高中数学第二章数列2_3等差数列的前n项和二课件新人教a版必修5

第二章数列 2 3等差数列的前n项和 二 1 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式 了解等差数列的一些性质 2 掌握等差数列前n项和的最值问题 3 理解an与Sn的关系 能根据Sn求an 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 2 等差数列前n项和的最值 知识梳理自主学习 知识点一等差数列前n项和及其最值 答案 最大 答案 最小 最小 最大 知识点二数列中an与Sn的关系对任意数列 an Sn与an的关系可以表示为 答案 S1 Sn Sn 1 思考若Sn n2 n 则an 解析n 2时 an Sn Sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2n 当n 1时 a1 S1 12 1 2 2 1 an 2n 解析答案 2n 知识点三裂项相消法把数列的通项拆成两项之差 在求和时中间的一些项可以相互抵消 从而实现求和 常见的拆项方法 答案 返回 答案 题型探究重点突破 题型一已知Sn求an例1已知数列 an 的前n项和为Sn 若Sn 2n2 3n 试判断数列 an 是不是等差数列 解析答案 反思与感悟 解 Sn 2n2 3n 当n 2时 an Sn Sn 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 4n 1 当n 1时 a1 S1 5 4 1 1 n 1时 适合an 4n 1 数列的通项公式是an 4n 1 故数列 an 是等差数列 当n 1适合于an时 则a1可以统一到an n 2 n N 的形式中 若n 1不适合an 则通项公式应写成分段函数形式 2 等差数列 an 中 若d 0 则Sn可写成关于n的二次函数形式 反之 若Sn An2 Bn 那么数列 an 一定是等差数列 反思与感悟 跟踪训练1本例中 若Sn 2n2 3n 1 试判断该数列是不是等差数列 解析答案 解 Sn 2n2 3n 1 n 2时 an Sn Sn 1 2n2 3n 1 2 n 1 2 3 n 1 1 4n 1 当n 1时 a1 S1 6 4 1 1 故数列 an 不是等差数列 题型二等差数列前n项和的最值问题例2在等差数列 an 中 若a1 25 且S9 S17 求Sn的最大值 解析答案 反思与感悟 解方法一 S9 S17 a1 25 解得d 2 解析答案 反思与感悟 n 13 2 169 当n 13时 Sn有最大值169 方法二同法一 求出公差d 2 an 25 n 1 2 2n 27 a1 25 0 又 n N 当n 13时 Sn有最大值169 解析答案 反思与感悟 方法三 S9 S17 a10 a11 a17 0 由等差数列的性质得a13 a14 0 a1 0 d0 a14 0 当n 13时 Sn有最大值169 方法四设Sn An2 Bn S9 S17 反思与感悟 当n 13时 Sn取得最大值169 1 等差数列前n项和Sn最大 小 值的情形 若a1 0 d0 则Sn存在最小值 即所有非正项之和 2 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 寻找正 负项的分界点 可利用等差数列性质或利用 反思与感悟 运用二次函数求最值的方法 注意解自然数 解析答案 跟踪训练2已知等差数列 an 中 a1 9 a4 a7 0 1 求数列 an 的通项公式 解由a1 9 a4 a7 0 得a1 3d a1 6d 0 解得d 2 an a1 n 1 d 11 2n 解析答案 2 当n为何值时 数列 an 的前n项和取得最大值 解方法一a1 9 d 2 当n 5时 Sn取得最大值 方法二由 1 知a1 9 d 2 0 an 是递减数列 n N n 5时 an 0 n 6时 an 0 当n 5时 Sn取得最大值 解析答案 反思与感悟 当n 2时 an Sn Sn 1 解析答案 反思与感悟 3n 104 n 1也适合上式 数列 an 的通项公式为an 3n 104 n N 由an 3n 104 0 得n 34 7 即当n 34时 an 0 当n 35时 an 0 1 当n 34时 Tn a1 a2 an a1 a2 an 2 当n 35时 Tn a1 a2 a34 a35 an a1 a2 a34 a35 a36 an 2 a1 a2 a34 a1 a2 an 2S34 Sn 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 等差数列的各项取绝对值后组成数列 an 若原等差数列 an 中既有正项 也有负项 那么 an 不再是等差数列 求和关键是找到数列 an 的正负项分界点处的n值 再分段求和 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3已知等差数列 an 中 若S2 16 S4 24 求数列 an 的前n项和Tn 解设等差数列 an 的首项为a1 公差为d 所以等差数列 an 的通项公式为an 11 2n n N 当n 5时 Tn a1 a2 an a1 a2 an Sn n2 10n 解析答案 当n 6时 Tn a1 a2 an a1 a2 a5 a6 a7 an 2S5 Sn 2 52 10 5 n2 10n n2 10n 50 解析答案 题型四裂项相消法求和 反思与感悟 解 等差数列 an 的首项a1 3 公差d 2 反思与感悟 裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项 裂项 之差 并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外 其余各项都能前后相消 进而求数列的前n项和 反思与感悟 解析答案 解析答案 已知Sn求an忽略n 1的情况 易错点 例5已知数列 an 的前n项和为Sn n2 1 则数列 an 的通项公式为an 误区警示 返回 错解an Sn Sn 1 n2 1 n 1 2 1 2n 1 答案2n 1错因分析运用an Sn Sn 1求通项公式时 要求n 2 只有验证n 1满足通项公式后 才能用一个式子来表示 否则必须分段表示 正解当n 2时 an Sn Sn 1 n2 1 n 1 2 1 2n 1 当n 1时 a1 S1 12 1 0 不符合上式 误区警示 误区警示 根据前n项和Sn an2 bn c判断 an 是不是等差数列时 只有当c 0时是等差数列 否则不是 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1 已知数列 an 的前n项和Sn n2 则an等于 A nB n2C 2n 1D 2n 1 解析当n 1时 a1 S1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 n2 n 1 2 2n 1 又因a1 1符合an 2n 1 所以 an 2n 1 n N D 解析答案 1 2 3 4 5 2 已知Sn是等差数列 an 的前n项和 且S6 S7 S5 有下列四个命题 d0 S12 0 数列 Sn 中的最大项为S11 其中正确命题的序号是 A B C D 解析答案 1 2 3 4 5 解析由 a5 a9 且d 0得a5 0 a9 0 且a5 a9 0 2a1 12d 0 a1 6d 0 即a7 0 故S6 S7且最小 1 2 3 4 5 3 已知等差数列 an 中 a5 a9 公差d 0 则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是 6或7 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 n 99 99 1 2 3 4 5 解析答案 5 已知数列 an 的前n项和Sn 3 2n 求an 解 1 当n 1时 a1 S1 3 2 5 2 当n 2时 Sn 1 3 2n 1 又Sn 3 2n an Sn Sn 1 2n 2n 1 2n 1 n 2 又当n 1时 a1 21 1 1 5 课堂小结 1 因为an Sn Sn 1在n 2时才有意义 所以由Sn求通项公式an f n 时 要分n 1和n 2两种情况分别计