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文档简介

数学分析课件 预备知识 上级限和下级限 数学分析课件 对于一个有界数列去掉它的最初项以后 剩下来的仍旧是一个有界数列 记这个数列的上确为 下确界为 亦即可见 令 于是得到一列和一列 显然数列是单调减少的 是单调增加的 所以这两个数列的极限都存在 我们称的极限是的上级限 设它是 的极限是的下极限 设它是 并分别将上极限和下极限记为 也就是由于 得 数学分析课件 如果数列无上界 我们就说 如果数列无下界 就说下面给上极限和下极限的重要性质 定理 设 则 i 当为有限时 对于的任何领域 在数列中有无穷多个项属于这个领域 而在中最多只有限多个项 包括一项也没有 ii 当时 对任何数 在中必有无穷多个项大于 iii 当时 数列以为极限 数学分析课件 证明 i 当时 假设存在某一正数 使得在中有有限多个项大于 那么必存在 当时 一切皆有 于是上确界因此这与定理的假设矛盾 这就证明了对任何 在中必有无穷多个项大于再来证明 在中最多只有有限多个项大于 因为 由于 故存在 当时有 而又是的上确界 所以当时 对一切正整数成立 这就证明了大于的只可能有有限多个 包括一个也没有 数学分析课件 ii 当时 数列无上界 由此便获得所要的结论 iii 当时 对任何 存在 当时这表明的极限为 数学分析课件 定理2设 则 i 当为有限时 对的任何邻域 在数列中有无穷多个项属于这个邻域 而最多只有有限多项小于 包括一项也没有 ii 当时 对于任何数 在数列中有无穷多个小于 iii 当时 数列的极限为 证明与定理1完全相仿 数学分析课件 定理3设为的上极限 那么 在中必存在一个子列 其极限为 并且是中所有收敛子列的极限中的最大值 设为的下极限 那么 在中必存在一个子列 其极限为 并且是中所有收敛子列的极限中的最小值 证明仅以上极限来证明如下 分三种情形来考察 i 由定理 知道 必有一个子列收敛于 此外 对任意 在中只可能有有限多个项大于 这就表明所有收敛子列的极限绝不会大于 再由的任意性 便得到所有收敛子列的极限必不大于 ii 当时 按定理 存在子列 而其他一切收敛子列的极限当然不会大于 数学分析课件 iii 当时 此时 故数列的一切子列以为极限 这一定理告诉我们 在一个数列中 它的所有收敛子列的极限所组成的数集必有最大值和最小值 并且这个
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