概率论与数理统计第7章.ppt

第7章参数估计 7 1参数的点估计 7 3参数的区间估计 7 2点估计的评价标准 7 4比率的区间估计 现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数 参数估计 估计废品率 估计新生儿的体重 估计湖中鱼数 估计降雨量 在参数估计问题中 一般是假定总体分布形式已知 未知的仅仅是一个或几个参数 参数估计问题分为点估计问题与区间估计问题 7 1参数的点估计 一 矩估计法 二 最大似然估计法 点估计问题的一般提法 估计量的求法 由于估计量是样本的函数 是随机变量 故对不同的样本值 得到的参数值往往不同 如何求估计量是关键问题 常用构造估计量的方法 两种 矩估计法和最大似然估计法 一 矩估计法 它是基于一种简单的 替换 思想建立起来的一种估计方法 是英国统计学家K 皮尔逊最早提出的 矩估计的原理 样本来自总体 必然带着总体的相关信息 因此可用样本矩作为总体相应矩的估计 用样本矩的函数作为总体相应矩的函数的估计 而总体各阶矩都是总体分布中未知参数的函数 从而通过估计总体矩来达到估计总体分布中未知参数的目的 例1 随机抽测8包 测得净重 g 分别为 453457454452 5453 5455456451 解 检测的8包奶粉显然为一个样本 设样本均值和样本方差观测值分别为 由于 即 故得到矩估计值 顶标 表示估计下标 M 表示矩法 例2 解 例3常见分布未知参数的矩估计量 矩法直观而又便于计算 但其精确度通常较别的方法 如最大似然估计方法 低 二 最大似然估计法 是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的 Gauss Fisher 然而 这个方法常归功于英国统计学家费歇 费歇在1922年重新发现了这一方法 并首先研究了这种方法的一些性质 最大似然估计法的基本思想 先看一个简单例子 一只野兔从前方窜过 是谁打中的呢 某位同学与一位猎人一起外出打猎 如果要你推测 你会如何想呢 只听一声枪响 野兔应声倒下 你就会想 只发一枪便打中 猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率 看来这一枪是猎人射中的 这个例子所作的推断已经体现了最大似然估计法的基本思想 最大似然估计法的思想 在已得到试验结果的情况下 应寻找使这个结果出现的可能性最大的那个 即 记 1 2 似然方程组 称 2 式的解为的最大似然估计值 求解时 若将 1 式两边取对数 则有 3 对数似然函数 因此似然方程组化为 4 其解为的最大似然估计值 5 6 例4求未知参数的最大似然估计量 两边取对数 得 得 与矩估计结果一样 两边取对数 得 即 与矩估计结果一样 无驻点 而 未知参数的最大似然估计和矩估计的结果并不都是一样的 取 似然函数 这一估计量与矩估计量是相同的 对其取对数 由 最大似然估计的性质 此性质可以推广到总体分布中含有多个未知参数的情况 在统计问题中往往先使用最大似然估计法 在最大似然估计法使用不方便时 再用矩估计法 作业 P174练习7 1 2 3 4 7 2点估计量的评价标准 一 无偏性 二 有效性 三 一致性 本节介绍三种常用的标准 无偏性 有效性和一致性 从前一节可以看到 对于同一个参数 用不同的估计方法求出的估计量可能不相同 例如 问题 1 对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好 2 评价估计量的标准是什么 一 无偏性 点估计量是随机变量 对于不同的样本观测值有不同的估计值 估计值与待估参数不会完全一致 希望点估计量以待估参数为中心波动 即估计值的平均值应当等于待估参数 定义 若 例1 证明 而 所以 根据样本方差的特性 有 证 例2 证明 例3 由以上两例可知 一个参数可以有不同的无偏估计量 三 有效性 由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度 所以无偏估计以方差小者为好 简称优效估计量 例4 证明 证明 例5 续例3 证明 例6 续例2 估计量的一致性只有当样本容量相当大时 才能显示出优越性 这在实际中往往难以做到 因此 在工程中往往使用无偏性和有效性这两个标准 三 一致性 略 一致性是对估计量的一个基本要求 不具备相合性的估计量是不予以考虑的 由最大似然估计法得到的估计量 在一定条件下也具有一致性 作业 1 2 3 P179练习7 2 7 3参数的区间估计 一 单个正态总体的区间估计 二 两个正态总体均值差和方差比的区间估计 前面 我们讨论了参数点估计 它是用样本算得的一个值去估计未知参数 但是 点估计值仅仅是未知参数的一个近似值 它没有反映出这个近似值的误差范围 使用起来把握不大 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 譬如 在估计湖中鱼数的问题中 若我们根据一个实际样本 得到鱼数N的极大似然估计为1000条 若我们能给出一个区间 在此区间内我们合理地相信N的真值位于其中 这样对鱼数的估计就有把握多了 实际上 N的真值可能大于1000条 也可能小于1000条 也就是说 我们希望确定一个区间 使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值 湖中鱼数的真值 这里所说的 可靠程度 是用概率来度量的 称为置信概率 置信度或置信水平 置信区间的概念 定义 对给定的数 若存在统计量 使得 称 为置信度 是 限与置信上限 单个正态总体均值的区间估计 推导过程如下 由抽样分布定理可知 将其标准化 最小的置信区间最优 其置信区间的长度为 例2某厂生产的一批灯泡 其寿命服从正态分布从中任取10个进行寿命测试 测得样本均值为小时 求灯泡平均寿命的置信度为的置信区间 解 查正态分布表可得临界值 置信区间的长度9 4 查正态分布表可得临界值 置信区间的长度11 08 置信区间的长度9 4 置信区间的长度11 08 或 由抽样分布定理可知 或 推导过程如下 由左图 可知 或 则 例3初生婴儿的体重X近似服从正态分布从某地区随机抽取16名新生儿 测得克 克 求平均体重的置信度为95 的置信区间 解 查t 分布临界值表 得 这个误差的可信度为95 或 则 或 或 解 查正态分布表 得 因此 例4某地区居民的家庭收入近似服从正态分布做调查时随机抽取60户 测得家庭平均收入元 样本修正方差为元 求该地区居民平均家庭收入的置信度为0 95的置信区间 可以使用随机变量 方差已知 方差未知 方差已知 方差未知 由抽样分布定理 可知 或 推导过程如下 或 故此