第一讲 直线的方程.doc

第三篇 平面解析几何第一章 直线与圆的方程第一讲 直线的方程【考纲要求】：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.【要点整合】： 1.基本概念：(1)直线的倾斜角与斜率倾斜角：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角，与x轴平行或重合的直线倾斜角为零度角因此，倾斜角的取值范围是0180.斜率：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率倾斜角是90的直线，斜率不存在当直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)时，若x1x2，则l的斜率;时直线l的斜率不存在。直线AxByC0(B0)的斜率k=.(2)直线的方向向量经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的一个方向向量为,其坐标为(x2x1，y2y1)当斜率k存在时，一个方向向量的坐标为(1，k)(3)直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线 (4)直线方程的各种形式点斜式：yy1k(xx1)表示经过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线特例：ykxb表示过点(0，b)且斜率为k的直线，其中b表示直线在y轴上的截距该方程叫做直线方程的斜截式两点式：(x1x2且y1y2)表示经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线特例：其中a，b分别表示直线在x轴、y轴上的截距，该方程叫做直线方程的截距式 一般式：AxByC0(其中A，B不同时为0)直线的向量表示式：A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，直线l上任一点P对应的实参数为t，则 2.基本思想：(1)数形结合的思想解析几何是数形结合的典范，学习解析几何，必须要清楚常见表达式的几何意义，熟练掌握常见几何图形的几何性质，养成自觉运用数形结合思想解决问题的习惯(2)分类讨论思想在直线的方程中，涉及分类讨论的常见原因有：确定直线所经过的象限；讨论直线的斜率是否存在；直线是否经过坐标原点等3.基本方法：直线方程设法(1)直线l过定点P(x0，y0)，可设直线方程为yy0k(xx0)，注意检验xx0是否满足(2)直线l与直线ykxb平行，可设l：ykxb1；l与直线ykxb（k0）垂直，可设l：y.4.易错警示：(1)每一条直线都有惟一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率，倾斜角是90的直线斜率不存在所以在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解(2)在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时，可利用ktan在上都是增函数分别求解(3)“截距”与“距离”是两个不同的概念，x轴上的截距是直线与x轴的交点的横坐标，y轴上的截距是直线与y轴的交点的纵坐标，它们可能是正实数，也可能是负实数或零，而距离则是大于或等于零的实数(4)使用直线方程时，要注意限制条件如点斜式、斜截式的使用条件是直线必须存在斜率；截距式使用条件为两截距都存在且不为零；两点式使用条件为直线不与坐标轴垂直【例题精析】：考点1：直线的倾斜角和斜率例1：设直线l过原点，其倾斜角为,斜率为k，将直线l绕坐标原点逆时针旋转45,得到直线l1，求l1的倾斜角和斜率.解：当时, l1倾斜角为90,斜率不存在；当0135且时, l1倾斜角为+45,斜率为，当135180且时, l1倾斜角为-135，斜率为.点评：因为倾斜角的取值范围是00，b0.l过点P(2,1)，1，而1= 2，ab4，三角形面积SOABab4.当且仅当，即a4，b2时取等号OAB面积的最小值为4.点评：直线方程设法有多种，此题也可以用点斜式来解：设直线l的方程为y1k(x2)由已知得k0.点A，点B(0,12k)三角形面积SOAB(12k)2224，当且仅当4k，即k时，取等号故OAB面积的最小值为4.变式3：（08江苏）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，一同学已正确算得的方程：，请你求的方程： ( )考点4：直线方程、对称和最值问题例4：在平面直角坐标系中，已知矩形的长为，宽为，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合（如图所示）将矩形折叠，使点落在线段上（）若折痕所在直线的斜率为，试写出折痕所在直线的方程；（）求折痕的长的最大值O(A)BCDXY.解：( I ) （i）当时, A点与D点重合, 折痕所在的直线方程;（ii）当时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)(0a2)所以A与G关于折痕所在的直线对称，有故G点坐标为，从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为折痕所在的直线方程，即由（i）（ii）得折痕所在的直线方程为：（II）由( I )，当k=0时，折痕的长为2；当时，折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为.要求折痕长度，则要分清折痕所在直线与矩形的哪一边相交，为此，解得； 解得当A与D重合时，k=2.设折痕长的平方为y，则有（i）当时，直线交BC于 .（ii）当时，令解得, 此时是y的极小值点，所以y的最大值在端点取到，经计算得 （当k=时取到）（iii）当时，直线交DC于综上折痕的长度的最大值为点评：此题的关键要分清折痕所在直线与矩形的那一边相交，进而对k进行分类讨论,列出不同的折痕长度表达式，以求得最大值. 在（ii）中，当k=时，要求的值时，代入以后要尽可能分解、约分，不要直接做，以免计算量过大.变式4：已知两点P（-2，2），Q（0，2）以及一条直线：L:y=x，设长为的线段AB在直线L上移动，如图求直线PA和QB的交点M的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）【同步练习】：1若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )(A) k1k2k3 (B) k3 k1 k2 (C) k3 k2 k1 (D) k1 k3 k22直线关于直线对称的直线方程是（）3.（2008江苏苏州模拟）若ab0,则过点的直线PQ的倾斜角的取值范围是（ ）4.（05湖南卷）设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、 B的值，则所得不同直线的条数是（ ）A20B19C18D165.（08四川卷）直线绕原点逆时针旋转，再向右平移个单位，所得到的直线为( )（）（）（）（）6如图，已知A(4,0)、B(0,4),从点P（2,0）射出的光线经直线AB反射后再射到OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（ ）A. B. 6 C. D. 7.若直线(m+1)x+(m2-m-2)y=m+1在y轴上的截距等于1，则实数m的值为 。8.设直线的斜率为k,且,则直线的倾斜角的取值范围为 .9.(06北京) 若三点 A（2，2），B（a，0），C（0，b）(ab0)共线，则, 的值等于 10.已知3a+2b=5,其中a,b为实数，则直线ax+by-10=0必过一定点为 。11.已知定点A(4,2),O为坐标原点，P是线段OA的垂直平分线上一点，若OPA为钝角，那么点P的横坐标的取值范围是 。12在直角坐标系中，一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴，且两直角边上的中线所在直线方程y=3x+1和y=mx+2,则实数m的值为 。13. 直线l被两直线l1:4x+y+6=0,l2:3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求直线l的方程。14. 坐标平面上有两点A(-2,1)、B(-3,4),在x轴上求一点P,在y轴上求一点Q,使AP+PQ+QB的值最小，并求这个最小值。15.某房地产公司要在荒地ABCDE如图上划出一块长方形地面修建一幢公寓楼,已知：BC=70m，CD=80m，DE=100m，AE=60m,问如何设计才能使公寓的面积最大,并求出其最大面积.BCEDA16.已知常数在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.【变式和练习的答案】：yxOPNM变式1：A.分析：因为直线l恒过P(1,1),a为l的斜率，故可结合图形考虑，为使l与线段MN有公共点，l的倾斜角应介于直线PN与直线PM的倾斜角之间，但由于l的倾斜角要“跨越”90，所以要注意，当l的倾斜角小于90时，有akPN；当l的倾斜角大于90时，则有akPM。解：如图，由题意得：若使直线l与线段MN有公共点，则直线l的斜率a的取值范围是a4或a3/4. 所以选A.变式2：解：由两点式得AB所在直线的方程是6x+y+1=0.设A点关于直线2x-3y+6=0的对称点为A1(x1,y1),则有.同理B点关于2x-3y+6=0对称点为因为角平分线是角的两边的对称轴，所以A1点在直线BC上，由两点确定直线，得直线A1B即为直线BC，由两点式得BC所在直线方程是12x-31y-31=0.同理得AC所在直线方程是24x-23y+139=0.变式3：【答案】分析：可以用直接法求出直线OF的方程，但运算量较大，而题干中给出了直线OE的方程，创设了类比猜想的情境（根据结构的对称性进行合情推理）。画草图，由对称性可猜想填事实上，由截距式可得直线AB：，直线CP： ，两式相减得，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程变式4：解：由于线段AB在直线y=x上移动，且AB的长，所以可不妨设点A和B分别是（,)和(+1,+1)，其中为参数 Y y=x Q P X B O A M 于是可得：直线PA的方程是直线QB的方程是（1）当直线PA和QB平行，无交点（2）当时，直线PA与QB相交，设交点为M(x,y)，由（2）式得将上述两式代入（1）式，得当=-2或=-1时，直线PA和QB仍然相交，并且交点坐标也满足（*）式所以（*）式即为所求动点的轨迹方程练习：1.D2.D3.B4. C5. A6. A解：A 分别求P关于直线x+y=4及y轴的对称点为P1(4,2)、P2(-2,0),由物理知识知，光线所经过路程即为,故选A.7. 38. 9. 1/210. （6，4）11. （1，2）（2，3）12. 3/413. 解：由题意可设直线方程为y=kx,分别代入两直线方程解得交点关于原点对称求得k= ,的直线方程为。14. 解：设A关于x轴的对称点为A1,B关于y轴的对称点为B1，连结B1A1分别交x轴与y轴于点C、D，C、D即为所求的两点，且(AP+PQ+QB)min=AC+CD+DB=A1B1=. BCEDAOPx15. 解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，20),B(30,0),所以线段AB的方程为设点P的坐标为（x,y）,则所以公寓占地面积为当x=5时，因此AP:PB=1:5时公寓的占地面积最大，最大面积为16. 根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再