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例说三角函数的最值求法王淑英“三角函数的最值”问题是历年来高考和竞赛的热点之一，因此我们必须掌握解决这类问题的基本思想和方法.一、 利用三角函数的有界性求最值利用正弦函数、余弦正数的有界性：sinx,cosx,可求形如y=Asin(x+),y=Acos(Asin(x+)(A0, 0)的函数最值.例子 已知函数y=cos2x+sinxcosx+1,xR,当函数y取得最大值时，求自变量x的集合.解散y=(2cos2x-1)+(2sinxcosx)+1 =cos2x+sin2x+ =sin(2x+)+ y得最大值必须且只需2x+=+2k，kZ.即 x=+k, kZ.所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为x|x=+ k, kZ.二、 转化为二次函数求最值例2 求函数y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.解 f(x)=(cos2x-)2-,当cos2x=1,即x= k,(kZ)时，y=min=-1, 当cos2x=-1,即x= k+,( kZ)时，y=max=5.这里将函数f(x)看成关于cos2x的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间-1，1上的最值值问题了.三、 利用均值不等式求最值例3 已知0，则sin(1+cos)的最大值是 .解y=sin2cos2,0, 00,cos0,y=2 =22当且仅当2sin2 =cos2,即tan2=,=2arctan时，等号成立.四、 换元法、例3 若0x，求函数y=(1+)(1+)的最小值.解 y=(1+)(1+)=1+令 sinx+cosx=t(1t),则sinxcosx=，y=1+=1+,由1t,得y3+2,函数的最小值为3+2.五、 数形结合法例5 设0x,则函数y=的最小值为（ ）（A） 3 （B） （C ）2 （D）2-分析 （0x）的几何意义是：表示过单位圆的上半圆上的一点与定点P（2，0）的直线的斜率.由右图可知，当直线为O的切线PA时，斜率最小.kPA=-,即-0,-, 故选（B）.六、 放缩法例6 设xyz,求乘积cosxsinycosz的最值.解 由已知条件知x=-(y+z)-2=,sin(x-y)0,sin(y-z)0,于是cosxsinycosz=cosxsin(y+z)+sin(y-z)cosxsin(y+z)= cos2xcos2+=,且当x=,y=z=+时等号成立，故cosxsinycosz的最小值为 .又cosxsinycosz=coszsin(x+y)-sin(x-y)coszsin(x+y)=co
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