概率统计Ch5 极限定理-BS.ppt

1 第五章大数定律及中心极限定理 1大数定律 2中心极限定理 2 第五章大数定律及中心极限定理 1大数定律 大数定律的定义切比雪夫大数定律贝努里大数定律 3 实例 测量一个工件 由于测量具有误差 以各次的平均值作为测量结果 只要仪器准确且测量的次数足够多 总可以达到要求的精度 此问题的数学表达 反映了什么统计规律 如果工件的测量值真值为a 第五章大数定律及中心极限定理 1大数定律 4 即大量测量值的算术平均值具有稳定性 这就是大数定律的反映 测量的经验就是 第五章大数定律及中心极限定理 1大数定律 5 第五章大数定律及中心极限定理 1大数定律 定义1 若对任意 考虑 数列的收敛性定义 比较数列与随机变量序列收敛性的区别 一 定义 6 定义2 对任意 第五章大数定律及中心极限定理 1大数定律 随机变量的平均值依概率趋向于它们数学期望的平均值 7 8 定理1 马尔可夫大数定律 第五章大数定律及中心极限定理 1大数定律 设随机变量 满足 证明 9 定理2 切比雪夫大数定律 独立同分布 第五章大数定律及中心极限定理 1大数定律 设随机变量 独立同分布 10 证 第五章大数定律及中心极限定理 1大数定律 由马尔可夫大数定律 11 定理3 贝努里大数定律 证 令 第五章大数定律及中心极限定理 1大数定律 则独立同分布 12 由定理2 有 第五章大数定律及中心极限定理 1大数定律 13 14 15 第五章大数定律及中心极限定理 2中心极限定理 定义 独立同分布的中心极限定理 拉普拉斯中心极限定理 用频率估计概率时误差的估计 16 中心极限定理说明了正态分布的重要地位 它是统计学中处理大样本时的重要工具 第五章大数定律及中心极限定理 2中心极限定理 17 18 19 一 定义 第五章大数定律及中心极限定理 2中心极限定理 若对任意x 表示Zn的极限分布为标准正态分布 20 定理1 独立同分布的中心极限定理 二 中心极限定理 第五章大数定律及中心极限定理 2中心极限定理 21 本质是 的极限分布是正态分布 从而 的极限分布是标准正态分布 中心极限定理 22 例 一接收器同时收到20个信号电压 设它们互相独立均服从U 0 10 求电压之和大于105的概率 第五章大数定律及中心极限定理 2中心极限定理 记 23 某产品装箱 每箱重量是随机的 假设每箱平均重50kg 标准差为5kg 若用最大载重量为5吨的汽车承运 问每车最多可装多少箱 才能以0 977以上的概率保证不超载 例 解 设最多可装n箱 由中心极限定理 第五章大数定律及中心极限定理 2中心极限定理 总重量 24 因此最多可装98箱 第五章大数定律及中心极限定理 2中心极限定理 25 26 27 由定理1有结论成立 定理2贝努里情形的中心极限定理 拉普拉斯 证明 由二项分布和两点分布的关系知 其中相互独立且都服从于两点分布 且 第五章大数定律及中心极限定理 2中心极限定理 设 n是n重贝努里试验中A发生的次数 p P A 则对 28 从而 的极限分布是标准正态分布 拉普拉斯中心极限定理 本质是 服从二项分布 则的极限分布是正态分布 29 推论 说明 这个公式给出了n较大时二项分布的概率计算方法 第五章大数定律及中心极限定理 2中心极限定理 设 n B n p 30 例 车间有200台独立工作的车床 每台工作的概率为0 6 工作时每台耗电1千瓦 问至少供电多少千瓦才能以99 9 的概率保证正常生产 设至少要供给这个车间s千瓦电才能以99 9 的概率保证这个车间正常生产 由题意有 解 记同时工作的车床数为X 则X B 200 0 6 第五章大数定律及中心极限定理 2中心极限定理 31 即供给141千瓦电就能以99 9 的概率保证该车间正常生产 第五章大数定律及中心极限定理 2中心极限定理 32 用频率估计概率时误差的估计 由上面的定理知 用这个关系式可解决许多计算问题 第五章大数定律及中心极限定理 2中心极限定理 33 例 今从良种率为1 6的种子中任取6000粒 问能以0 99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1 6的差的绝对值不超过多少 相应的良种粒数在哪个范围内 解 由拉普拉斯中心极限定理 第五章大数定律及中心极限定理 2中心极限定理 34 故近似地有 第五章大数定律及中心极限定理 2中心极限定理 35 良种粒数X的范围为 第五章大数定律及中心极限定理 2中心极限定理 36 例 系统由100个相互独立的部件组成 每个部件的损坏率为0 1 至少有85个部件正常工作 系统才能运行 求系统能运行的概率 解 由拉普拉斯中心极限定理有 则X B 100 0 1 EX 10 DX 9 设X是损坏的部件数 第五章大数定律及中心极限定理 2中心极限定理 系统能运行 则 37 38 39 40 41 1 了解大数定律的意义和内容 理解切比雪夫大数定律 贝努里大数定律 第五章小结 要求