全国高中数学竞赛二试模拟训练题(74)(1).doc

加试模拟训练题（74）1 四边形abcd内接于圆，其边ab与dc的延长线交于点p，ad与bc的延长线交于点q。由q作该圆的两条切线qe和qf，切点分别为e，f。求证：p，e，f三点共线。2.证明：数列2n-3，n=2，3，4，中至少有一个无穷子列，其中的项两两互素3 如图，一束光以入射角19.94射到线段bc的端点c，然后以同样大小的角度反射出去，射到ab又继续反射，光线遵照度,abbc，且计算中包括第一次由c点的反射试确定光线在两线段之间的反射次数4.求证：当为奇数时，。加试模拟训练题（74）1 四边形abcd内接于圆，其边ab与dc的延长线交于点p，ad与bc的延长线交于点q。由q作该圆的两条切线qe和qf，切点分别为e，f。求证：p，e，f三点共线。证 连接pq，并在pq上取一点m，使得b，c，m，p四点共圆，连cm，pf。设pf与圆的另一交点为e，并作qg丄pf，垂足为g。易如qe2=qmqp=qcqb pmc=abc=pdq。从而c，d，q，m四点共圆，于是pmpq=pcpd 由，得pmpq+qmpq=pcpd+qcqb，即pq2=qcqb+pcpd。易知pdpc=pepf，又qf2=qcqb，有pepf+qf2=pdpc+qcab=pq2，即pepf=pq2-qf2。又pq2qf2=pg2gf2=(pg+gf)(pggf)=pf(pggf)，从而pe=pggf=pgge，即gf=ge，故e与e重合。所以p，e，f三点共线。2.证明：数列2n-3，n=2，3，4，中至少有一个无穷子列，其中的项两两互素【题说】第十三届（1971年）国际数学奥林匹克题3本题由波兰提供【证】我们用归纳法来构造一个这样的子列取n1=2若n1，nk已经取定，且2ni-3（1ik）两两互素，将它们分解成素因子的积，设在这些积中出现的素因子为pj（1jn）令 nk+1=（p1-1）（p2-1）（pm-1）+24-3=1（mod pj）（1jn）故2nk+1-3不能被任一pj整除，因而它与2ni（1jk）都互素，这样，子列2nk-3就是满足题目要求的一个子列3 如图，一束光以入射角19.94射到线段bc的端点c，然后以同样大小的角度反射出去，射到ab又继续反射，光线遵照，abbc，且计算中包括第一次由c点的反射试确定光线在两线段之间的反射次数【题说】第十二届(1994年)美国数学邀请赛题14【解】如图a，光的反射点记为c，c1，c2，作bd1使bd1bc，且cbd1，则c1关于bc的对称点为e1；再作bd2使d1bd2，且bd2bd1，则c2关于bd1的对称点为e2因为ce1dc2e1bbe1e2，所以ce1e2是一条直线重复上面的过程，作bd3，bd4，其中dibdi1，bdibc则得到一条射线ce1、ba和bc之间的每一个光束反射点都对应于这射线和某bdi的交点ei只需计算这些交点个数即可如图b，以b为圆心，以ab为半径作圆，并作bce，e为圆上的点，则ce与bdi交点ei的个数加1，即为所求为计算交点ei的个数，首先求cbe因为bebc，则