复变函数教案3.3.doc

第三章教学课题：第三节 柯西积分公式及其推论教学目的：1、充分掌握柯西积分公式以及其解析函数的平均值定理；2、了解柯西高阶导数分公式；3、切实掌握解析函数的无穷可微性；4、理解柯西不等式、刘威尔定理及解析函数的一些等价刻画。教学重点：柯西积分公式；教学难点：柯西不等式、刘威尔定理及解析函数的一些等价刻画教学方法：启发式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：柯西积分公式是解析函数的积分表达式，可以帮助我们详细地去研究解析函数的局部性质。柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式。教学过程：1、柯西积分公式：定理3.11设f(z)在以圆为边界的闭圆盘上连续，C的内部D上解析，则有其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的，这就是柯西积分公式。它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具。证明：设，显然函数在满足的点处解析。以到z为心，作一个包含在D内的圆盘，设其半径为，边界为圆。在上，挖去以为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域。在上，的函数以及解析，所以有其中，沿曲线C的积分是按关于D的正向取的，沿的积分是按反时针方向取的。因此，结论成立。说明：f(z)沿C的积分为零。考虑积分则有：（1）被积函数在C上连续，积分I必然存在；（2）在上述闭圆盘上不解析，I的值不一定为0，例如；现在考虑f(z)为一般解析函数的情况。作以为心，以为半径的圆，由柯西定理，得因此，I的值只f(z)与在点附近的值有关。令，则有由于I的值只f(z)与在点附近的值有关，与无关，由f(z)在点的连续性，应该有，即事实上，当趋近于0时，有由于由f(z)在点的连续性，所以，使得当时，因此即当趋近于0时，上式右边的有第二个积分趋近于0；而，因此，结论成立。注解1、对于某些有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。注解2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的。注解3、柯西公式有非常明确的物理背景和物理意义。2、解析函数的无穷可微性定理3.12 设D是以有限条简单闭曲线C为边界的有界区域。设f(z)在D及C所组成的闭区域上解析，那么f(z)在D内有任意阶导数,证明：先证明结论关于n=1时成立。设是D内另一点。只需证明，当h趋近于0时，下式也趋近于0现在估计上式右边的积分。设以z为心，以2d为半径的圆盘完全在D内，并且在这个圆盘内取z+h，使得0|h|d，那么当时，设|f(z)|在C上的一个上界是M，并且设C的长度是L，于是我们有因此当h趋近于0时，要证的积分趋于0。现在用数学归纳法完成定理的证明。设n=k时，结论成立。取z及z+h同上，那么有 由此证明，当h趋近于0时，上式的右边趋于0，于是定理的结论当n=k+1时成立。定理3.13 设函数f(z)在区域D内解析，那么f(z)在D内有任意阶导数。注解1、以上讨论表明，函数在一个区域内的解析性是很强的条件，和仅仅在一个点可导是有非常大的差异；注解2、任意阶导数公式是柯西公式的直接推论；3、柯西不等式与刘维尔定理柯西不等式 设函数f(z)在以为边界的闭圆盘上解析，那么其中。证明：令是圆，那么，由导数公式，有其中，n=0,1,2,;0!=1。注解1、上面的不等式称为柯西不等式。注解2、如果在C上解析，那么我们称它为一个整函数，例如等。关于整函数，我们有下面的刘维尔定理：刘维尔定理 有界整函数一定恒等常数。证明：f(z)是有界整函数，即存在，使得。，f(z)在上解析。由柯西公式，有，令，可见，从而f(z)在C上恒等于常数。4、莫勒拉定理：应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理，称为莫勒拉定理。定理3.14 如果函数f(z)在区域D内连续，并且对于D内的任一条简单闭曲线C，我们有那么f(z)在区域D内解析。证明：作以为心的圆盘。在凸区域K内，函数f(z)连续，并且对于K内任何一个三角形的周界C，则可以证明f(z)在K内有原函数F(z)，即。于是F(z)在K内解析。由系4.1，f(z)在K内，在解析，从