数理统计的MATLAB求解.ppt

2020 2 21 1 第三部分概率统计的MATLAB求解 随机变量及其分布随机变量函数的分布随机变量的数字特征参数估计假设检验方差分析 2020 2 21 2 3 1随机变量及其分布 超几何分布H n M N 命令1 Fx hygecdf x M N K 功能 计算超几何分布的累积概率 总共M件产品 其中次品N件 抽取K件检查 计算发现次品不多于x件的概率Fx P 次品数X x F x 命令2 x hygeinv p M N K 功能 在已知参数M N K和p的情况下计算随机量x 使得p P 0 次品数X x 命令3 X hygernd M N K m n 功能 在已知参数M N K的情况下产生m n维符合超几何分布的随机数矩阵X 2020 2 21 3 3 1随机变量及其分布 命令4 Px hygepdf x M N K 功能 总共M件产品 其中次品N件 抽取K件检查 计算发现恰好x件次品的概率Px P X x 命令5 stairs x Px 功能 绘制以x为横坐标 Px为纵坐标的阶梯平面图 当Px是分布列 或密度 时 绘制概率密度分布图 当Px是累积分布时 绘制概率分布函数图注 以后碰到命令末尾为 rnd 产生随机数X cdf 产生分布函数F x pdf 产生密度函数p x 或分布列Px P X x inv 计算x F 1 p p F x 2020 2 21 4 3 1随机变量及其分布 二项分布B n p 命令1 Fx binocdf x n p 功能 计算二项分布的累积概率Fx P X x F x 命令2 x binoinv y n p 功能 计算随机量x 使得y P X x 命令3 X binornd n p M N 功能 产生M N维符合二项分布的随机数矩阵X命令4 Px binopdf x n p 功能 计算试验中事件恰好发生x次的概率Px P X x 2020 2 21 5 3 1随机变量及其分布 泊松分布X P 命令1 Fx poisscdf x lambda 功能 计算累积概率Fx P X x F x 命令2 x poissinv p lambda 功能 计算随机量x 使得p P X x 命令3 X poissrnd lambda M N 功能 产生M N维随机数矩阵X命令4 Px poisspdf x lambda 功能 计算概率Px P X x 2020 2 21 6 3 1随机变量及其分布 正态分布X N 2 命令1 Fx normcdf x mu sigma 功能 计算累积概率Fx P X x F x 命令2 x norminv p mu sigma 功能 计算随机量x 使得p P X x 命令3 X normrnd mu sigma M N 功能 产生M N维随机数矩阵X命令4 Px normpdf x mu sigma 功能 计算分布密度p x 在x的值补充 randn 标准正态分布随机数 2020 2 21 7 3 1随机变量及其分布 指数分布X exp 命令1 Fx expcdf x lambda 功能 计算累积概率Fx P X x F x 命令2 x expinv p lambda 功能 计算随机量x 使得p P X x 命令3 X exprnd lambda M N 功能 产生M N维随机数矩阵X命令4 Px exppdf x lambda 功能 计算分布密度p x 在x的值 2020 2 21 8 3 1随机变量及其分布 均匀分布X U a b 命令1 Fx unifcdf x a b 功能 计算累积概率Fx P X x F x 命令2 x unifinv p a b 功能 计算随机量x 使得p P X x 命令3 X unifrnd a b M N 功能 产生M N维随机数矩阵X命令4 Px unifpdf x a b 功能 计算分布密度p x 在x的值补充 rand 0 1 均匀分布随机数 2020 2 21 9 3 1随机变量及其分布 分布 命令 gamcdf x a lambda gaminv p a lambda gampdf x a lambda gamrnd a lambda m n 2020 2 21 10 3 1随机变量及其分布 2分布 命令 chi2cdf x k chi2inv p k chi2pdf x k chi2rnd k m n 2020 2 21 11 3 1随机变量及其分布 T分布 命令 tcdf x k tinv p k tpdf x k trnd k m n 2020 2 21 12 3 1随机变量及其分布 F分布 命令 fcdf x p q finv F p q fpdf x p q frnd p q m n 2020 2 21 13 3 1随机变量及其分布 例3 1某人向空中抛硬币100次 落下为正面的概率为0 5 这100次中正面向上的次数记为X 1 试计算x 45的概率和x 45的概率 2 绘制分布函数图象和分布列图象 程序 clear px binopdf 45 100 0 5 计算x 45的概率px 0 0485fx binocdf 45 100 0 5 计算x 45的概率fx 0 1841 x 1 100 p1 binocdf x 100 0 5 plot x p1 title 分布函数图 2020 2 21 14 3 1随机变量及其分布 p2 binopdf x 100 0 5 plot x p2 r title 概率分布图 2020 2 21 15 3 1随机变量及其分布 例3 2设X N 2 0 25 1 求概率P 1 X 2 5 2 绘制分布函数图象和分布密度图象 3 画出区间 1 5 1 9 上的分布密度曲线下方区域 程序 1 p normcdf 2 5 2 0 5 normcdf 1 2 0 5 p 0 8186 2 x 0 0 1 4 px normpdf x 2 0 5 fx normcdf x 2 0 5 plot x px b holdon plot x fx r legend 正态分布函数 正态分布密度 3 specs 1 5 1 9 pp normspec specs 2 0 5 2020 2 21 16 3 1随机变量及其分布 2020 2 21 17 3 2随机变量函数的分布 根据概率统计教材中的定理 如果已知随机变量X的密度fX x 随机变量函数Y g X 单调 则Y的密度函数为 fY x fX h y h y 其中x h y 是y g x 的反函数 如果y g x 不单调 则将定义域分成若干单调区间进行讨论 也可利用 据此意思 计算随机变量函数的分布相当于编程 2020 2 21 18 例3 3设随机变量X服从均匀分布U 0 1 求Y eX的分布 程序 clear x solve y exp x x log y dy diff x y dy 1 yfy 1 abs dy fy 1 y 注 取值区域需要自己确定 用积分求法作为练习 3 2随机变量函数的分布 2020 2 21 19 3 3随机变量的数字特征 随机变量的数学期望 1 数组的平均值 Y mean X 功能 当X为向量时 输出一个平均数 当X为矩阵时 输出为行向量 对应于矩阵每列的平均值 因此计算矩阵所有数的平均值 应用嵌套 mean mean X 或m mean X 与此类似的有 求和 sum 最大 max 最小 min 等2 离散型随机变量的期望 EX sum X P 功能 计算随机值向量X与对应概率向量P的乘积之和3 连续型随机变量的期望 EX int x fx x a b 功能 用积分计算期望 2020 2 21 20 3 3随机变量的数字特征 例3 4设随机变量X的分布列 求期望 程序 clear x 1 0 2 3 p 1 8 1 4 3 8 1 4 EX sum x p 1 3750 2020 2 21 21 3 3随机变量的数字特征 例3 5设随机变量X的分布密度为 且EX 3 5 求常数a b的值 程序 clear symsabx fx a b x 2 EX int x fx x 0 1 EX 1 4 b 1 2 aF int fx x 0 1 F a 1 3 bf1 EX 3 5 f2 f 1 a b solve f1 f2 a 3 5 b 6 5 2020 2 21 22 3 3随机变量的数字特征 例3 6设随机变量X的分布密度为 求随机变量Y X 的期望 程序 clear symsx fx1 0 5 exp x fx2 0 5 exp x EY int x fx1 x inf 0 int x fx2 x 0 inf EY 1 2020 2 21 23 3 3随机变量的数字特征 随机变量的方差 1 统计数据的方差 D var X 1 功能 当X为向量时 输出一个标量 当X为矩阵时 输出为行向量 对应于矩阵每列的方差值 因此计算矩阵所有数的方差值 应用嵌套 var var X 缺省1 计算 否则计算 2 统计数据的标准差 S std X 1 功能 用法和1的解释同上3 一般随机变量的方差 DX E X2 EX 2功能 用积分或级数编程计算 2020 2 21 24 3 3随机变量的数字特征 例3 7设随机变量X的分布密度为 求随机变量X的期望和方差 程序 clear symsx fx 2 pi cos x 2 EX int x fx x pi 2 pi 2 E2X int x 2 fx x pi 2 pi 2 DX E2X EX 2 2020 2 21 25 3 3随机变量的数字特征 常见分布的期望和方差 1 二项分布 E D binostat n p 说明 n p可以是标量 向量 矩阵 则E D是对应的标量 向量 矩阵2 超几何分布 E D hygestat M N K 3 泊松分布 E D poissstat lambda 4 均匀分布 E D unifstat a b 5 指数分布 E D expstat lambda 6 正态分布 E D normstat mu sigma 其他 gamstat tstat fstat chi2stat 等等 2020 2 21 26 3 3随机变量的数字特征 协方差与相关系数的计算 1 随机变量的协方差 cov X Y E X EX Y EY 2 随机变量的相关系数 cov X Y sqrt DX DY 3 统计数据的协方差cov X 当X为向量时 cov X var X 当X为矩阵时 结果为X的协方差矩阵 对角线是X每列的方差 Xij为X的第i列和第j列的协方差值 cov X Y 计算向量X和Y的协方差值4 统计数据的相关系数corrcoef X corrcoef X Y 说明与用法与cov 相同 2020 2 21 27 3 3随机变量的数字特征 矩的计算 1 随机变量的k阶中心矩 Bk moment X k 2 随机变量的k阶原点矩 Ak sum X k length X 2020 2 21 28 3 4参数估计 常用分布的参数估计 1 正态分布的参数估计格式 muhat sigmahat muci sigmaci normfit X alpha 功能 数组X服从正态分布 给定显著水平alpha 缺省时为0 05 前二项给出点估计 后二项给出区间估计 X为矩阵时 针对列进行计算 2 二项分布的参数估计 n重已知 p未知 格式 phat puci binofit X n alpha 3 泊松分布的参数估计格式 lbdhat lbdci poissfit X alpha 4 均匀分布的参数估计格式 ahat bhat aci bci unifit X alpha 2020 2 21 29 3 4参数估计 5 指数分布的参数估计格式 lbdhat lbdci expfit X alpha 6 通用命令mle 格式 输出参数项 mle 分布函数名 X alpha N 说明 分布函数名有 bino 二项 geo 几何 hyge 超几何 poiss 泊松 uinf 均匀 unid 离散均匀 exp 指数 norm 正态 t T分布 f F分布 beta 贝塔 gam 伽吗 N当二项时需要 其他没有 2020 2 21 30 例3 8设生成一组均值为15 方差为2 52的正态分布的随机数据 然后对这组数据进行置信度97 的参数估计 程序 clear w normrnd 15 2 5 50 1 或w 15 2 5 randn 50 1 alpha 0 03 mh sh mc sc normfit w alpha 运行一次 mh 15 1076sh 2 4038mc 14 3478 15 8674sc 1 9709 3 0703 3 4参数估计 2020 2 21 31 例3 9设从一大批产品中抽取100个产品 经检验知有60个一级品 求这批产品的一级品率 置信度95 程序 clear alpha 0 05 N 100 X 60 Ph Pc mle bino X alpha N 运行一次 Ph 0 6000Pc 0 4972 0 6967 3 4参数估计 2020 2 21 32 3 5假设检验 单正态总体均值的假设检验 1 方差已知 u检验或z检验 格式 H P ci Zval ztest X Mu sigma alpha tail 功能 对正态分布总体的采样X进行Z检验 判断采样的均值在已知的标准差sigma下是否等于假设值Mu 给定显著水平alpha 缺省时为0 05 tail是假设的备选项 即备择假设 有三个值 tail 0是默认值 可省略 说明备选项为 均值不等于M tail 1 说明备选项为 均值大于M tail 1 说明备选项为 均值小于M H 0说明接受原假设 H 1拒绝原假设 P为假设成立的概率 P值非常小时对假设置疑 ci给出均值的置信 Zval给出统计量的值 2020 2 21 33 3 5假设检验 例3 10某面粉厂的包装车间包装面粉 每袋面粉的重量服从正态分布 机器正常运转时每袋面粉重量的均值为50kg 标准差1 某日随机的抽取了9袋 重量分别为 49 7 50 6 51 8 52 4 49 8 51 1 52 51 5 51 2机器运转是否正常 程序 clear x 49 7 50 6 51 8 52 4 49 8 51 1 52 51 5 51 2 sigma 1 mu 50 h p ci z ztest x mu sigma 结果 h 1 拒绝原假设即认为机器不正常p 7 6083e 004 p 0 00076083很小 对假设置疑ci 50 468951 7755 均值偏高z 3 3667 2020 2 21 34 3 5假设检验 单正态总体均值的假设检验 2 方差未知 t检验 格式 H P ci stats ttest X Mu alpha tail 功能 对正态分布总体的采样X进行t检验 对H Mu alpha tail P ci的解释同上 stats是个结构 包含三个元素 tstat 统计值 df 自由度 和sd 样本标准差 例3 11某灯泡厂出厂的标准是寿命不少于2000小时 现随机的从该厂生产的一批灯泡中抽取了20只 寿命分别为 1558 1627 2101 1786 1921 1843 1655 16751935 1573 2023 1968 1606 1751 1511 12472076 1685 1905 1881假设灯泡的寿命服从正态分布问这批灯泡是否达到了出厂标准 a 0 01 2020 2 21 35 3 5假设检验 原假设H0 x 2000备择假设H1 x 2000程序 clear x 1558 1627 2101 1786 1921 1843 1655 1675 1935 1573 2023 1968 1606 1751 1511 1247 2076 1685 1905 1881 alpha 0 01 mu 2000 h p ci stats ttest x mu alpha 1 结果 h 1 拒绝原假设即认为不符合出厂标准p 5 9824e 005 p很小 对假设置疑ci 1 0e 003 Inf1 8895 均值偏低stats tstat 4 8176df 19sd 216 8973 2020 2 21 36 3 5假设检验 双正态总体均值的假设检验 比较两个方差相等的正态总体的均值是否相等 T检验 格式 H P ci stats ttest2 X Y alpha tail 功能 对两个正态分布总体的采样X Y进行T检验 对H P alpha的解释同上 tail是假设的备选项 即备择假设 有三个值 tail 0是默认值 可省略 说明备选项为 均值不相等 tail 1 说明备选项为 X的均值大于Y的均值 tail 1 说明备选项为 X的均值小于Y的均值 ci给出均值差的置信区间 stats是个结构 包含三个元素 tstat 统计值 df 自由度 和sd 标准差Sw 2020 2 21 37 3 5假设检验 程序 clear x 2461 2404 2407 2439 2394 2401 2543 2463 2392 2458 y 2496 2485 2538 2596 2556 2582 2494 2528 2537 2492 alpha 0 01 h p ci st ttest2 x y alpha 1 结果 h 1 拒绝原假设即认为寿命未提高p 6 3361e 005 p很小 对假设置疑ci Inf 44 6944st tstat 4 8567df 18sd 43 3705 例3 12某灯泡厂在采用一项新工艺前后 分别抽取了10只进行寿命试验 寿命分别为 旧灯泡 2461 2404 2407 2439 2394 2401 2543 2463 2392 2458新灯泡 2496 2485 2538 2596 2556 2582 2494 2528 2537 2492假设灯泡的寿命服从正态分布 能否认为采用新工艺后 灯泡的寿命提高了 a 0 01 2020 2 21 38 3 5假设检验 两个总体一致性的假设检验 比较两个不知道确切分布的总体均值是否相等格式 P H stats ranksum X Y alpha 功能 对两个总体的采样X Y进行检验 对H P alpha的解释同上 stats是个结构 包含二个元素 zval 均值差的正态统计值 和ranksum 统计的秩和值 2020 2 21 39 3 5假设检验 程序 clear x 33 592 33 862 33 751 33 673 33 847 33 778 33 631 33 911 33 785 33 928 y 34 221 33 947 33 856 34 039 34 000 33 924 34 125 34 273 33 968 33 923 alpha 0 05 p h st ranksum x y alpha 结果 p 7 6854e 004 p很小 对假设置疑h 1 拒绝原假设即认为直径没有显著不同st zval 3 3639ranksum 60 例3 13两台机床加工同一种轴 抽样测量产品的直径 mm 机床甲 33 592 33 862 33 751 33 673 33 847 33 778 33 631 33 911 33 785 33 928机床乙 34 221 33 947 33 856 34 039 34 000 33 924 34 125 34 273 33 968 33 923在a 0 05下能否认为两台机床加工的直径没有显著不同 2020 2 21 40 3 5假设检验 两个样本具有相同连续分布的假设检验 检验两个样本是否具有相同的连续分布格式 H P ksstat kstest2 X Y alpha tail 功能 对两个总体的采样X Y进行检验 对H P alpha的解释同上 tail是假设的备选项 即备择假设 有三个值 tail 0是默认值 可省略 说明备选项为 不相等 tail 1 说明备选项为 大于 tail 1 说明备选项为 小于 ksstat表示测试统计量的值 2020 2 21 41 3 5假设检验 程序 clear x randn 1 10 y randn 1 10 x h p kst kstest2 x y 结果 h 0 接受原假设即认为两样本具有相同类型的连续分布p 0 6751 表示假设成立的概率为0 6751kst 0 3000 例3 14 2020 2 21 42 3 5假设检验 正态分布的假设检验 检验样本是否具有某种连续分布命令1 H P jbstat cv jbtest X alpha 功能 对采样X进行检验是否服从正态分布 对H P alpha的解释同上 jbstat表示测试统计量的值 cv为是否拒绝假设的临界值 适合大样本命令2 H P lstat cv lillietest X alpha 功能 对采样X进行检验是否服从正态分布 对H P alpha的解释同上 jbstat表示测试统计量的值 cv为是否拒绝假设的临界值 适合小样本 2020 2 21 43 3 5假设检验 程序 clear m1 ones 1 11 2 55 m2 ones 1 12 2 65 m3 ones 1 17 2 75 m4 ones 1 19 2 85 m5 ones 1 26 2 95 m6 ones 1 24 3 05 m7 ones 1 22 3 15 m8 ones 1 19 3 25 m9 ones 1 13 3 35 M m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 h p lst cv lillietest M hist M 例3 15从一批零件中随机抽取一组样品 下面是零件样品直径的统计表 在显著水平a 0 05下能否认为这批零件的直径服从正态分布 绘出统计数据的直方图 2020 2 21 44 3 5假设检验 结果 h 1 拒绝原假设即认为直径不服从正态分布p Nan 表示假设成立的概率很小lst 0 1062cv 0 0694 测试统计值大于临界值也表明应拒绝hist M n 绘制向量M的直方图 n定义条方的数目 默认为10 2020 2 21 45 3 5假设检验 正态分布的假设检验 命令3 H P ksstat cv kstest X cdf alpha tail 功能 对采样X进行检验是否服从名为cdf类型的连续累积概率分布 cdf缺省为 默认为标准正态分布 声明格式为两个相同长度的列向量 采样和采样对应的分布函数 对H P alpha ksstat cv的解释同上 例3 16程序 clear mu 1 sigma 2 x normrnd mu sigma 20 1 alpha 0 01 lbd 3 h p ksst cv kstest x x expcdf x lbd alpha 0 检验是否符合参数为3的指数分布 2020 2 21 46 3 6方差分析 单因素方差分析 命令 P anovatab stats anova1 X group displayopt 功能 比较多组数据的均值 返回这些均值相等的概率 从而判断因素对结果是否有显著影响 X为输入数据 列向量表示相互独立的样本观测值 具有相同长度 P为X的各列均值相等的概率 P越小 则质疑原假设 即均值不相等 表示因素的影响显著 group是与X对应的字符或字符串数组 用来声明X每一列中数据的名字或意义 可以省略 displayopt表示参数 on表示显示图 off表示隐藏图 anovatab返回方差分析表 stats返回一个附加的统计数据结构 2020 2 21 47 3 6方差分析 3 16将同一批同种牌号丝袜在不同温度下作弹力试验 得到数据表 试检验温度对弹力有无显著影响 0 05 2020 2 21 48 3 6方差分析 程序 clear X 4 3 6 1 10 0 6 5 9 3 9 5 7 8 7 3 4 8 8 3 8 7 8 8 3 2 4 2 5 4 8 6 7 2 11 4 6 5 4 1 9 6 8 2 10 1 7 8 p tab stats anova1 X on 结果 p 0 0214 p很小 拒绝原假设tab Source SS df MS F Prob F Columns 55 5471511 10943 5254 0 0214 Error 56 7225183 1512 Total 112 269623 stats gnames 6x1char n 444