a x u x ux x u u x d d 同理 位移后在方向的长度变化 用两个端点在 ooB Py oooo11 BPPBBPBP d y 方向的位移差来计算 可以得出 y 向应变y b y v dy vdy y v v y 位移发生后 两微分线段的夹角也会发生变化 两条边的转角分别为 AP AA AP AA oo 1 1 1 用位移表示为 x v dx vdx x v v c 点点 o P o A o B 向向位移位移xux x u ud y y u ud 向向位移位移yv x x v vd y y v vd 5 BP BB BP BB oo 1 1 1 d y u y uy y u u d d 由此可以得出剪应变为 e y u x v xy 平面问题的几何方程为 2 3 y u x v y v x u xy y x 由几何方程可知 给定完全可以唯一的确定 但是 给定 u v x y xy x y 不能完全确定 说明这三个方程之间是相关的 关于这一论点我们可以根据不受力 xy uv 体时弹性体的位移 刚体位移 计算看出 若弹性体不受力 则有 f 0 00 xyyx 即 g 00 0 y u x v y v x u xyyx 前两式分别积分后得到 1 xfu 2 xfv 代入到第三式中有 h 0 d d d d 21 x xf y yf 把 g 前两式代入 h 式的第三式 有 i x xf y yf d d d d 21 要使得 i 式对任何和都满足 只能有 xy j x xf y yf d d d d 21 6 x y P x y o u v o x y P x y o u v o o o u v o 图 2 5 刚体位移示意图 x xf y yf d d d d 21 k o1 uyyf o2 vxxf 2 4 o2 o1 vxxfv uyyfu 上式是在应变分量均为零的情况下得出的 因此该位移为刚体位移 是待定常 oo vu 数 要由约束条件决定 下面我们讨论这三个待定常数的物理意义 如果 则 表示刚体沿 x 方0 o v o uu 向的位移 如果 则 表示刚体沿 y 方向的位移 如果 则0 o u o vv 0 oo uv m yvxu 那么有 n 2222 yxvu 在位移合成的直角三角形中 图 2 5 tan x y v u 由此可见 P 点的位移方向沿着半径 OP 的切线方向 所以表示 刚体绕原点的刚体转动 图 2 5 7 第三章第三章 用直角坐标解平面问题用直角坐标解平面问题 3 1 删去删去 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法 平面问题的平面问题的多项式解答多项式解答 逆解法要求首先选择能够满足双调和方程的函数 然后再考察他们能够解决什么问题 在 所研究的函数中最简单 最常用的就是多项式 从另一种意义上说 不管弹性力学问题的解多 么复杂 大多数可以展开成级数的形式 而最简单的形式就是幂级数 多项式可以视为幂级数 的一种简单的近似 为此 我们从一次函数开始 按照逆解法的步骤给出一些问题的多项式解 答 3 1 1 3 1 1 一次函数一次函数 不计体积力 考察它能解决的问题 cbyax 检查 是否满足协调方程 2 33 2 33 0 2 4 4 22 4 4 4 yyxx 能被满足 根据 2 30 式求出应力分量 0 2 2 xf y xx 0 2 2 yf x yy 0 2 yx xy 考察边界条件 无面力 结论 线性函数对应于无荷载的情况 应力函数 的线性项不影响弹性体内的应力分布 研究问题时可以舍去 3 1 3 1 2 二次函数二次函数 1 不计体积力 考察它能解决的问题 2 ax 检查 是否满足相容方程 2 33 2 33 0 2 4 4 22 4 4 4 yyxx 能被满足 根据 2 30 式求出应力分量 0 2 2 xf y xx ayf x yy 2 2 2 x y 0 a 2a b y x 0 2b c x y 0 c x y 0 a 2a b y x 0 b y x 0 2b c x y 0 c x y 0 x y 0 c 图 3 1 二次函数能解决的问题 8 0 2 yx xy 考察边界条件 afy sy 2 0 sxysx 结论 可用来解图 3 1 a 所示 y 向均匀拉伸问题 2 ax 同理可知用来解图 3 1 b 所示 x 向均匀拉伸问题 2 b y 2 不计体积力 考察它能解决的问题xyc 按照以上步骤很容易得到结论 能满足相容方程 求得的应力分量为bxy 0 x 0 y c xy 这些应力分量能满足的边界条件为 0 xcxx f cfy cxxy 0 ycyy f cfx cyyx 由此得出结论 可以解决图 3 1 c 所示边界切向力分布集度为的纯剪切问题 bxy c 3 1 3 1 三次函数 三次函数 无体积力 考察它能解决的问题 3 ay 检查 是否满足相容方程 2 33 2 33 0 2 4 4 22 4 4 4 yyxx 代入计算后可以知道能满足相容方程 3 ay 根据 2 30 式求出应力分量 ayxf y xx 6 2 2 0 2 2 yf x yy 0 2 yx xy 根据应力边界条件 2 16 式 确定相对应的面力分量 图 3 2 a 考察上 下边界 主要边界 代入方程 2 16 有 2 h y 0 l1 m 0 2 yh y y f 9 0 2 xh y xy f 说明上 下边界没有面力 b 检查左 右边界 次要边界 左边界 代入 2 17a 式有0 x 1 l0 m ayf xxx 6 0 0 0 xxyy f 右边界 代入 2 17b 式有Lx 1 l0 m ayf Lxxx 6 0 Lxxyy f 结论 能解决左 右两个端部的面力呈 3 ay 线性分布的矩形截面梁纯弯曲问题 图 3 2 3 1 3 1 4 四次函数四次函数 无体积力 考察它能解决的问题 432234 eydxyycxybxax 必须满足协调方程 yx 这个函数较为复杂 只有当各系数满足 定的关系时它才能满足相容方程 2 33 式 把 四次函数求导得到 把它们代入相容方程a x 24 4 4 c yx 4 22 4 e y 24 4 4 得出 即有 于是应力函数应为0 4 0244224 eca 3 c ae 432234 3 y c adxyycxybxax 这样 四个系数不论为何值 都能满足相容方程 3 33 式 因此可以作为应力函 x y 数 为了简单起见 我们仅研究只有的情况 即用研究一块矩形板的受力情况 0 d 3 dxy 如图 3 3 所示 根据 2 30 求出应力分量 求得各应力分量是 dxyxf y xx 6 2 2 0 2 2 yf x yy 2 xy y3d 根据应力边界条件 2 16 确定相对应的面力分量 这样的应力状态对应物体表面所受的作用力情形较为复杂 按照现在的坐标系 上式在物 x y L 2 h 2 h 0 x y L 2 h 2 h 0 图 3 2 梁的纯弯曲 x y x f y f y f x f x y x f y f y f x f x y x f y f y f x f 图 3 3 四次函数解决的问题 3 dxy 10 体左边界 正应力 剪应力随坐标 y 成二次抛物线变化 并对称于 x 轴 而且0 x0 x 当时 剪应力为零 当取最大值 注意这里不应该换行 请纠正注意这里不应该换行 请纠正 时 0 yy 2 h y 上 下两边的剪应力为最大 在上 下两个边上 正应力 此时剪应力为常 2 h y 0 y 数 在右边界 正应力随坐标 y 成直线变化 并反对称于 x 轴 剪应力仍与左端的 Lx x 相同 0 x 结论 能解决整个矩形板上 下主要边界表面仅受切向力作用 而且均匀分布 3 dxy 左端部仅受到按抛物线分布的切向力作用 而另一端不仅受与左端相同的切向力作用 还受线 性分布的法向力作用 表面力具体的作用情况如图 3 3 所示 删去第 63 页 4 2 节图 4 5 此后本章各图号依次减 1 11 4 4 应力的坐标变换应力的坐标变换与极坐标下应力的函数表达式与极坐标下应力的函数表达式 在 4 3 节我们已经导出用极坐标描述的直角坐标应力 和 只要完成用直角坐标 x y xy 应力表示极坐标下的应力 把前面所得到的结果代入 不难导出极坐标下应力的应力函数表达 式 这里我们通过坐标变换完成两种坐标系下的应力变换 在数学中可以用坐标变换矩阵给出坐标轴旋转后一点的 坐标与旋转前的坐标之间的关系 yx yx a y x lm ml y x 即 b cossin sincon yxy yxx 如果直角坐标下的应力单元体斜截面的法向正好是极坐标中的径向 图 4 6 利用 2 式可以得到斜截面上应力在向和向的分量为0 1 xy yx pp c m l p p yyx xyx y x 那么斜截面上应力在向和向的分量正是极坐标下的正应力和剪应力 由坐 t 标变换可以得到它们与的关系 yx pp d y x p p lm ml 把 c 式代入 d 式得到 m l lm ml yyx xyx e 如果直角坐标下的应力单元体斜截面的法向正好是极坐标中的切向 图 4 7 那么截面上 应力在向和向的分量为xy yx pp f l m p p yyx xyx y x 那么斜截面上应力在向和向的分量正是极坐标下的剪应力和正应力 由坐 t 标变换可以得到它们与的关系 yx pp y x p p lm ml g n X n Y x y O x xy y yx x p y p n X n Y x y O x xy y yx x p y p 图 4 6面上的应力变换 x y n X n Y O x y xy yx x y n X n Y O x y xy yx y p x p x y n X n Y O x y xy yx x y n X n Y O x y xy yx y p x p 图 4 7面上的应力变换 12 把 f 式代入 g 式得到 h l m lm ml yyx xyx 把 e 式和 h 式分别扩展为矩阵 而后相加就得到直角坐标应力分量变换成极坐标下 的应力分量 4 9 lm ml lm ml yyx xyx 用矩阵符号表示为 i 1 TT 式中 极坐标下的应力矩阵 直角坐标下的应力矩阵 二维的坐标变换矩阵 T 二维的坐标变换矩阵的逆矩阵 1 T 把 4 9 式展开得到从直角坐标到极坐标下的应力变换公式 4 10 sin coscossin cossin2cossin cossin2sincos 22 22 22 xyxy xyyx xyyx 通过对 i 式作矩阵运算可以求出从极坐标到直角坐标下的应力变换矩阵式 j TT 1 把 j 式展开则得到从极坐标到直角坐标下的应力变换公式 4 11 sin coscossin cossin2cossin cossin2sincos 22 22 22 xy y x 从理论上讲 把 4 3 节导出的用极坐标描述的直角坐标应力 和代入到 4 10 x y xy 式中去 就可以得到极坐标下的应力与应力函数间的关系 这需要作一些烦琐的运算 对于不含体积力 情况 我们也可以像在直角坐标下确定应力的应力函数表0 KK 达式一样 导出在极坐标下应力的应力函数表达式 极坐标下的平衡微分方程为 0 2 0 4 12 这个方程组可以改写成 02 0 k 13 令 l B 式中 B 是一个暂时尚未确定的未知函数 这样一来 k 式中的第一式又可以写成 m B 由 k 式可以看成构成以和为变量的函数 A 全微分的充要条件 A A B 即 n A B A 1 把 l 式和 n 式代入 k 式的第二式 并注意到 那么可 2 2 2 2 2 AAA 以得到 2 22 AB 把该式对积分一次 注意到积分后的B函数仍然是一个有待于确定的函数 可以认为 B 中包含有一项积分求原函数时待定的关于的函数 那么有 p AB 再把 p 式看成构成函数全微分的充要条件 又有 q A B 把 q 式代入 l n 式 得到极坐标下个应力分量的应力函数表达式 2 2 2 22 2 4 13 可以证明 当时 4 13 能满足平衡微分方程 4 12 式 在极坐标下略去体积0 KK 力分量而按应力求解平面问题时 可归结为根据 4 8 式求出应力函数 然后根据 4 13 式求出各应力分量 再使它们满足边界上的应力边界条件 同时要满足位移单值条件 14 4 5 轴对称问题的一般解轴对称问题的一般解 在工程上有一些结构是旋转体 而且他们所承受的载荷及约束又是关于轴截面对称的 如 架空的或埋置较深的地下管道 图 4 8 隧道以及机械上紧配合 的轴套等 像这类构件的几何形状 受力及约束关于通过轴的z 平面对称而且无体积力作用的弹性力学问题简称为轴对称问题 取形心为极坐标的原点 由于弹性体内的各力学量都是关于 任意通过原点的轴为对称的 所以同一圆周上的任意两个单元体 都是对称的 其应力一定也是对称的 换句话说 轴对称问题的 应力仅仅是极径的函数 而与无关 由于在一个截面上 是反对称的应力 在轴对称的情况下必不可能存在 也就是说 同样 可见 在轴对称0 0 问题中仅存在和两个应力分量 而且仅仅是的函数 我们首先求轴对称问题的应力分量 由于不考虑体积力 而且应力分量中不含 所以在轴对称的条件下平衡微分方程 4 2 式中的第二式自然满足 这样一来 独立的平衡微分方程只有一个 4 14 0 d d 其相容方程为 4 15 0 d d d d 2 2 4 14 式可以写成 0 2 d d 对上式两边做极坐标的拉普拉斯导数运算 并利用 4 15 式的结果 有 0 d d d d 2 d d d d d d 2 2 2 2 即 0 d d d d 3 d d d d 2 2 由此得到 图 4 8 深埋的压力管道 15 a 0 d d 3 d d 5 d d 2 2 3 3 这是一个二阶的欧拉方程 令 则有 ln t b Dt t d d d d d d 1 1 1 d d n n nDDD n 式中 D 表示函数对 t 的导数 把 b 式用于 a 式得到 d d 0 2 23 DD 该方程的解为 c CBtAe t 2 把回代得到 c 式 ln t CB A ln 2 再把得到的结果代入 4 14 式 d d d 得出应力解 4 16 0 1 ln ln 2 2 CB A CB A 下面我们求轴对称问题的位移分量 由于并不知道坐标原点的约束情况 一般情况下位移是与极角有关的 把 4 16 式代 入物理方程 4 4 求出各应变分量 而后再用几何方程 4 3 将应变分量用位移表示 则有 f 0 1 1ln 1 1 1 1 1 ln 1 1 1 1 2 2 uuu CB A EE uu CB A EE u 由 f 式中的第一式积分得 1 1ln 1 1 1 fCB A E u g 16 把 g 式代入 f 式中的第二式 经整理有 2 f B u 把此式积分求得 h 2 1 fdf E B u 把 g 式 h 式代入 f 式中的第三式 得到 i 0 d 1 1 11 ffff uuu 对于两个独立的变量要保持 i 式恒成立 必须有 k Dffff d 11 由此得出 j Df f d d 1 1 l Df f d d d 求解方程 j j 式为线性微分方程 可用分离变量法 d d 1 1 Df f 其通解为 m DFf 1 l 式对求导 得出 n 0 d d 2 2 f f 解之得 p sincos KIf 把 p 式代入 l 式 运算后可求得 q cossin d d d KID f Df 把 p 式代入 g 式得 sincos 1 1ln 1 1 1 KICB A E u 把 m 式和 q 式代入 h 式得 17 cossin 2 KIF E B u 由此我们得出极坐标下轴对称问题的位移解 4 17 cossin 2 sincos 1 1ln 1 2 1 1 KIF E B u KICB A E u 式中 A C F I K 都是任意常数 其中 F I K 和 2 3 节中的 u0 v0一样 代表刚体位 移 由位移边界确定 如果是平面应变问题 则仅需把式 4 17 做换成 换成E 2 1 E 的代换即可求得其位移分量 1 例4 1 曲梁纯弯曲问题的弹力解答 曲梁区域由两对圆弧坐标线和两条径线围成 设厚度为1个单位 由于是纯弯曲 各截面M 相同 因而应力分量与 无关 可视为为轴对称问题 解 应力分量 据 4 16 式 4 16 0 1ln ln 2 2 CB A CB A 式中 A B C 为常数 须由边界条件确定 其边界条件为 主要边界 长边 的内边界 0 0 a a 外边界 0 0 b b 次要边界 短边 用由积分表示的合力与合力矩描述 利用对成性 只需给出下边界条件 b a b a b a M 0d d 0d 0 0 0 其中 和 式中的剪应力条件自然得到满足 在主要边界上 由 4 16 式中的 第一式计算径向正应力必须满足 式和 式中的第一式表示的边界条件 由此得出 0ln 0ln 2 2 CbB b A CaB a A x 0 a b M y x 0 a b M y 例 4 1 图 曲梁的纯弯曲 18 在次要边界上 由 4 16 式中的第二式计算切向正应力必须满足 式中的第一式表 示的边界条件 b a b a CB A 0 d 1ln d 2 0 即 0 ln 2 b a CB A 式表明 式自然可以得到满足 利用下部边界条件合力矩为 M 的条件 b a b a MCB A d 1ln d 2 0 即 MCabaabbB b a A lnln ln2 2222 联立 式求解 得到 222222 22 222222 22 222222 22 ln 4 ln2ln2 2 ln 4 4 ln 4 ln4 b a baab bbaaM C b a baab abM B b a baab b a bMa A 令 2 2 2 2 2 2 ln 41 b a a b a b N ln ln4 1 4 ln4 2 2 2 2 2 2 b a b a N M C a b N M B b a a b N M A 把所得到的常数 A B C 代入 4 16 式 得出曲梁纯弯曲的应力分量表达式 0 lnlnln1 4 lnlnln 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 aa bbb a b a b Na M a b a b a bb Na M 由 式可以看出 径向正应力在内外表面为零 可是在处 2 0 ba 19 一般并不为零 可见曲梁的纯弯曲与 2 1 2 ln 1 ln 1 4 4 2 2 2 2 2 b a a b b a b a Na M ba 直梁有很大的不同 4 6 受压圆环或圆筒的解受压圆环或圆筒的解 深埋地下的受压管道可以简化为轴对称的力学模型 截取单位厚度的薄片就可以视为平面 应变问题 为了简单起见我们首先分析平面应力问题 而后 可以通过弹性系数的代换得到平面应变的解 单位厚度的厚壁圆筒内半径 外半径 承受均布的内ab 压力 外压力 图 4 9 a q b q 该问题简化为轴对称问题 的内边界应力边界条件为a a 0 a aa q 的外边界应力边界条件为b b 0 b bb q 根据 4 5 节 轴对称问题的环向位移为单值函数 圆 cossin 4 KIF E B u 环或圆筒中的位移是唯一的 所以 B 0 按 4 16 式 圆环或圆筒的应力分 n2 量为 4 18 0 2 2 C A C A 显然 和自然能够满足 利用边界条件 a 式和 b 式 0 a 0 b 图 4 9 承受内压和外压的圆环 20 c bb aa qC b A qC a A 2 2 求解关于和的方程组 c 得到AC 22 22 ab qqba A ab 22 22 ab qbqa C ba 把和的值代入 4 18 式 即得拉梅 Lame 解 AC 4 19 ba ba q b a a q a b b q b a a q a b b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 时 4 5 节给出了轴对称问题的位移分量为 4 20 cossin sincos 1 1 1 KIFu KIC A E u 若适当给定约束条件 不仅弹性体无刚性位移 对称面上亦无沿周向的位移 则 0 2 0 uu0 IKF 位移解为 4 20 0 1 1 u E C E A u 根据 4 19 式的结果讨论几种特例 1 只受内压 0 a q0 b q 这是压力容器最常见的受力方式 其应力为 4 21 a a q a b b q a b b 1 1 1 1 2 2 2 2 Ox a q 图 4 10 圆筒受内压 Ox b q 图 4 11 圆筒受外压 21 r x y O a q r x y O r x y O a q 图 4 12 圆孔的应力集中 沿轴向受压应力作用 沿环向受拉应力作用 分布状态见图 4 10 最大压应力和最 大拉应力均在内壁 aa q ab ab 1 1 2 2 max aa q max 2 只受外压 0 a q0 b q 这是深埋管道的受力方式 其应力为 4 22 b b q b a a q b a a 2 2 2 2 1 1 1 1 均为压应力 分布状态见图 4 11 径向最大压应力在外壁 而环向最大压应力在 内壁 当远达于时 内壁 ba q b a 2 1 2 ba2 a b q 1 b b q 0 a bb q 3 无限域开圆孔 在内压用下当时 a q b0 b q 4 23 aa b aa b q a q ba b b b q a q ba b b b 2 2 22 2 22 2 2 2 22 2 22 2 11 11 lim 11 11 lim 验证圣维南原理 由图 4 12 可以看出 在处 应力很小 a 可以不计 即在内压作用下 在处圆孔的 a q b 影响可略而不计 4 针孔问题 应力集中 22 图 4 13 压力隧洞 在含有针孔的大板受均匀分布的外压时 在内径时0 a bba qq b a 2 1 2 2 可见 孔径虽然很小 但孔边应力却提高了近 2 倍 这就是应力集中现象 实际工作中常 在孔边发生开裂 就是这个原因 4 7 压力隧洞压力隧洞 无限大弹性体内的内压圆筒 无限大弹性体内的内压圆筒 像埋置较深的地下输送液体或气体的管道 带有内衬的地下巷道或隧道等结构物 在研究 内层管道本身的应力与变形的同时 常常需要考虑外层材料的受力与变形 对这类问题的分析 需要利用两个弹性体在接触面上的变形协调关系 所以它也是一种接触问题 按接触条件可以 把接触问题分为两大类 一类是完全接触 即两弹性体的接触面保持紧密接触 不发生相对滑动 a 在接触面上 的应力条件是正应力相等 剪应力也相等 b 在接触面上的位移条件是径向位移 相等 环向位移也相等 u u 另一类是非完全接触 即两弹性体的接触面是光滑的 但接触面依然保持紧密接触 a 在接触面上的应力条件是正应力相等 剪应力等于零 b 在接触面上的位移条件是 径向位移相等 而环向位移不相等 相对滑动 u u 一般来说压力隧洞属于完全接触 设圆管埋置的深度远大于其直径 可以视为圆筒是埋在 无限大弹性体中 管内部受均匀分布的压力 图 4 13 管道材料的弹性常数 弹性qE 体材料的弹性常数 求管道和外层弹性体的各应力分量 E 显然这是一个轴对称问题 它们的应力分布也是轴对称的 所以 4 5 节和 4 6 节的结果以 及 4 18 式仍然适用 分别给出圆筒 无限大弹性体的应力与位移表达式 但须注意它们具有不同的材料弹性常 数及积分常数 圆筒的各应力分量为 0 2 2 C A C A 4 18 无限大弹性体的各应力分量为 0 2 2 C A C A 4 24 在两组方程中有四个待定常数 根据圣维南原理 当时无穷远处应力近乎为零 所 23 以在 4 24 式中有 a 0 0 由此得出 要确定另三个待定常数还需要三个条件 利用圆筒内表面的边界条件 0 C 自然满足 还有0 b qC a A a 2 无限大弹性体和圆筒的接触面上 它们的面力是作用力与反作用力的关系 所以径向面力相等 bb 把代入即有0 C c 22 b A C b A 要确定还要利用两个部分的变形连续条件 由于这里取出的单位厚度的薄片属于平面应A 变问题 所以求圆筒的位移需要对 4 20 式进行换成 换成的代换 变为E 2 1 E 1 4 25 cossin sincos 21 1 KIFu KI A C E u 无穷远处的弹性体内各点位移为零 而且两弹性体是完全接触 所以约束可看作是轴对称 的 故有 也就是说 仅有存在 平面应变状态下圆筒外边界的径向0 u0 KIF u 位移为 d 21 1 b A Cb E u b 同理 含圆孔的无限大体的位移为 4 26 cossin sincos 21 1 KIFu KI A C E u 同样 无限大体的位移中 即所以有 注意到 平面应变0 u0 KIF0 C 状态下无限大体内的径向位移为 e A E u 1 1 在无限大体内圆孔边界的径向位移为b g b A E u b 1 24 图 4 14 压力隧洞应力分布 由于两物体接触面的径向位移相等 即 bb uu h b A Eb A Cb E 1 21 1 由第 h 式整理 i 0 21 1 1 2 AACb E E 令 i 式改写成 1 1 E E n j 0 21 2 AACbn b 式 c 式和 h 式联立 k 0 21 2 22 2 AACbn b A C b A qC a A 求解关于 A C A 的三元一次方程组 k 式求得 l 1 21 1 1 2 A 1 21 1 1 1 21 1 21 1 2 2 2 2 2 2 2 2 n a b n bn q n a b n n qC n a b n nb qA 把 A A C C 回代到应力分量表达式 4 18 式和 4 24 式中 得到各应力分量为 1 21 1 1 2 1 21 1 1 21 1 1 21 1 1 21 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n a b n b n q n a b n n b n q n a b n n b n q 4 27 当 n 1 时 应力分布大致如图 4 14 4 8 薄板中圆孔的应力集中薄板中圆孔的应力集中 工程实践告诉我们 如果受拉伸的板中有一个圆孔的 25 话 一般来说破坏总是首先从圆孔处开始 下面我们要研究均匀拉伸应力场中圆孔附近的应力 分布状态 假设一个受水平方向均匀拉伸的无限大板中间有一个半径为的圆孔 图 4 15 板厚为一r 个单位 分布力集度为 不计体力分量 求板内各应力分量 q 对于薄板受均匀拉伸的问题已经在用直角坐标求解平面问题中作过介绍 但是其中圆孔用 直角坐标描述很不方便 为了便于求解 我们必须把无限大板的均匀应力场用极坐标描述 为此 我们作一个半径为且与圆孔同心的大圆作为假想的新边界 b r 这就将薄板直边界转换为b 圆边界 图 4 16 从而可以采用极坐标研究 在半径 为的圆周上各点受力状态都是均匀拉伸状态 即b 由坐标变换式 4 10 式求q x 0 xyy 得边界上极坐标下的应力分量 以此作为无限远处 的应力边界条件 b a 2sin 2 2cos 22 2cos 22 q qq qq b b b 圆孔的边界条件为 r b 0 r 0 r 根据无限远处应力边界条件可以看出 和的分布是关于 轴和轴对称的 是周期 xy 为的函数 而是关于 轴和轴反对称 也是周期为的函数 为此 设板内各点的三个 xy xy 应力分量函数形式具有与远处应力相类似的形式 分别为 c 2sin 2cos 2cos h gG fF 把 c 式分别代入平衡微分方程 4 2 式和相容方程 4 7 式可得 d 02cos 4 d d d d d d d d 02sin 22 d d 02cos 2 d d d d 22 2 2 2 gfgfgfGFGF hg h hgf f GF F 要使 d 式中关于自变量的函数 sin2或 cos2的多项式恒为零 得到两组方程 第一组方程 0 d d 0 d d d d 2 2 GF F GFGF e 比照 4 5 节中方程 4 14 和 4 15 式的解法 同样利用应力的有界性 由方程组 e 解得 x r q o y x b x r q o y x b x r q o y x x r q o y x r q o y x r q o y x b 图 4 16 新建的边界 r q o x y r q o x y q o x y 图 4 15 圆孔的应力集中 26 f B A G B A F 2 2 第二组方程 g 0 4 d d d d 022 d d 02 d d 22 2 gfgfgf hg h hgf f g 式可以写成 h 0 4 4 022 02 2 2 2 2 2 2 g d d d d f d d d d hg d dh hgf d df 令 则 代入上式后 t e ln t dt d d dt dt d d d1 1 t 1 22 2 d dt dt d d d i 0 4 4 02 t 2 021 t 22 g dt d f dt d h d d g hgf d d 用克莱姆法则求解方程组 i 它的 P 矩阵为 044 220 211 22 PP P P PL 它的 P 行列式为 044 220 211 22 PP P P PL j 4 4 2 PPPPL 特征根为02 24 4321 按照克莱姆法则 有 i Xi DDX 27 k 0 fPL 4 2 3 2 2 4 1 e e e f ttt l 0 gPL 4 2 3 2 2 4 1 ttt e e e g m 0 hPL 4 2 3 2 2 4 1 ttt e e e h 0ee 0 2e4e2 eee 2 0 eee 2 eee e3ee 3 4t 1 4t 1 4 2t 3 4t 14 2t 3 2t 2 4t 1 4 2t 3 2t 2 4t 14 2t 3 2t 2 4t 14 2t 3 2t 2 4t 1 02 023 02 023 444 333 222 111 02 02 0 0 44 33 2 11 44 11 G 1 G 1 G 1 D 2 0 2 D 2 1 2 0 3 C 3 2 C 3 2 4 E 2 4 E 2 4 E 所以有 n 2 222 2 24 224 24 E CeGeg E e C e D Geh E DeGef tt ttt tt 把回代到 n 式 得到 ln t 222 2 2 2 24 2 4 24 E C D G h E C G g E D G f p 由于应力是有界的 知 C 0 把求得的两组解 F G f g 和 h 代入 d 式 得出应力的表达 式 2sin 2 1 2 2cos 2 1 2cos 2 1 42 42 422 G E D G EB A G E D B A q 28 利用应力边界条件确定常数 2sin 2 2sin 2 1 2cos 22 2cos 2 1 2cos 22 2cos 2 1 q E qq EB qq EB 由此得出 q E q B 2 r 02cos 22 422 r Gq r D q r A 02sin 22 42 r Gq r D 由此得出 qrA 2 2 1 qrD 2 2 qrG 4 2 3 含圆孔的无限大板单向均匀拉伸下的解为 4 28 2sin 2 32 1 2cos 2 3 1 2 1 2cos 2 34 1 2 1 4 4 2 2 4 4 2 4 4 2 2 2 2 2 qrr qrqr qrrqr 考察 4 28 式 在 x 向均匀拉伸时 在的孔边 环向应力为r 2cos21 q 圆周上环向应力几个重要的数据列于表 4 1 表 4 1 圆周上几个重要的应力数据 0 o 30 o 45 o 60 o 90 q 0 qq2q3 在的径线上环向应力 2 2 3 2 1 4 4 2 2 rr q 的径线上环向应力几个重要的数据列于表 4 2 2 表 4 2 径线上几个重要的应力数据 29 o q o q o 3q o 3q o q o q x y o q o o q o q o 3q o 3q o q o q x y o q o 图 4 17 孔边的应力分布 rr2r3r4r5 q3q22 1 q07 1 q04 1 q02 1 图 4 17 给出了三条径线上环向应力的分布情况 研究圆孔边的应力分布可以看出 孔边附 近的局部区域应力发生应力增大的现象 我们称之为应力集中 孔边的最大应力与无孔时应力 的比值称为应力集中系数 在的圆周上 当r 时 有最大值 2 q r 3 2 max 4 29 孔边的最大应力比无孔时提高了 2 倍 圆孔的应力集 中系数 3 K 当时 在轴上应力已接近于均匀分布 说明时圆孔的影r 54 q yr5 响已经很小 这再次验证了圣维南原理的正确性 沿着的轴方向环向应力为 o 0 x 1 3 2 2 2 2 2 rqr 处 在处 图 4 17 在的区间内 压应r q r3 0 rr3 力的合力为 qrF r r 924 1 d 3 0 换言之 当圆孔 处于压应力作用q 下时 在孔边也会产 生最大值为 的拉应力 q 对于抗拉性能较差的 材料来说特别应该注 意 所得到的单向均匀拉伸应力场中圆孔的解可以很容易用于求解双向均匀拉伸圆孔 图 4 18 的应力分析中去 把 4 28 式中的角度用代替 就得到向受均匀布拉力 2 y 的解 2 qfy 2sin 2 32 1 2cos 2 3 1 2 1 2cos 2 34 1 2 1 2 4 4 2 2 2 4 4 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 qrr qrqr qrrqr 4 30 如果向分布力的集度为 图 4 18c 那么用叠加法可求得双向均匀拉伸情况下圆孔边x 1 q 的应力解 图 4 18a a b c 图 4 18 两向均匀拉伸情况下应力场的叠加 30 q 21 21 21 qq qq qq 即使在任意平面应力状态下 只要应力变化梯度不大而且圆孔直径又足够小 可以先求出 该区域内的主应力 或 令 或 再利用 q 式计算 1 2 3 11 q 22 q 32 q 圆孔的应力集中 严格地说这样做是有误差的 但其结果仍可以给出有实用价值的初步估算 当时 将 4 28 和 4 30 两式叠加可得到均匀拉伸应力场中薄板上圆孔附qqq 21 近的应力分布 4 31 0 1 1 2 2 2 2 p r p r 从 4 31 式的第二式可以看出 圆孔边缘处也有系数为 2 的应力集中发生 这与 4 6r 节讨论的结果完全相同 4 9 平面楔顶部受力平面楔顶部受力 半无限平面受法向力半无限平面受法向力 1 1 平面楔顶部受集中力平面楔顶部受集中力 有一单位厚度的平面楔 楔体的中心角为 2 下端当作无限延伸 在楔顶部单位厚度上 受方向沿对称轴的集中载荷 F 作用 图 4 19 不计体积力 计算楔形体中的应力 楔顶部受集中载荷 F 的边界条件为 4 32 0 0 显然 的直线都是主应力迹线 由于本问题属于 1 对称问题 所以的对称面上没有剪应力作用 直线0 0 也是一条主应力迹线 三条主应力迹线交于一点 根据主 1 1 应力迹线的性质可以推断 三条主应力迹线的交点就是该问 1 题主应力迹线的一个交汇点 也就是说的主应迹线是汇聚于 1 的射线族 另一组主应力迹线与该射线族中各条主应力迹0 2 线正交 故必为一组以为圆心的同心圆弧 据此可以判断整个0 x y o F x y o F 图 4 19 平面楔受集中力 31 楔体没有剪应力作用 极坐标系下的平衡微分方程变为 e 0 0 由 e 式中的第二式积分得到 f 根据边界条件 所以0 f 0 f 把 f 式代入 e 式的第一式 得出 0 解此方程得到 g K 把 f 式和 g 式代入应力表示的相容方程 4 7 式 h 0 22 2 K 由 h 式得 0 1 3 KK 为自变量 所以有 0 KK 解之得到 sincos JIK 代入 g 式 有 i sincos 1 JI 式中I J是待定常数 要确定I J 必须利用顶部的合力条件 取半径为的部分楔体 利用隔离体在向和向的平衡 xy 0dsin sincos dsin dcos sincos dcos JI FJI 解得待定常数 32 F o x y F F o x y 图 4 21 半无限平面受法向力 sin22 2 F I0 J 单位厚度半无限楔体顶部上受方向沿对称轴的集中载荷 F 作用下的应力解为 4 33a 0 0 sin2 2 cos2 F 如果平面楔顶受任意集中力 可以把集中力分解为沿对称面 x 向的 Fx和 y 向的 Fy 平面 楔顶仅受 Fy作用又可以转化受两个作用的反对称问题 图 20 其应力也必然是反对称的 y F 2 1 对称轴 x 上的对称应力 取极角 极径为的0 0 部分楔体 由于反对称关系 的面上无正应力 对个半顶0 角所对的部分楔体利用的平衡条件 由于过顶点 0 o M 则必有 由于角是任意给定的 由此可以得出0d 0 2 0 也就是说圆弧面上无剪应力作用 同样可以按上述解法 只需将边界条件改为 0dcos sincos dcos JIrr y FJIrr dsin sincos dsin 这样可得解为 4 33b 0 0 sin2 2 cos2 y F 4 33a 式和 4 33b 式叠加即得到受斜向集中力 F 作用时的解 也称为密切尔解 2 2 半无限平面受法向集中力半无限平面受法向集中力 如果 则在楔顶部单位厚度上受方向沿对称轴的 2 集中载荷 F 作用的问题转化成半无限平面受法向力作用问题 图 4 21 单位厚度上的力为F 边界条件为 在 4 33a 式中令 0 2 0 2 2 则得到半无限平面受法向集中力的解 x yo y F x yo y F 图 20 平面楔顶受水平力 33 4 34 0 0 cos 2 F 它满足全部边界条件 4 34 式的第一式中有 k cos D k 式表明 直径圆上各点 应力是相等的 此时应力解可以表示成 cos D 4 34 0 0 2 D F 3 3 半无限平面受法向力的位移计算半无限平面受法向力的位移计算 把 4 34 式代入几物理方程 4 4 式 得出位移分量 l 0 cos2 cos2 E F E F 把 o 式代入几何方程 4 3 式得到 m 0 cos2 cos2 uuu E F uu E F u 由 m 式的第一式对积分得到径向位移 n cosln 2 f E F u 把 n 式代入 m 式的第二式 经运算可以得到 cos ln 2 f E F u 该式对积分得到环向位移 p d sin ln 2 1 ff E F u 34 把 n 式和 p 式代入 m 式