高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.3利用空间向量求空间角、空间距离问题讲义.docx

3.2.3利用空间向量求空间角、空间距离问题1空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为，它们的方向向量为a，b，则cos|cosa，b|直线与平面所成的角设直线l与平面所成的角为，l的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin|cosa，n|二面角设二面角l的平面角为，平面，的法向量为n1，n2，则|cos|cosn1，n2|0，2空间距离的向量求法分类向量求法两点距设A，B为空间中任意两点，则d|点面距设平面的法向量为n，B，A，则B点到平面的距离d1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等()(2)直线l平面，则直线l到平面的距离就是直线l上的点到平面的距离()(3)若平面，则两平面，的距离可转化为平面内某条直线到平面的距离，也可转化为平面内某点到平面的距离()答案(1)(2)(3)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为_(2)(教材改编P111A组T11)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中点，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为_(3)已知平面的一个法向量为n(2，2,1)，点A(1,3,0)在平面内，则点P(2,1,4)到平面的距离为_答案(1)45或135(2)(3)解析(2)建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体棱长为2 ，则O(1,1,0)，P(2，x,2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)，则(1，x1,2)，(2,0,1)所以0，所以直线BM与OP所成角为.探究1利用空间向量求线线角例1如图1，已知两个正四棱锥PABCD与QABCD的高分别为1和2，AB4.求异面直线AQ与PB所成角的余弦值解由题设知，ABCD是正方形，连接AC，BD，交于点O，则ACBD.连接PQ，则PQ过点O.由正四棱锥的性质知PQ平面ABCD，故以O为坐标原点，以直线CA，DB，QP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图2)，则P(0,0,1)，A(2，0,0)，Q(0,0，2)，B(0,2，0)，(2，0，2)，(0,2，1)于是cos，异面直线AQ与PB所成角的余弦值为.拓展提升两异面直线所成角的求法(1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解(2)取定基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧在由公式cosa，b求向量a、b的夹角时，关键是求出ab及|a|与|b|，一般是把a、b用一组基底表示出来，再求有关的量(3)用坐标法求异面直线的夹角的方法建立恰当的空间直角坐标系；找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角；结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角【跟踪训练1】如图，在三棱锥VABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且ACBC2，VDC.当时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值解由于ACBC2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)当时，在RtVCD中，CD，故有V(0,0，)所以(2,0,0)，(1,1，)所以cos，.所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.探究2利用空间向量求线面角例2正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角解建立如下图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0, a)，C1，取A1B1的中点M，则M，连接AM，MC1，有，(0，a,0)，(0,0，a)0，0，即MC1AB，MC1AA1，又ABAA1A，MC1平面ABB1A1 .C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角由于，02a2，|a，|a，cos，.，30，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.解法探究此题有没有其他解法？解与原解建立相同的空间直角坐标系，则(0，a,0)，(0,0，a)，.设侧面ABB1A1的法向量n(，x，y)，n0且n0.ax0且ay0.xy0.故n(，0,0)，cos，n.|cos，n|.AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.条件探究此题中增加条件“E，F，G为AB，AA1，A1C1的中点”，求B1F与平面GEF所成角的正弦值解建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，a，a)，E，F，G，于是，.设平面GEF的法向量n(x，y，z)，则即所以令z1，得x，y，所以平面GEF的一个法向量为n(，1)，所以|cos，n|.所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为.拓展提升求直线与平面的夹角的方法与步骤思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量；(3)求平面的法向量n；(4)计算：设线面角为，则sin.【跟踪训练2】如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值解(1)证明：由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN.由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，(0,2，4)，.设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0,2,1)于是|cosn，|，则直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.探究3利用空间向量求二面角例3如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60.(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值解(1)证明：由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)过D作DGEF，垂足为G，由(1)知DG平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60，则DF2，DG，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，)由已知，ABEF，AB平面EFDC，EF平面EFDC，所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60.从而可得C(2,0，)连接AC，则(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3,0，)设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4)则cosn，m.故二面角EBCA的余弦值为.拓展提升二面角的向量求法(1)若AB，CD分别是二面角l的两个半平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角(如图)(2)利用坐标法求二面角的步骤设n1，n2分别是平面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图.用坐标法的解题步骤如下：建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2.计算：求n1与n2所成锐角，cos.定值：若二面角为锐角，则为；若二面角为钝角，则为.【跟踪训练3】若PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC，求二面角APBC的余弦值解解法一：如下图所示，取PB的中点D，连接CD.PCBC，CDPB.作AEPB于E，那么二面角APBC的大小就等于异面直线DC与EA所成的角的大小PD1，PE，DEPDPE，又AE，CD1，AC1，且，|2|2|2|22|cos()，即1121cos，解得cos.故二面角APBC的余弦值为.解法二：由解法一可知，向量与的夹角的大小就是二面角APBC的大小，如图，建立空间直角坐标系Cxyz，则A(1,0,0)，B(0，0)，C(0,0,0)，P(1,0,1)，D为PB的中点，D.，即E分的比为，E，|，|1，.cos，.故二面角APBC的余弦值为.解法三：如右图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，(0,0,1)，(，1,0)，(，0,0)，(0，1,1)，设平面PAB的法向量为m(x，y，z)，则令x1，则m(1，0)，设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则令y1，则n(0，1，1)，cosm，n.二面角APBC的余弦值为.探究4利用空间向量求距离例4已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD1，E，F分别为AB，BC的中点(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离解解法一：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，P(0，0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F.设DH平面PEF，垂足为H，则xyz(xyz1)，.xyzxyz0.同理，xyz0，又xyz1，可解得xy，z.(2,2,3)|.因此，点D到平面PEF的距离为.(2)设AH平面PEF，垂足为H，则，设(2,2,3)(2，2，3)(0)，则(2，2，3).4242920，即.(2,2,3)，|，又AC平面PEF，AC到平面PEF的距离为.解法二：(1)由解法一建立的空间直角坐标系知，设平面PEF的法向量为n(x，y，z)，则解得令x2，则n(2,2,3)，点D到平面PEF的距离d.(2)ACEF，直线AC到平面PEF的距离也即是点A到平面PEF的距离又，点A到平面PEF的距离为d.拓展提升1.向量法求点到直线的距离的两种思路(1)将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题，即利用待定系数法求出垂足的坐标，然后求出向量的模，这是求各种距离的通法(2)直接套用点线距公式求解，其步骤为直线的方向向量a所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量a上的投影代入公式注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化2点面距、线面距、面面距的求解方法线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行点面距的求解步骤：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离【跟踪训练4】正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离解如图，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，(1，2,1)，(2，1，1)，(0，1,0)设n(x，y，z)是平面EFG的法向量，则xyz，可取n(1,1,1)，d，即点A到平面EFG的距离为.探究5与空间有关的探索性问题例5如图，矩形ABCD和梯形BEFC所成的平面互相垂直，BECF，BCFCEF90，AD，EF2.(1)求证：AE平面DCF；(2)当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为60？解如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.设ABa，BEb，CFc，则C(0,0,0)，A(，0，a)，B(，0,0)，E(，b,0)，F(0，c,0)(1)证明：(0，b，a)，(，0,0)，(0，b,0)，0，0，从而CBAE，CBBE.又AEBEE，CB平面ABE.CB平面DCF，平面ABE平面DCF.又AE平面ABE，故AE平面DCF.(2)(，cb,0)，(，b,0)，且0，|2，解得b3，c4.E(，3,0)，F(0,4,0)设n(1，y，z)与平面AEF垂直，则n0，n0，即解得n.又BA平面BEFC，(0,0，a)，|cosn，|，解得a或a(舍去)当AB时，二面角AEFC的大小为60.拓展提升利用向量解决存在性问题的方法策略求解存在性问题的基本策略是：首先，假定题中的数学对象存在；其次，构建空间直角坐标系；再次，利用空间向量法把存在性问题转化为求参数是否有解问题；最后，解方程，下结论利用上述思维策略，可使此类存在性难题变为常规问题【跟踪训练5】在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA1AB，点E是棱AB上一点，且.(1)证明：D1EA1D；(2)是否存在，使得二面角D1ECD的平面角为？并说明理由解(1)证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，如图所示不妨设ADAA11，AB2，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,1)，B1(1,2,1)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1)因为，所以E，于是，(1,0，1)，所以(1,0，1)1010，故D1EA1D.(2)因为DD1平面ABCD，所以平面DEC的一个法向量为n(0,0,1)，设平面D1EC的法向量为n1(x，y，z)，又，(0，2,1)，则即整理得取y1，则n1.因为二面角D1ECD的平面角为，所以，即，解得1.故存在1，使得二面角D1ECD的平面角为.1.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线，把立体几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及相应的距离和夹角等问题.(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.2.利用法向量求直线AB与平面所成的角的步骤(1)求平面的法向量n.(2)利用公式sin|cos，n|，注意直线和平面所成角的取值范围为.3.利用法向量求二面角的余弦值的步骤(1)求两平面的法向量.(2)求两法向量的夹角的余弦值.(3)由图判断所求的二面角是锐角、直角，还是钝角，从而下结论.在用法向量求二面角的大小时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.4.点面距的求解步骤(1)求出该平面的一个法向量.(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量.(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.1若两异面直线l1与l2的方向向量分别为a(0,4，3)，b(1,2,0)，则直线l1与l2的夹角的余弦值为()A. B. C. D.答案B解析设l1，l2的夹角为，则cos|cosa，b|.2直角AB