中考数学复习第2章方程(组)与不等式(组)第8讲一元二次方程课件

第二章方程 组 与不等式 组 第8讲一元二次方程 考点梳理过关 考点1一元二次方程的有关概念6年1考 考点2一元二次方程的解法 考点3一元二次方程根的判别式6年5考 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 中 b2 4ac 叫做一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的判别式 通常用 来表示 即 b2 4ac 当 0时 方程有两个不相等的实数根 当 0时 方程有两个相等的实数根 当 0时 方程无实数根 反之亦成立 考点4一元二次方程根与系数的关系6年3考 如果一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两个实数根是x1 x2 那么x1 x2 x1x2 拓展 利用根与系数的关系求某些代数式的值时 先把代数式变形成两根的和与积的形式 常见的变形有 考点5一元二次方程的应用6年2考列一元二次方程解应用题的一般步骤 1 审 读懂题目 弄清题意 明确已知量和未知量以及它们之间的等量关系 2 设 设元 也就是设未知数 3 找 找出等量关系式 4 列 列方程 5 解 解方程 6 验 检验未知数的值的准确性及合理性 7 答 写出答案 总结 1 一元二次方程的应用中 平均增长率问题中的数量关系 若增长的基数为a 每次增长的平均增长率为x 则第一次增长后的数量为a 1 x 第二次增长是以a 1 x 为基数的 两次增长后的数量为a 1 x 2 若降低的基数是a 每次平均降低率为x 则第一次降低后的数量为a 1 x 第二次降低后的数量为a 1 x 2 2 利润问题中三个常用的等量关系 单件利润 单件售价 单件成本 总利润 单件售价 单件成本 数量 总售价 总成本 利润率 典型例题运用 类型1一元二次方程的解法 例1 2017 德州中考 方程3x x 1 2 x 1 的根是 技法点拨 一元二次方程的解法的选用 1 直接开平方法 当方程缺少一次项时 即方程ax2 c 0 a 0 形如 x m 2 n n 0 的方程 2 因式分解法 缺少常数项 即方程ax2 bx 0 a 0 一元二次方程的一边为0 而另一边易于分解成两个一次因式的乘积 3 配方法 二次项系数化为1后 一次项系数是偶数的一元二次方程 各项的系数比较小且方便配方的情况 4 公式法 一元二次方程的所有情况 变式运用 1 2017 冠县一模 现定义运算 对于任意实数a b 都有a b a2 3a b 如 3 5 32 3 3 5 若x 2 6 则实数x的值是 1或4 1或4根据题中的新定义将x 2 6变形 得x2 3x 2 6 即x2 3x 4 0 因式分解 得 x 4 x 1 0 解得x1 4 x2 1 则实数x的值是 1或4 类型2一元二次方程根的判别式 例2 2017 淄博中考 若关于x的一元二次方程kx2 2x 1 0有两个不相等的实数根 则实数k的取值范围是 A k 1B k 1且k 0C k 1D k 1或k 0 技法点拨 判断一元二次方程根的情况 主要看b2 4ac与0的关系 含有字母系数的一元二次方程有两个实数根时 二次项系数不等于0 且根的判别式b2 4ac 0 二者缺一不可 B 变式运用 2 关于x的一元二次方程x2 m 2 x m 1 0有两个相等的实数根 则m的值是 A 0B 8C 4 D 0或8 D 类型3一元二次方程根与系数的关系 例3 2017 成都中考 已知x1 x2是关于x的一元二次方程x2 5x a 0的两个实数根 且 则a 技法点拨 解题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含x1 x2 x1x2的形式 然后把x1 x2 x1x2的值整体代入 研究一元二次方程根与系数的关系的前提为 a 0 b2 4ac 0 因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时 必须要考虑这一前提条件 变式运用 3 2017 盐城中考 若方程x2 4x 1 0的两根是x1 x2 则x1 1 x2 x2的值为 5 5根据题意 得x1 x2 4 x1x2 1 所以x1 1 x2 x2 x1 x1x2 x2 x1 x2 x1x2 4 1 5 变式运用 4 2017 烟台中考 若x1 x2是方程x2 2mx m2 m 1 0的两个根 且x1 x2 1 x1x2 则m的值为 A 1或2B 1或 2C 2D 1 D D x1 x2是方程x2 2mx m2 m 1 0的两个根 x1 x2 2m x1 x2 m2 m 1 x1 x2 1 x1x2 2m 1 m2 m 1 即m2 m 2 m 2 m 1 0 解得m1 2 m2 1 方程x2 2mx m2 m 1 0有实数根 2m 2 4 m2 m 1 4m 4 0 解得m 1 m 1 类型4一元二次方程的应用 例4 2017 盐城中考 某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒 2014年 该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完 2016年 这种礼盒的进价比2014年下降了11元 盒 该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完 礼盒的售价均为60元 盒 1 2014年这种礼盒的进价是多少元 盒 2 若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同 问年增长率是多少 思路分析 1 设2014年这种礼盒的进价为x元 盒 则2016年这种礼盒的进价为 x 11 元 盒 根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同 即可得出关于x的分式方程 解之经检验后即可得出答案 2 设年增长率为m 根据数量 总价 单价求出2014年的购进数量 再根据2014年的销售利润 1 增长率 2 2016年的销售利润 即可得出关于m的一元二次方程 解之即可得出答案 1 设2014年这种礼盒的进价为x元 盒 则2016年这种礼盒的进价为 x 11 元 盒 根据题意 得解得x 35 经检验 x 35是原方程的解 且符合题意 答 2014年这种礼盒的进价是35元 盒 2 设年增长率为m 2014年的销售数量为3500 35 100 盒 根据题意 得 60 35 100 1 a 2 60 35 11 100 解得a 0 2 20 或a 2 2 不合题意 舍去 答 年增长率为20 变式运用 5 2017 南宁中考 为响应国家全民阅读的号召 某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书 并统计每年的借阅人数和图书借阅总量 单位 本 该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本 2016年图书借阅总量是10800本 1 求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率 2 已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人 预计2017年达到1440人 如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率 那么2017年的人均借阅量比2016年增长a 求a的值至少是多少 解 1 设从2014年至2016年的平均增长率为x 由题意 得7500 1 x 2 10800 解得x 0 2 20 或x 2 2 舍去 答 从2014年至2016年的平均增长率为20 2 10800 1350 8 本 设从2016年到2017年的增长率为y 根据题意 得8 1 a 1440 10800 1 y 化简 得a 93 75y 6 25 依题意 得y 0 2 k 93 75 0 a随y的增大而增大 当y 0 2时 a取得最小值 此时 a 93 75 0 2 6 25 12 5 答 a的值至少是12 5 六年真题全练 命题点1一元二次方程的解法 一元二次方程的解法是潍坊市中考命题的必考点 一般情况下不单独命题 在做题的过程中需要解一元二次方程 则需灵活选择解一元二次方程的方法 试题难度一般较大 1 2017 潍坊 18 3分 链接第19讲六年真题全练第1题 2 2017 潍坊 25 3 4分 链接第12讲六年真题全练第3题 3 2015 潍坊 21 2 1分 链接第22讲六年真题全练第4题 4 2015 潍坊 24 3 3分 链接专题4二次函数与几何图形的综合例1 5 2014 潍坊 24 3 3分 链接专题4二次函数与几何图形的综合例2 6 2013 潍坊 23 3 2分 链接第23讲六年真题全练第5题 7 2012 潍坊 7 3分 已知两圆半径r1 r2分别是方程x2 7x 10 0的两根 两圆的圆心距为7 则两圆的位置关系是 A 相交B 内切C 外切D 外离 C C解一元二次方程 得r1 2 r2 5 r1 r2 2 5 7 两圆外切 8 2012 潍坊 24 3 4分 链接第22讲六年真题全练第7题 9 2016 潍坊 6 3分 关于x的一元二次方程x2 sin 0有两个相等的实数根 则锐角 等于 A 15 B 30 C 45 D 60 命题点2一元二次方程根的判别式 B B 10 2014 潍坊 9 3分 等腰三角形一条边的边长为3 它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2 12x k 0的两个根 则k的值是 A 27B 36C 27或36D 18 B分两种情况 1 当其他两条边中有一个为3时 将x 3代入原方程 得32 12 3 k 0 解得k 27 将k 27代入原方程 得x2 12x 27 0 解得x 3或9 3 3 9不能够组成三角形 当3为底时 则其他两条边相等 即 0 此时144 4k 0 k 36 将k 36代入原方程 得x2 12x 36 0 解得x 6 3 6 6能够组成三角形 C 11 2013 潍坊 10 3分 已知关于x的方程kx2 1 k x 1 0 下列说法正确的是 A 当k 0时 方程无解B 当k 1时 方程有一个实数解C 当k 1时 方程有两个相等的实数解D 当k 0时 方程总有两个不相等的实数解 C当k 0时 方程为一元一次方程x 1 0有唯一解 当k 0时 方程为一元二次方程 其根的情况由根的判别式确定 1 k 2 4 k 1 k 1 2 当k 1时 方程有两个相等的实数解 当k 0且k 1时 方程有两个不相等的实数解 综上所述 C说法正确 12 2017 潍坊 16 3分 已知关于x的一元二次方程kx2 2x 1 0有实数根 则k的取值范围是 k 1且k 0根据根的判别式 得4 4k 0 根据一元二次方程的定义 得k 0 解得k 1且k 0 k 1且k 0 猜押预测 1 方程 k 1 x2 有两个实数根 则k的取值范围是 A k 1B k 1C k 1D k 1 D 得分要领 1 再次强调 根的判别式是指 b2 4ac 2 使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式 以便正确找出a b c的值 3 如果说方程有实数根 即包括有两个不等实根或有两个相等实根两种情况 此时b2 4ac 0切勿丢掉等号 4 根的判别式b2 4ac的使用条件 是在一元二次方程中 而非别的方程中 因此 要注意隐含条件a 0 13 2016 潍坊 19 6分 关于x的方程3x2 mx 8 0有一个根是 求另一个根及m的值 命题点3一元二次方程根与系数的关系 猜押预测 2 2017 淄博中考 已知 是方程x2 3x 4 0的两个实数根 则 2 3 的值为 0 0根据题意 得 3 4 原式 3 3 3 0 14 2017 潍坊 23 1 5分 链接第13讲六年真题全练第2题 15 2012 潍坊 12 3分 如图是某月的日历表 在此日历表上可以用一个矩形圈出3 3个位置相邻的9个数 6 7 8 13 14 15 20 21 22 若圈出的9个数中 最大数与最小数的积为192 则这9个数的和为 命题点4一元二次方程的应用 D A 32B 126C 135D 144 D由日历表可知 圈出的9个数中 最大数与最小数的差总为16 又已知最大数与最小数的积为192 设最大数为x 则最小数为x 16 x x 16 192 解得x 24或x 8 舍去 最大数为24 最小数为8 圈出的9个数为8 9 10 15 16 17 22 23 24 和为144 猜押预测 3 2017 浦东新区二模 某文具店有一种练习簿出售 每本的成本价为2元 在销售的过程中价格有些调整 按原来的价格每本8 25元 卖出36本 经过两次涨价 按第二次涨价后