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加试模拟训练题（40）1、 abc具有下面性质：存在一个内部的点p使pab10，pba20，pca30，pac40证明：abc是等腰三角形2、求适合以下条件的所有函数f：1，)(1，)：(1)f(x)2(x1)；(2)f(x1)f2(x)1/x3、 设项链a有珠14颗，b有珠19颗对奇数n1，用n，n1，n2，n32给这33颗珠编号，使每个整数恰用一次，且相邻之珠编号互素，试证最少有6种可行方法4、 数，且满足证明。加试模拟训练题（40）1、 abc具有下面性质：存在一个内部的点p使pab10，pba20，pca30，pac40证明：abc是等腰三角形（第25届(1996年)美国数学奥林匹克题5）解 作ac边上的高bd，又作aq使qad30，aq交bd于q，连pq设直线pq交ac于c因为bad104050，所以abd905040，pbq40pba20pba，paqpacqad10pab，从而p是abq的内心，pqapqb(1804020)60pcapqaqac30，而pca30，所以c与c重合从而qaqc，qd平分ac，babc 2、求适合以下条件的所有函数f：1，)(1，)：(1)f(x)2(x1)；(2)f(x1)f2(x)1/x【题说】1994年中国数学奥林匹克(第九届数学冬令营)题3【解】易见，函数f(x)x1满足条件下面证明这是唯一符合要求的函数令 g(x)f(x)(x1)，由(2)，有|g(x1)|f(x1)(x2)|因f(x)1，故又由1f(x)2(x1)，得xg(x)x1 (2)代入(1)，得代入(1)，得因此，对任何自然数n，都有令n，就得 g(x)0从而f(x)x1是满足本题条件的唯一函数3、 设项链a有珠14颗，b有珠19颗对奇数n1，用n，n1，n2，n32给这33颗珠编号，使每个整数恰用一次，且相邻之珠编号互素，试证最少有6种可行方法【题说】 第三届(1993年)澳门数学奥林匹克第二轮题5【证】 a的珠顺次编为nk，nk1，nk13b的珠顺次编为nk14，nk15，n32，n，n1，nk1，1k18当且仅当(nk，nk13)(n32，n)(nk1，nk14)1即 (nk，13)(n，32)(nk1，15)1 (*)时，编号合乎要求因为n为奇数，(n，32)1，显然成立18个连续值中至少2个k能使13|nk，恰有6个能使3|nk1，至多4个能使5|十k1，故使(*)不成立的至多26412个值，即至多有6个值能使(*)成立注：因为连续15个数中有8个数与15互素，连续3个数中必有一个与15互素(3的倍数与5的倍数至多各1个)故k的18个连续值中至少有9个使nk1与15互素，故最小有7种可行的编号法，7是最佳值令n99，则恰好只有m3，6，8，9，11，14，15这7个数能使(*)成立3、 数，
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