线性代数 第一章.doc

第一章 11课 题： n阶行列式教学目的：理解排列、逆序、n阶行列式等有关概念，熟悉掌握二阶行列式、三阶行列式、四阶行列式的求值、掌握n阶行列式及含字母行列式的计算及克莱姆法则教学重点：四阶行列式的计算教学难点：含字母行列式的计算教学时数：6教学设计：1、2 阶行列式一、全排列1 简要复习中学的全排列定义与计算公式，导入这里的全排列。现在讲的排列是中学所讲排列的特殊情况： 参与全排列的元素就是这个自然数。 排列是指全排列而不含中学的选排列。 2 定义： 将这个自然数排成一列，称为这个自然数的一个级排列，也可简称排列。记作 显然，所有级排列的总数为，是偶数。 如果这个自然数按自然顺序排列，即()则称这个排列为自然排列。3 逆序：在一个排列中，如果某两个数的排列次序与自然排列不同时，则称这两个数构成一个逆序。 逆序数定义：一个排列的所有逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作： 奇排列与偶排列定义：逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 一个级排列如果不是奇排列就一定是偶排列，不偶排列就一定是奇排列，这二者必居其一且只居其一。因此，奇、偶排列数相同。 奇、偶排列的判定方法例如：判定排列7341256是奇排列还是偶排列？解：将自然排列1234567与排列7341256分别排成平行的两行，连接上下两行相同的元素(注意不要三线共点)，得到排列交叉图，图中交点的个数就是逆序数， 1 2 3 4 5 6 7 7 3 4 1 2 5 6 4 对换 定义：在排列中，将某两个元素交换位置其余元素的位置不变得到新的排列的变换称为对的对换。 将相邻两个元素的对换称为相邻对换。 性质：任意一个排列经过一次对换，排列的奇、偶性要发生改变， 即奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列。二、阶行列式的概念 1 二阶行列式 定义：由4个数排成正方形，在两边各加一条竖线所得的数学符号 称为一个二阶行列式，它表示数，即： 2 三阶行列式 定义：由9个数排成正方形，在两边各加一条竖线所得的数学符号称为一个三阶行列式，它表示数：即： 例如： 注意：对角线法则仅适用于二、三阶行列式。3阶行列式的定义阶方阵的行列式的定义(展开式中行标、列标任意排列)行列元素行标列标行列式的展开式展开式的一般项 主、次对角线注意：1）行列式与矩阵的区别。(行列式代表一个确切的数，矩阵是一个数表)2）阶行列式的的展开式共有个项，且正、负符号各半。 3) 展开式中的各项，由于数的乘法具有交换律，所以可以就各个项中个数的位置进行对换，每对换一次行标与列标的奇偶性都改变一次，其和的奇偶性不变，记以可以进行一系列的对换，使行标成为自然排列，当然也可以进行一系列的对换，使列标成为自然排列，见 4) 方阵的行列式 5) 一阶行列式 4 特殊行列式 上三角行列式 下三角行列式 对角形行列式作业： P37 1.(1)(2)，2.(1)(3)，4,7，(2)(4)，8.(1)(3)，9.3、4 行列式的性质与计算一、 性质1 行列式与其转置行列式相等。2 互换行列式的某两行(列)得到新行列式则新行列式应反号。 特别地：若行列式中有两行(列)对应元素相等，则行列式等于零。3 行列式中某一行(列)的所有元素的公因数可以提到行列式的外面。 即以数K乘以行列式等于用数K乘以行列式的某一行或某一列。 特别地：若行列式中有一行(列)的元素全为零，则行列式等于零。4 行列式中如果有某两行(列)对应元素成比例，则行列式的值为零。 特别地：比例系数为15 见性质26 把行列式的某一行(列)的各元素的K倍加到另一行(列)的对应元素上，行列式的值不变。 说明：性质2、3、6是关于行列式对于行和列的三种变换：二、行列式的降阶展开(拉普拉斯定理) 1 余子式与代数余子式 定义：在阶方阵的行列式中，将元素所在的行和列同时划去，其余元素构成一个阶方阵的行列式，称为元素的余子式，记为；记，称为元素的代数余子式。 2 拉普拉斯定理 行列式等于它的任意一行(列)的各个元素与其代数余子式的乘积之和；行列式的某一行(列)的各个元素与另一行(列)对应的其代数余子式的乘积之和等于零。三、 行列式的计算例1 计算行列式解： 例2 计算行列式解：例3、 计算解 例4、计算解： 例5 ?计算阶行列式解1： ?解2： 如果，则 如果，则 综合、有：例6 计算 解： 作业：P39 12.(4)(6)，13.(1)，17,18，20.(1)5 克莱姆法则一、克莱姆法则 未知数个数与方程个数