高中数学 第一章 解三角形 1_1 正弦定理（二）课件 苏教版必修5

第1章解三角形 1 1正弦定理 二 1 能根据条件 判断三角形解的个数 2 能从实际问题中抽象出三角形问题并予以解决 3 能利用正弦定理 三角变换解决较为复杂的三角形问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一正弦定理的常见变形 a b c 2R 2RsinA 2RsinB 2RsinC 知识点二判断三角形解的个数 思考1 答案 在 ABC中 a 9 b 10 A 60 判断三角形解的个数 梳理已知三角形的两边及其中一边的对角 三角形解的个数并不一定唯一 如果两个三角形有两边及其夹角分别相等 则这两个三角形全等 即三角形的两边及其夹角确定时 三角形的六个元素即可完全确定 故不必考虑解的个数的问题 思考2 答案 已知三角形的两边及其夹角 为什么不必考虑解的个数 梳理解三角形4个基本类型 1 已知三边 2 已知两边及其夹角 3 已知两边及其一边对角 4 已知一边两角 其中只有类型 3 解的个数不确定 知识点三正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用 可借助正弦定理把边化成角 2RsinAcosB 2RsinBcosA 移项后就是一个三角恒等变换公式sinAcosB cosAsinB 0 思考 答案 在 ABC中 已知acosB bcosA 你能把其中的边a b化为用角表示吗 打算怎么用上述条件 梳理一个公式就是一座桥梁 可以连接等号两端 正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系 所以正弦定理主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来 简称边角互化 题型探究 例1在 ABC中 已知a 20cm b 28cm A 40 解三角形 角度精确到1 边长精确到1cm 解答 类型一判断三角形解的个数 根据正弦定理 得因为0 a B A 1 当B 64 时 C 180 A B 180 40 64 76 2 当B 116 时 C 180 A B 180 40 116 24 综上 B 64 C 76 c 30cm或B 116 C 24 c 13cm 引申探究若例1中b 28cm A 40 不变 当边a在什么范围内取值时 ABC有两解 范围中保留sin40 解答 如图 A 40 CD AD AC 28cm 以C为圆心 a为半径画圆弧 当CD a AC 即bsinA a b 28sin40 a 28时 ABC有两解 AB1C AB2C均满足题设 已知两边和其中一边的对角解三角形时 首先求出另一边的对角的正弦值 根据该正弦值求角时 要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值 或者根据该正弦值 不等于1时 在0 180 范围内求角 一个锐角 一个钝角 只要不与三角形内角和定理矛盾 即是所求 反思与感悟 解答 因为b a B A B 30 150 所以B 60 或120 类型二正弦定理在实际生活中的应用 例2如图 一渔船在海上由西向东航行 在A处望见灯塔C在船的东北方向 若船速为每小时30nmile 半小时后在B处望见灯塔在船的北偏东30 当船行至D处望见灯塔在船的西北方向时 求A D两点之间的距离 精确到0 1nmile 解答 在 ABC中 AB 30 0 5 15 nmile CAB 45 ABC 120 所以 ACB 15 在 ACD中 CAD 45 CDA 45 所以 ACD 90 由正弦定理 得 答A D两点之间的距离约为71 0nmile 反思与感悟 在运用正弦定理解决实际问题时 通常都根据题意 从实际问题中抽象出一个或几个三角形 然后通过解这些三角形 得出实际问题的解 和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解 如图所示 在 ABC中 BAC 30 ACB 105 ABC 45 AC 60km 根据正弦定理 得 跟踪训练2一船以每小时15km的速度向东航行 船在A处看到一个灯塔B在北偏东60 行驶4h后 船到达C处 看到这个灯塔在北偏东15 这时船与灯塔间的距离为km 答案 解析 例3已知 ABC的三个内角A B C的对边分别为a b c 若a c 2b 2cos2B 8cosB 5 0 求角B的大小并判断 ABC的形状 解答 类型三正弦定理与三角变换的综合 2cos2B 8cosB 5 0 2 2cos2B 1 8cosB 5 0 4cos2B 8cosB 3 0 即 2cosB 1 2cosB 3 0 ABC是等边三角形 反思与感悟 借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化 转化为角的关系后 常利用三角变换公式进行变形 化简 确定角的大小或关系 继而判断三角形的形状 证明三角恒等式 跟踪训练3已知方程x2 bcosA x acosB 0的两根之积等于两根之和 其中a b为 ABC的两边 A B为两内角 试判断这个三角形的形状 解答 设方程的两根为x1 x2 bcosA acosB 由正弦定理 得sinBcosA sinAcosB sinAcosB cosAsinB 0 sin A B 0 A B为 ABC的内角 0 A 0 B A B A B 0 即A B 故 ABC为等腰三角形 当堂训练 75 答案 解析 1 2 3 4 如图所示 2 一船自西向东匀速航行 上午10时到达一座灯塔P的南偏西75 距塔64海里的M处 下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处 则这只船的航行速度为海里 时 答案 解析 1 2 3 4 0 答案 解析 1 2 3 4 解答 1 2 3 4 规律与方法 1 已知两边和其中一边的对角 求第三边和其他两个角 这时三角形解的情况可能无解 也可能一解或两解 首先求出另一边的对角的正弦值 当正弦值大于1或小于0时 这时三角形解的情况为无解 当正弦值大于0小于1时 再根据已知两边的