高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3_1_4 空间向量的直角坐标运算课件 新人教b版选修2-1

第三章3 1空间向量及其运算 3 1 4空间向量的直角坐标运算 1 了解空间向量坐标的定义 2 掌握空间向量运算的坐标表示 3 能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一空间向量的坐标表示 思考 平面向量的坐标是如何表示的 答案 在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 对于平面内的一个向量a 由平面向量基本定理可知 有且只有一对实数x y 使a xi yj 这样 平面内的任一向量a都可由x y唯一确定 我们把有序实数对 x y 叫做向量a的坐标 记作a x y 其中x叫做a在x轴上的坐标 y叫做a在y轴上的坐标 设 xi yj 则向量的坐标 x y 就是点A的坐标 即若 x y 则A点坐标为 x y 反之亦成立 O是坐标原点 梳理 空间直角坐标系及空间向量的坐标 1 建立空间直角坐标系Oxyz 分别沿x轴 y轴 z轴的正方向引单位向量i j k 这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底 i j k 这个基底叫做 单位向量i j k都叫做 2 空间向量的坐标在空间直角坐标系中 已知任一向量a 根据空间向量分解定理 存在唯一实数组 a1 a2 a3 使a a1i a2j a3k a1i a2j a3k分别为向量a在i j k方向上的分向量 有序实数组 a1 a2 a3 叫做向量a在此直角坐标系中的 上式可简记作a 单位正交基底 坐标向量 a1 a2 a3 坐标 知识点二空间向量的坐标运算 思考 设m x1 y1 n x2 y2 那么m n m n m m n如何运算 答案 m n x1 x2 y1 y2 m n x1 x2 y1 y2 m x1 y1 m n x1x2 y1y2 空间向量a b 其坐标形式为a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 梳理 a1b1 a2b2 a3b3 a1 a2 a3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 知识点三空间向量的平行 垂直及模 夹角 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则 a1b1 a2b2 a3b3 0 题型探究 命题角度1空间向量的坐标表示例1如图 在棱长为1的正方体ABCD A B C D 中 E F G分别为棱DD D C BC的中点 以 为基底 求下列向量的坐标 解答 类型一空间向量的坐标表示与运算 解答 引申探究 解答 用坐标表示空间向量的步骤 反思与感悟 跟踪训练1已知空间四边形OABC中 a b c 点M在OA上 且OM 2MA N为BC的中点 则在基底 a b c 下的坐标为 答案 解析 OM 2MA 点M在OA上 命题角度2空间向量的坐标运算例2已知a 1 2 1 a b 1 2 1 则b等于A 2 4 2 B 2 4 2 C 2 0 2 D 2 1 3 依题意 得b a 1 2 1 a 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 答案 解析 反思与感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题 1 直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来 然后准确运用空间向量坐标运算公式计算 2 由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来 然后通过建立方程组 解方程求出其坐标 跟踪训练2若向量a 1 1 x b 1 2 1 c 1 1 1 且满足条件 c a 2b 2 则x 据题意 有c a 0 0 1 x 2b 2 4 2 故 c a 2b 2 1 x 2 解得x 2 2 答案 解析 例3已知空间三点A 2 0 2 B 1 1 2 C 3 0 4 设a b 1 若 c 3 c 求c 类型二空间向量平行 垂直的坐标表示 解答 解得 1 即c 2 1 2 或c 2 1 2 2 若ka b与ka 2b互相垂直 求k 解答 所以ka b k 1 k 2 ka 2b k 2 k 4 又因为 ka b ka 2b 所以 ka b ka 2b 0 即 k 1 k 2 k 2 k 4 2k2 k 10 0 引申探究若将本例 2 中改为 若ka b与ka 2b互相垂直 求k的值 解答 由题意知ka b k 1 k 2 ka 2b k 2 k 4 ka b ka 2b ka b ka 2b 0 反思与感悟 1 平行与垂直的判断 应用向量的方法判定两直线平行 只需判断两直线的方向向量是否共线 判断两直线是否垂直 关键是判断两直线的方向向量是否垂直 即判断两向量的数量积是否为0 2 平行与垂直的应用 适当引入参数 比如向量a b平行 可设a b 建立关于参数的方程 选择坐标形式 以达到简化运算的目的 跟踪训练3在正方体AC1中 已知E F G H分别是CC1 BC CD和A1C1的中点 证明 1 AB1 GE AB1 EH 证明 如图 以A为原点建立空间直角坐标系 设正方体棱长为1 则A 0 0 0 B 1 0 0 C 1 1 0 D 0 1 0 A1 0 0 1 B1 1 0 1 C1 1 1 1 D1 0 1 1 2 A1G 平面EFD 证明 A1G DF A1G DE 又DF DE D A1G 平面EFD 例4棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 E F G分别是DD1 BD BB1的中点 1 求证 EF CF 证明 类型三空间向量的夹角与长度的计算 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 解答 3 求CE的长 解答 反思与感悟 通过分析几何体的结构特征 建立适当的坐标系 使尽可能多的点落在坐标轴上 以便写点的坐标时便捷 建立坐标系后 写出相关点的坐标 然后再写出相应向量的坐标表示 把向量坐标化 然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题 跟踪训练4如图 在四棱锥P ABCD中 底面是边长为2的菱形 DAB 60 对角线AC与BD相交于点O PO 平面ABCD PB与平面ABCD所成角为60 解答 1 求四棱锥P ABCD的体积 四边形ABCD是边长为2的菱形 且 DAB 60 在Rt POB中 PBO 60 2 若E是PB的中点 求异面直线DE与PA所成角的余弦值 解答 如图 以O为原点 OB OC OP分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 异面直线所成的角为锐角或直角 异面直线DE与PA所成角的余弦值为 当堂训练 1 已知向量a 3 2 1 b 2 4 0 则4a 2b等于A 16 0 4 B 8 16 4 C 8 16 4 D 8 0 4 1 2 3 4 5 答案 解析 4a 2b 4 3 2 1 2 2 4 0 12 8 4 4 8 0 8 0 4 1 2 3 4 2 若a 2 3 1 b 2 0 3 c 0 2 2 则a b c 的值为A 4B 15C 3D 7 5 答案 解析 b c 2 2 5 a b c 4 6 5 3 3 已知a 2 3 1 则下列向量中与a平行的是A 1 1 1 B 4 6 2 C 2 3 5 D 2 3 5 解析 答案 若b 4 6 2 则b 2 2 3 1 2a 所以a b 1 2 3 4 5 4 已知向量a 1 1 0 b 1 0 2 且ka b与2a b互相垂直 则k的值是 依题意得 ka b 2a b 0 所以2k a 2 ka b 2a b b 2 0 而 a 2 2 b 2 5 a b 1 所以4k k 2 5 0 解得k 答案 解析 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 已知A 2 5 1 B 2 2 4 C 1 4 1 则向量与的夹角为 答案 解析 规律与方法 1 在空间直角坐标系中 已知点A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 则 x2 x1