概率论与数理统计 第三章.ppt

河南理工大学精品课程概率论与数理统计 二维随机变量边缘分布随机变量的独立性二维随机变量函数的分布 第三章多维随机变量及其分布 1 二维随机变量 一 概念 定义1设在试验E的样本空间S e 上定义了两个随机变量X Y 称向量 X Y 为二维随机变量或二维随机向量 二维随机变量 X Y 不仅与各个随机变量X Y有关 也与X Y间的内在联系有关 因此 不能试图通过单独研究随机变量X Y而来了解二维随机变量 X Y 必须将 X Y 作为一个整体来研究 类似于一维随机变量 我们也可利用 分布函数 来研究二维随机变量 X Y 并且分别就离散型与连续型来加以分析 请你注意 定义2设 X Y 为二维随机变量 称二元函数 为二维随机变量 X Y 的分布函数 也称为随机变量X与Y的联合分布函数 其中为任意实数 分布函数在点处的函数值就是事件 随机点 X Y 落在以点为右上顶点的角形区域 的概率 二 分布函数及其性质 定义域为全平面 分布函数具有下列基本性质 关于x y均单调不减右连续 对任意点均有 分布函数与离散型二维随机变量分布律 连续型二维随机变量概率密度的关系 见后 随机向量落在矩形区域的概率 三 离散型二维随机变量 1 概念 定义3如果二维随机变量 X Y 所有可能取值为有限个或可列无限个点 则称 X Y 为二维离散型随机变量 2 分布律 设二维离散型随机变量 X Y 可能取值为 则 X Y 的分布律 概率分布 X与Y的联合分布律 为 分布律满足 分布律可用表格表示 X Y 概率的非负性 概率的规范性 例1 P 71 将一枚硬币连抛三次 以X表示在 三次中出现正面的次数 Y表示 三次中正 反面次数差的绝对值 求X与Y的联合分布律 解 X取值0 1 2 3 Y取值1 3 基本事件总数为8 X与Y的联合分布律为 P X 0 Y 1 P 0 P X 0 Y 3 1 8 TTT P X 1 Y 1 3 8 HTT THT TTH P X 1 Y 3 P 0 P X 2 Y 1 3 8 HHT HTH THH P X 2 Y 3 P 0 P X 3 Y 1 P 0 P X 3 Y 3 1 8 HHH 古典概率 例1 续 X与Y的联合分布律为 二维离散型随机变量的分布列形象化解释 设想将一单位质量的物质分配在 X Y 所有可能取值的点处 相应分配的量就是对应的概率值 这样一来 随机变量取值落在某个平面区域G上的概率就等于G内各可能取值点处概率之和 请自学P 72 例2 四 连续型二维随机变量 1 概念 定义4设为二维随机变量 X Y 分布函数 如果存在非负函数使对任意实数有 则称 X Y 为二维连续型随机变量 其中称为随机变量 X Y 的概率密度 或称为随机变量X与Y的联合概率密度 2 概率密度及其性质 概率密度具有下列性质 设G为平面xoy上的一个区域 则随机点 X Y 落在G内的概率为 曲顶柱体体积 确定待定参数 概率密度性质 若在点处连续 则有 由分布函数求概率密度 由概率密度求分布函数 例2 典型题 设r v X Y 的概率密度为 解 由概率密度性质得 1 确定C的值 2 求 X Y 的分布函数 3 求概率 1 因为 所以 故 例2 续1 2 由概率密度求分布函数 解题思路 画出联合概率密度的非零区域 点 x y 在全平面范围内取值 综合上述两点得出就 x y 的分段情形 例2 续2 本例中分布函数应分为两段来计算 就x 0 y 0与 其它 利用重积分对积分区域的可加性 只保留非零积分 例2 续3 3 求概率P Y X 只需在概率密度f的非零区域与事件区域G x y y x 的交集D上积分 由公式 得 例2 续4 本例是一个典型题 大家应熟练掌握分析与计算的方法 特别是会根据不同形状的概率密度非零区域与所求概率的事件区域G来处理这类问题 就P 73 例3来共同考虑如何分段 应分几段 怎样计算各段值 板书 二维均匀分布设G为一个平面有界区域 其面积为A 如果二维连续型随机变量 X Y 的概率密度为 则称 X Y 服从区域G上的均匀分布 记为 X Y U G 1 二维均匀分布 两种常见的二维连续型分布 二维正态分布设二维连续型随机变量 X Y 的概率密度为 2 二维正态分布 其中均为常数 称 X Y 为服从参数为的二维正态分布 记为 2 边缘分布 一 边缘分布函数及其求法 设二维随机变量 X Y 的分布函数为 X与Y作为单个随机变量的分布函数分别为 称 分别为二维随机变量 X Y 关于X和关于Y的边缘分布函数 问题 联合分布 函数 与边缘分布 函数 有什么关系 结论 联合分布 函数 边缘分布 函数 但当X与Y相互独立时 联合分布 函数 与边缘分布 函数 可相互确定 3 设二维随机变量 X Y 的分布函数为 边缘分布函数 即X与Y的分布函数 为 则有 因此 由联合分布函数可求得边缘分布函数 即可通过联合分布函数求极限来确定边缘分布函数 二 离散型二维随机变量的边缘分布律 设离散型二维随机变量 X Y 的分布律为 则由联合分布函数与边缘分布函数 联合分布律关系得 又由一维离散型随机变量分布函数与分布律关系得 比较可得X的分布律为 同理可得Y的分布律为 我们称 X Y 关于X的边缘分布律 X Y 关于Y的边缘分布律 显然 由联合分布律可求得各个边缘分布律 只需采用 同一表格法 设r v X与Y的联合分布律为 解 利用公式得边缘分布律 见上表 边缘 求X Y的边缘分布律 例3 三 连续型二维随机变量的边缘概率密度 设连续型二维随机变量 X Y 的概率密度为 则由联合分布函数与边缘分布函数 联合概率密度关系得 又由一维连续型随机变量分布函数与概率密度关系得 比较可得X为连续型随机变量 且X的概率密度为 同理可得Y的概率密度为 我们称 X Y 关于X的边缘概率密度 X Y 关于Y的边缘概率密度 显然 由联合概率密度可求得各个边缘概率密度 只需对某一个变量在 上积分 但必须注意另一个变量应在全体实数范围内取值 参量积分 例4 典型题 设r v X与Y的联合概率密度为 解题思路 求X Y的边缘概率密度 画出联合概率密度的非零区域 参量x y 在实数范围内取值 综合上述两点就x y 分两种情形关于y x 由 积分到 只需在积分直线与非零区域交线上进行 类似可得 解 由公式得 例4 续1 例4 续2 本例是求边缘概率密度的典型题 不同的题目只是非零区域形状和积分表达式的变化 必须熟练掌握 二维正态分布的边缘分布 不难求得二维正态分布随机变量的边缘概率密度为 由此可知 二维正态分布的边缘分布均为一维正态分布 且与参数 无关 表明 由联合分布可以确定边缘分布 但由边缘分布未必能确定联合分布 3 相互独立的随机变量 则称随机变量X与Y是相互独立的 定义1设分别为二维随机变量 X Y 分布函数与边缘分布函数 如果对于任意的实数均有 一 概念 即 利用两事件的独立性可以定义两随机变量的独立性 二 判定 由定义可以判定随机变量X与Y的独立性 X与Y相互独立 特别的 对离散性和连续性随机变量 也可利用其分布律与概率密度来判定独立性 1 离散型随机变量 离散型随机变量 X Y 的分布律 边缘分布律分别为 则X与Y相互独立的充要条件是 对 X Y 的所有可能取得值 均有 设连续型随机变量 X Y 的概率密度 边缘概率密度分别为 则X与Y相互独立的充要条件是 在全平面上几乎处处成立 2 连续型随机变量 总之 联合分布可确定边缘分布 但当X与Y相互独立时 边缘分布也可确定联合分布 一般 要判定X与Y的独立性 可先求边缘分布 再依据上述条件之一判定 例1 设随机变量 X Y 的概率密度为 1 求 X Y 的边缘概率密度 2 判定X Y的独立性 解 1 求 X Y 的边缘概率密度 例1 续1 2 判定独立性 因为 即X与Y不独立 所以在联合概率密度非零区域内 例1 续2 例2 典型题 设随机变量X Y相互独立 且X服从 0 1 上的均匀分布 Y的概率密度为 1 求X与Y的联合概率密度 2 求关于t的二次方程t2 2Xt Y 0有实根的概率 解 1 求X与Y的联合概率密度 因为X Y独立 且有 所以 X与Y的联合概率密度为 例2 续1 2 求方程有实根的概率 方程有实根 即为 故所求概率为 例2 续2 均匀分布的概率密度 当两个随机变量相互独立时 可由边缘概率密度确定联合概率密度 由联合概率密度求事件 二维随机变量取值落在一个平面区域内 概率的积分公式 二重积分的计算 利用标准正态概率密度函数计算有关概率积分值 一元二次方程有实根的条件 等 本题知识点回顾 不难看出 对于二维正态随机变量 X Y X与Y相互独立的充要条件是参数 0 参数 称为X与Y的相关系数 ch4 如果随机变量X与Y的相关系数 0 称X与Y是不相关的 但对二维正态随机变量 X Y X与Y独立与不相关是等价的 续 由一 二维随机变量推广至n维随机变量 请看教材 我们知道 二维正态随机变量 X Y 的概率密度为 两个边缘概率密度为 二维正态分布与边缘分布 4 条件分布 一 离散型二维随机变量的条件分布律 定义1设 X Y 为离散型二维随机变量 对于固定的j 当时 称 为在条件下X的条件分布律 由条件概率可以自然地引入条件分布 为在条件下Y的条件分布律 对于固定的i 当时 称 设r v X与Y的联合分布律为 求在Y 1条件下X的条件分布律 例1 解 先求边缘分布律 见上表 边缘 再求条件分布律 显然 条件分布律也满足分布律的性质 例1 续 定义2设连续型二维随机变量 X Y 的概率密度为 边缘概率密度为 则当时 称 为在条件下X的条件概率密度 当时 称 为在条件下Y的条件概率密度 二 连续型二维随机变量的条件概率密度 例2 设r v X与Y的联合概率密度为 求条件概率密度 解 先求边缘概率密度 再先条件概率密度 当时 5 二维随机变量函数的分布 一维随机变量函数的分布在前一章已经讨论过 下面就几个具体的分布来讨论二维随机变量函数的分布 主要就连续型随机变量 X Y 来根据具体情况应用公式 至于离散型随机变量情形可参照处理 5 二维随机变量函数的分布 一维随机变量函数的分布在前一章已经讨论过 下面就几个具体的分布来讨论二维随机变量函数的分布 主要就连续型随机变量 X Y 来根据具体情况应用公式 至于离散型随机变量情形可参照处理 由对称性得 因此 由联合概率密度求和分布Z X Y的概率密度公式为 特别 当X与Y相互独立时 几乎处处有 于是 上述公式变为卷积公式 因此 一般可由X与Y的联合概率密度求和分布Z X Y的概率密度 当X与Y独立时 可由边缘概率密度的卷积公式求之 参照D就z在 上进行分段 对上述各分段中取定的z值 就x从 积分至 实际只需在非零区域D上一段积分 卷积计算思路 在xoz平面上确定被积函数及其非零区域D 注意 上述也是一般参量积分的计算方法 设随机变量X Y相互独立 且均服从标准正态分布 求Z X Y的概率分布 所以由卷积公式得Z X Y概率密度为 解 因为X Y独立且其概率密度分别为 例1 1 z在 上取值 2 x在 上积分 3 考虑被积函数的非零区域 4 在xoz系中综合上述各点确定z的分段情形 例1 续1 所以Z N 0 2 设随机变量X Y相互独立 且概率密度均为 解 因为X Y独立 所以和分布概率密度可由卷积公式计算 求Z X Y概率密度 计算积分思路 1 被积函数非零区域 2 z取任意实数 3 x在 上积分 4 综合上述就z分段 例2 典型题 例2 续1 由边缘概率密度确定的表达式 特别是其非零区域 由题目条件得 故得 计算卷积 函数自变量为z 积分变量为x 当z取值范围确定后 x由 积分至 只需在非零区域内一段上积分 例2 续2 因为 所以 例2 续3 综上可得 例2 续4 离散型随机变量和分布 设离散型随机变量 X Y 的概率分布为 则随机变量Z X Y的概率分布为 特别 当X Y独立时 则Z X Y的概率分布为 例3 P 90 例1 解 Z X Y可能取值为 3 2 1 0 1 2 3 且 值得注意 二项分布和泊松分布均具有 可加性 设连续型随机变量 X Y 的概率密度为 则随机变量Z X Y的分布函数为 二 商分布Z X Y 由广义积分求导公式得 Z X Y的概率密度为 即商分布的概率密度为 于是 上述公式变为 特别 当X与Y相互独立时 几乎处处有 设随机变量X Y相互独立 且概率密度均为 求Z X Y概率密度 解 因为X Y独立 所以由公式 计算商分布的概率密度 例4 计算积分思路 1 被积函数非零区域 2 z取任意实数 3 y在 上积分 4 综合上述就z分段 计算方法与卷积类似 由边缘概率密度确定的表达式 特别是其