多边形及其内角和导学案.doc

课题3:多边形及其内角和第1课时（11.3.1多边形）【导学目标】1.知道多边形、多边形的内角、多边形的外角、多边形的对角线和正多边形的有关概念。2.能够解决与多边形的对角线有关的问题。【导学重难点】重点：多边形的相关概念。难点：多边形对角线。【导学流程】一、学前准备知识点一：多边形、多边形的内角、多边形的外角、多边形的对角线和正多边形的有关概念。二、探索思考1.自学课本，完成下列问题。（1）在平面内，由一些线段_相接组成的_叫做多边形。图1中分别是什么多边形？（2）多边形_组成的角叫做多边形的内角，图2中内角有_。（3）多边形的边与它的的邻边的_组成的角叫做多边形的外角。图2中外角有_。（4）连接多边形的_两个顶点的线段叫做多边形的对角线。（5）_都相等，_都相等的多边形叫做正多边形。2.对应练习（1）n边形有_条边，_个顶点，_个内角。（2）下列图形不是凸多边形的是（）。知识点二：解决与多边形的对角线有关的问题1.探究：画出下列多边形的对角线，回答问题：（1）从四边形的一个顶点出发可以画_条对角线，把四边形分成了_个三角形；四边形共有条_对角线。（2）从五边形的一个顶点出发可以画_条对角线，把五边形分成了_个三角形；五边形共有条对角线。（3）从六边形的一个顶点出发可以画_条对角线，把六边形分成了_个三角形；六边形共有条对角线。（4）猜想：从100边形的一个顶点出发可以画_条对角线，把100边形分成了_个三角形；100边形共有条对角线。从n边形的一个顶点出发可以画条_对角线，把n分成了_个三角形；n边形共有_条对角线。练习：（1）从n边形的一个顶点出发可作条_对角线，从n边形n个顶点出发可作条_对角线，除去重复作的对角线，则n边形的对角线的总数为_条。（2）过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有2条对角线，则（m-k）=_。（3）过十边形的一个顶点可作出几条对角线？把十边形分成了几个三角形？（4）十二边形共有_条对角线，过一个顶点可作_条对角线，可把十二边形分成_个三角形。三、当堂反馈1.下列图形中，是正多边形的是（）。A.直角三角形B.等腰三角形C.长方形D.正方形2.九边形的对角线有（）。A.25条B.31条C.27条D.30条3过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是_。4.一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的边数是_。5.如图，1,2,3是三角形ABC的不同三个外角，则1+2+3=_。6.三角形的三个外角中最多有_锐角，最多有_个钝角，最多有_个直角7.ABC的两个内角的一平分线交于点E，A=52 ，则BEC=_。8.已知ABC的B,C的外角平分线交于点D，A=40，那么D=_。9.如图，BDC是_外角，BDC=_+_，EFC是外角，EFC=_+_，BFC是外角，BFC=_+_，BFC_,BFC_。10.在ABC中A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于B的两倍，那么A=_,B=_,C=_。第2课时（11.3.2多边形的内角和）【导学目标】1.知道多边形的内角和与外角和定理；2.运用多边形内角和与外角和定理进行有关的计算。【导学重难点】重点：多边形的内角和与外角和定理。难点：内角和定理的推导。【导学流程】一、学前准备1.三角形的内角和是多少_。2.正方形、长方形的内角和是多少_。3.从n边形的一个顶点出发可以画_条对角线，把n边形分成了_个三角形。二、探索思考知识点一：多边形的内角和定理探究1：任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和。再画几个四边形，量一量、算一算。你能得出什么结论？能否利用三角形内角和等于180得出这个结论？结论：_。探究2：从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察右图，请填空：（1）从五边形的一个顶点出发，可以引_条对角线，它们将五边形分为_个三角形，五边形的内角和等于180_。（2）从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，它们将六边形分为个三角形，六边形的内角和等于180。探究3：一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空：从n边形的一个顶点出发，可以引_条对角线，它们将n边形分为_个三角形，n边形的内角和等于180_。结论：多边形的内角和与边数的关系是_。练习一1.十二边形的内角和是_。2.一个多边形的内角和等于900，求它的边数。知识点二：多边形的外角和探究4：如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少？问题：如果将六边形换为n边形（n是大于等于3的整数），结果还相同吗？因此可得结论：_。练习二1.七边形的外角和是_；十二边形的外角和是_；三角形的外角和是_。2.一个多边形的每一个外角都等于36，则这个多边形是边形。3.在每个内角都相等的多边形中，若一个外角是它相邻内角的1/2，则这个多边形是_边形。三、当堂反馈1.一个多边形的每一个外角都等于40，则它的边数是；一个多边形的每一个内角都等于140，则它的边数是。2.如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数之比为2：3：4，那么这三个内角的度数分别为_。3.若一个多边形的内角和为1080，则它的边数是_。4.当一个多边形的边数增加1时，它的内角和增加度。3.正十边形的一个外角为。4. _边形的内角和与外角和相等。5.已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080，则这个多边形是_边形。6.若一个多边形的内角和与外角和的比为7：2，求这个多边形的边数。知识链接三角形的五心重心：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。上述交点叫做三角形的重心。外心：三角形的三条边的垂直平分线交于一点。这点叫做三角形的外心。垂心：三角形的三条高线交于一点。这点叫做三角形的垂心。内心：三角形的三条内角平分线交于一点。这点叫做三角形的内心。旁心：三角形的一条内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，这点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。三角学发展简史三角学是以研究三角形的边和角的关系为基础，应用于测量，同时也研究三角函数的性质及其应用的一门学科。三角学起源于生活实践。例如古埃及人为了建筑金字塔，整理尼罗河泛滥后的耕地以及通商航海观察天象等测量的需要，产生和积累了有关的三角学知识；又如古印度人也是由天文测量的需要而得到三角学的有关内容。古代三角学的萌芽可以说是古希腊哲学家泰勒斯的相似理论，而希腊的天文学家喜帕恰斯，曾著有三角学12卷，大概可以认为是古代三角学的创始人。三角测量在中国也很早出现，公元前一百多年的周髀算经就有较详细的说明，例如它的首章记录“周公曰，大哉言数，请问用矩之道。商高曰，平矩以正绳、偃矩以望高、覆矩以测深、卧矩以知远。”（商高说的矩就是现今工人用的两边互相垂直的曲尺，商高说的大意是将曲尺置于不同的位置可以测目标物的高度、深度与广度。）1世纪时的九章算术中有专门研究测量问题的篇章，3世纪时刘徽所著的海岛算经中更有运用“重差术”，通过多次观察来解决不可达高度与距离问题。但古代三角学只是作为天文学的一部分内容而已，直到13世纪中亚数学家纳速拉丁在总结前人成就的基础上，著成完全四边形一书，才为把三角学从天文学中独立出来奠定了基础。直到15世纪，德国的雷格蒙塔努斯的论三角一书的出版，才标志古代三角学正式成为独立的学科。这本书中不仅有很精密的正弦表、余弦表等，而且给出了现代三角学的雏形。16世纪法国数学家韦达则更进一步将三角学系统化，在他对三角法研究的第一本著作应用于三角形的数学法则中，就有解直角三角形、斜三角形等的详述，并且还有正切定理以及和差化积定理等。使人注目的是18世纪瑞士数学家欧拉，他首先研究了三角函数，使三角学从原先静态研究三角形的解法中解脱出来，成为反映现实世界中某些运动和变化的一门具有现代数学特征的学科。欧拉不仅用直角坐标来定义三角函数，彻底解决了三角函数在四个象限中的符号问题，还引进了弧度值。更可贵的是他发现了著名的欧拉公式eix=cosxi sinx ，把原来人们认为互不相关的三角函数和指数函数联系起来了，为三角学增添了新的活力。由上述可见三角学是源于测量实践，其后经过了漫长时间的孕育，众多中外数学家的不断努力，才逐渐丰富，演变发展成为现在的三角学。三角学的历史演变三角学是以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。同时还研究三角函数的性质及其应用。三角学的拉丁文拼法为trigonometria，是三角形triangulum和测量metricus两字的合并，由德国人皮蒂斯楚斯于1595年创用，原意指三角形的测量，即解三角形。早期的三角学是天文学的一部分，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角学知识，主要用于测量。例如建筑金字塔、整理尼罗河泛滥后的耕地、通商航海和观测天象等。公元前600年左右古希腊学者泰勒斯游埃及，利用相似三角形的原理测出金字塔的高，成为西方三角测量的肇始。据中国古算书周髀算经记载，约与泰勒斯同时代的陈子已利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为“重差术”。公元前2世纪前后希腊天文学家喜帕恰斯为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的“弦表”，即在固定的圆内，不同圆心角所对弦长的表，他成为西方三角学的最早奠基者。公元2世纪，希腊天文学家、数学家托勒密继承喜帕恰斯的成就，加以整理发挥，著成天文学大成13卷，包括从0到90每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。约同时代的门纳劳斯写了一本专门论述球面三角学的著作球面学，内容包球面三角形的基本概念和许多平面三角形定理在球面上的推广，以及球面三角形许多独特性质。他的工作使希腊三角学达到全盛时期。公元6世纪初，印度数学家阿耶波多制作了一个第一象限内间隔345的正弦表，依照巴比伦人和希腊人的习惯，将圆周分为360度，每度为60分，其中用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。他在计算正弦值的时候，取圆心角所对弧的半弦长，比起希腊人取全弦长更近于现代正弦概念。印度人还用到正矢和余弦，并给出一些三角函数的近似分数式。13世纪纳西尔丁在论完全四边形中第一次把三角学作为独立的学科进行论述，首次清楚地论证了正弦定理。他还指出，由球面三角形的三个角，可以求得它的三个边，或由三边去求三个角。这是区别球面三角与平面三角的重要标志。至此三角学开始脱离天文学，走上独立发展的道路。近代三角学始于欧拉的无穷分析引论（1748年），他第一次以函数线与半径的比值作为三角函数的定义，并令圆的半径为1，使三角研究大为简化。欧拉创用a、b、c表示三角形三边，A、B、C表示对应的三个角，大大简化了三角公式，这标志着三角学从研究三角形解法进一步转变为研究三角函数及其应用的一个数学分支。我国古代没有出现角的函数概念，只用勾股定理解决了一些三角学范围内的实际问题。1631年西方三角学首次传入中国，以德国传教士邓玉函、汤若望和我国学者徐光启合编的大测为代表。同年徐光启等人还编写了测量全义，其中有平面三角和球面三角的论述。1653年薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编三角算法，以“三角”取代“大测”，确立了“三角”名称。1877年华蘅煦等人对三角级数展开式等问题有过独立的探讨。现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等，多发展于20世纪中。古希腊人看三等分任意角问题对于古典时期的希腊人来说，二等分角是一件易事。可是，当他们在成功地用直尺和圆规作出圆内接正五边形后，试图作出边数更多的正多边形时，不可避免地遇到了如何按给定比将角分成两部分的问题。如正九边形的情形，这个比为2：1，于是三等分角问题产生了。希腊人以尺规来解该问题的尝试一次又一次地以失败告终。他们渐渐意识到光靠直线和圆是不顶用的，必须借助于其他复杂的曲线才能成功。第一个意识到这一点的希腊人是希皮亚斯（Hippias）。他是伯罗奔尼撒的厄里城人，生于公元前460年左右，是苏格拉底（Socrates）的同代人。希皮亚斯为解三等分角问题发明了一种称作割圆曲线的新曲线，如图11-1所示。ABCD为一正方形，BED是以A为圆心的四分之一圆弧。假设半径绕A点从AB位置匀速转动到AD位置，而在相同时间内直线 BC从BC位置匀速平移到 AD位置（端点B始终沿BA运动）。则平动直线与转动半径的交点轨迹就是割圆曲线。其性质是：BAD：EADBED：EDAB：FH设FAD，AF，ABa，则割圆曲线的极坐标方程为：=2asin有了割圆曲线，就可以轻而易举地三等分任意角了。如图11-1，要三等分EAD，只需取FH的三等分点F，过F作BC平行于AD，交割圆曲线于L，连接AL，交BED于N，易证EAD：NAD=FH：LM=FH：FH=31因此AN三等分EAD。实际上，利用割圆曲线可以将角任意等分。希皮亚斯利用割圆曲线，通过线段三等分来完成角的三等分。或许受此启发，170多年后大数学家阿基米德发明了另一种后人以其名字命名的新曲线阿基米德螺线。它是这样产生的：一条射线 OA从一起始位置出发绕固定端点O做匀速转动，而在射线开始转动的同时，一个点从O出发沿着它做匀速运动。则该点的运动轨迹就是阿基米德螺线。其极坐标方程是=a。如图11-2所示。利用该曲线的第一圈来三等分角AOB时，只需以角的一边OA作为原始位置，以O为固定端点，作一螺线交OB于P。取OP的三等分点Q，以O为圆心，OQ为半径作圆交螺线于R，则OR三等分AOB。希腊人还巧妙地将三等分角问题作了转化。如图11-3所示，设ABC是须三等分的锐角，ACBC。作矩形ACBF，延长FA至E，而E是这样的点：若连接BE交AC于D，则 DE2AB。取DE的中点G，连AG，则DGGEAGAB。因此ABGAGB2AEG2DBC，DE三等分ABC。这样问题转化为：在AE和AC之间插入长为2AB的线段ED，使ED斜向B点。这就是希腊人所谓的斜向问题。阿基米德的同代人尼可米德（Nicomedes，约前280前210年）为解决上述斜向问题，发明了一种称作蚌线（或蜗线）的新曲线。它是通过一种机械装置画出来的，如图11-4所示。AB是一直尺，其上有平行于尺长方向的狭孔，FE是垂直固定在AB上的第二把直尺，其上固定一钉子C。第三把直尺PC以P为尖端，其上也有平行于尺长方向的狭孔，钉子C可沿狭孔自由移动。D 是PC上一固定的钉子，与狭孔同在一线上，且D可沿AB上的狭孔自由移动。移动PC，则尖端P就画出了蚌线。尼可米德称AB为“直尺”，固定点C为“极点”，不变长度PD为“距离”。设PDa，CFb，FCP，则尼可米德蚌线的极坐标方程为=a+bsec。若在图11-3中以B为极点，AC为直尺，长度2AB为距离作蚌线，交FA的延长线于E，则BE即为ABC的三等分线。希腊人对于三等分角问题的转化是意犹未尽的。阿基米德便是其中一例。如图11-5所示，将须三等分的角AOB作为圆O的圆心角。延长BO至C，连AC交圆O于D。如果CDOA，那么，AOBACADOC2CC3C于是过O且平行于CA的直线OE即为AOB的三等分线。因此三等分角问题又转化为：在BO延长线和圆周之间插入线段CD，使它与半径等长且斜向A。这是另一种斜向问题。到了中世纪，意大利数学家、天文学家坎伯努斯（Campanus，12201296年）在其几何原本的拉丁文译本中给出了一种斜向法，如图11-6所示。设AOB是须三等分的圆心角，OCOB。过A作圆的弦AD交OC于E，使得EDOA，则A23AOB。过O引DA的平行线OF，OF即为AOB的三等分线。易证坎伯努斯的方法与阿基米德斜向法是一样的。坎伯努斯以前的约当努斯（NJordanus，?1237年）其实已在他的著作中给出过同样的方法。正如尼可米德为解斜向问题而发明了后人以其名字命名的蚌线一样，在他1800年后的法国数学家、著名数学家帕斯卡之父埃廷内帕斯卡（Pascal，15881651年）为解决上述阿基米德斜向问题而发明了另一种蚌线，今称帕斯卡蜗线。如图11-7所示，A是圆O上一点，从A向圆周上任一点P引射线，并在射线上的P点两侧截取PQPQa（常数），则Q和Q的轨迹即为帕斯卡蜗线。A称为极点。设圆半径为R，则帕斯卡蜗线的极坐标方程为=A+2Rcos。1896年，奥布里（Aubry）利用圆锥给出妙法。如图11-9所示，AOB是须三等分的圆O的圆心角。以圆O为底作一正圆锥VO，使斜高等于底半径的3倍。则展开圆锥得的AVB1/3AOB。折飞机解几何“三分角”难题以直尺和圆规把一角分作三等份，是经典三大数学难题之一。折飞机的玩意又如何和“三分角”的解法扯上关系呢？若我们将“折纸飞机”摊开，便会发现如图11-10所示的折痕一束束直线从一点散发出来。原来我们可以利用这些折痕找出“三分角”的方法。首先我们可利用折痕绘出一轨迹曲线，称之为“C曲线”。在离P点若干距离折出横线AB，然后在每一条原先的折痕与AB相交处，找出相同长度的位置，并以点为记。将这些点连起来，便形成“C曲线”。如图11-11所示。若我们想把QPR分作三等份，可采用以下的步骤：(一)PXXR12的比值，在AB线上定出X点。(二)由X点画出一垂直线XS，与“C曲线”相交于S点。（三）以直线连接P和S，PS便可将QPR的1/3解分出来（即QPS=1/3QPR）。 (四)最后，可用圆规直尺把SPR平分。我们更可进一步利用几何原理，去验证第三步骤所得出来的结果：(一)在TS线段上，作中点M。由于TXS90，T、X、S共圆(concyclic)，得SMMXMT（M为T、X、S共圆的圆心）。(二)设MSX，则MXSMSX，得TMX2三角形外角(ext.of)(三)由于TS2PX(“C曲线”特点)，PXTMMSMX，得MPX=XMP=2。(四)由于QPS=PSX内错角，(alt.s，QPSX)，因此，QPS=1/3QPX。难求的完美正方形20世纪30年代，在英国剑桥大学的一间学生宿舍里，聚集了4名学生，他们叫塔特、斯东、史密斯、布鲁克斯。他们在研究一个有趣的数学问题完美正方形。什么是完美正方形呢？如果一个大的正方形是由若干个大大小小的不同的正方形构成，这个大正方形叫做完美正方形。许多人认为，这样的正方形是根本不存在的。假如有，为什么没有人把它画出来呢？但是聚集在这里的四名大学生，敢于迎接挑战，相信完美正方形是存在的。3年之后，4个人再一次聚在一起，每个人都有了成绩。布鲁克斯发现了一种完美正方形，史密斯和斯东发现了另一种，而塔特找到了进一步研究的途径。又过了几年，他们发现了一个由39个大小不等的正方形组成的完美正方形。这个完美正方形不是碰运气找到的而是在理论指导下完成的。这个完美的正方形的每边长为4639个单位长，39个小正方形的边长依次为：1564，1098，1033，944，1163，65，491，737，242，249，7，235，256，259，478，324，296，219，620，697，1231，1030，201，829，440，992，283，157，126，31，341，519，409，163，118，140，852，712，2378个单位长。四位当年的大学生通过完美正方形的研究，都成了组合数学和图论专家。他们的研究成果被应用到物理、化学、计算机技术、运筹学、语言学、建筑学等诸多领域。数学家又提出一个新的问题：存不存在由最少数目的正方形组成的完美正方形呢？1978年，借助于电子计算机的帮助，终于找到这个由最少数目的正方形组成的完美正方形，它的边长为112个单位长，由21个小正方形组成（如图11-13）。这些小正方形的边长依次为：2，4，6，7，8，9，11，15，16，17，18，19，24，25，27，29，33，35，37，42，50个单位长。塔特教授曾于1980年来我国讲学，他是世界上最著名的图论学专家。他满怀深情地向人们讲述了研究了40年的完美正方形的故事。吴文俊和机器证明吴文俊是我国当代的著名数学家，中国科学院院士。他研究的几何定理的机器证明旨在寻求一般性的方法，它不仅适用于个别的定理，而且适用于整个某一类型的定理，甚至可以说是某一种几何的所有定理。只要依照他所述的方法机械地进行，在有限步之后，就可对整个一类定理得到统一的证真和证伪，而无分难易。要做到这一点，必须通过以数量关系为主的代数方法，而几何的代数化乃是关键性的一步。吴文俊不仅论述了初等几何机械化的原理与方法，还研究了这些理论与方法在计算机上的具体实施，其中包括程序的编制，计算量的估计，具体定理的证明，新定理的发明以及几何的理论和方法对计算机使用效率的改进与各种应用等等。后来，他还致力于研究微分几何的机械化问题以及各种有关的理论问题。吴文俊关于机器证明的成果已引起国内外逻辑学家和人工智能学者的高度重视。此外，他还致力于中国古代数学史的研究。1983年，吴文俊当选为中国数学会理事长，这是继华罗庚之后的第二任理事长。数学中的推理、逻辑与证明数学中的推理方法有归纳推理和演绎推理。我们看到这两种方法都有用处，但是各有缺点，归纳推理能用以发现新的东西，但如果所考虑的事例并不具有代表性，或者被误解了，那么就可能推得错误的结论。演绎推理能用以产生正确的结论，但必须从正确的假定出发。在数学中经常一起使用这两种方法：用归纳法去导出可接受的假设，用演绎法从假设去推导正确的结论。人类最初的数学知识是由归纳法得到的。远古的埃及人和巴比伦人，通过观察和实验获得了许多数学知识，并把这些数学知识应用于他们的日常生活之中。古希腊人对哲学和逻辑很有兴趣，十分强调推理。他们接受了一些基本的数学假设，然后从这些假设出发，用演绎法证明了大部分我们今天知道的几何定理。所以，演绎证明是数学的一个重要部分。从古希腊的时代起，演绎法就成为数学中最重要的一种推理方法。但是，数学家们像其他科学家一样，仍然通过预感、想象、类比、推测、实验等各种方法继续发现新的思想，然后他们为了验证新的思想确实成立，苦心作成严格的证明。这种严格的形式证明完全不同于想象。他们应用假设、定义和先前已证明过的命题去证明新的命题。他们决不说：“如此这般是正确的”，而是说，“如果A成立，那么B成立”。他们了解，结论B依赖于作为出发点的假设A，而且可能只在数学的世界里是成立的，在物理世界里可能没有明显的应用或解释。例如两个波兰数学家，斯蒂凡巴拿赫与艾尔弗雷德塔斯基，从数学观点用一种逻辑证明了：一粒豌豆大小的固体球能够分割成有限多数目的薄片，然后装配成太阳大小的一个球！难怪数学被认为是一门不寻常的科学。泰勒斯：几何证明的初试古埃及人与巴比伦人，通过长期（约三千年）的生活实践，累积了大量直观的、经验的、实验的几何知识可能对也可能错。然后传到了古希腊（泰勒斯、毕达哥拉斯、德谟克里特，这些希腊先哲都曾到过埃及与巴比伦旅行、游学，带回了许多几何知识），加上希腊人自己所创造的几何遗产，经过一群爱智、求完美、讲究论证、追根究底、为真理奋斗的哲学家们之增益与整理，开始发酵而产生质变。在古希腊文明的早期，希腊人编造许多神话来解释各种现象。但是当他们面对几何时，毅然决定给经验注入论证与证明，迫使神话与独断让位给理性（myth and dogma gave way to reason），这是数学史也是文明史上了不起的创举，最重大的转折点。古希腊人花了约三百年的时间（从公元前600300年），才将经验式的几何精炼成演绎式的几何。首先由泰勒斯（Thales，约公元前624547年，被尊称为演绎式几何之父）发端，他试图将几何结果排成逻辑链条（logical chain）：排在前面的可以推导出排在后面的，因而有了“证明”的念头。根据亚里士多德的学生欧德孟斯（Eudemus，公元前330年左右）的说法，泰勒斯曾游学埃及，他是第一位将埃及的几何知识引进希腊的人。泰勒斯自己也发现了许多命题，并且勤教后进，展示其背后的原理。他有时采用一般方法，有时则采取较经验的手法来论证。古埃及人、巴比伦人面对的是个别的、具体的这个或那个几何图形。泰勒斯开始加以抽象化与概念化，研究图形本身并且给出普遍叙述的几何命题。这是几何要成为演绎系统的必要准备工作。举例说明：在日常生活中，我们看见车轮子是圆的、中秋节的月亮也是圆的于是逐渐有了“圆形”的概念（concept）。“圆形”绝不会跟“方形”混淆。最后抽象出“圆”的理念（idea）：在平面上，跟一定点等距离的所有点，所成的图形叫做圆；定点叫做圆心，定距离叫做半径，通过圆心且两端在圆上的线段叫做直径。另一方面，我们观察到车轮子由直径裂成相等的两半，化成“理念”得到：直径将圆等分成两半。这是一个普遍的几何命题，生存在柏拉图的“理念与形的世界”（the world of ideas and forms）。古埃及人与巴比伦人只见到这个或那个具体的圆形，而希腊人思考的是抽象理念的“圆形”本身。一般而言，数学史家公认下面六个几何命题应归功于泰勒斯：命题一两直线相交，则对顶角相等。命题二一个圆被其直径等分成两半。命题三等腰三角形的两个底角相等。命题四半圆的内接角为一个直角。命题五两个三角形若有两个角及其夹边对应相等，则两个三角形全等。命题六两个三角形若三个内角对应相等，则其对应边成比例。这些命题都相当“直观而显明”。据猜测，古埃及人与巴比伦人可能也都知道这些结果，不过是以孤立的经验几何知识来存在。为何需要证明？最主要的理由是经验知识可能错误，即“眼见不完全足凭”。例如，关于半径为r的圆面积，泰勒斯从巴比伦人得到的是3r，又从埃及人学到(82/9）r的答案，两者不同，因此至少必有一个是错误的。又如，在莱因纸草算经中说，四边为a，b，c，d之四边形，其面积为14（ac）（bd），这只有在长方形的情形才成立。人类常会“看走了眼”，明明眼见“地静”与“地平”，怎么又有“地动”与“地圆”的争论呢？对于同一个历史事件或物理事实，立场不同的人可以“英雄所见完全不同”。“鸟瞰的世界”与“人看的世界”当然不同。人是诠释者，也是权衡者。证明就是要以理说服自己，然后再说服他人。因此，感官经验虽是知识的根源，但是若要得到正确的知识，必须再经过论证与证明，才能分辨对错。这是泰勒斯深切体会到的。因此，亚里士多德说：对于泰勒斯而言，他的主要问题并不在于“我们知道什么”，而是在于“我们是怎么知道的”。进一步，泰勒斯要问：“为何”知道？这里涉及到知识论的两个基本问题：（）如何看出或发现猜测？（）如何证明或否证一个猜测？有了猜测才谈得上证明，否则证明什么呢？能够通过证明的猜测，才成为定理。对于命题一到六，泰勒斯如何给予“证明”呢？根据数学史家的看法，当时的“证明”包括两种：直观的示明与演绎的示明。前者如苏格拉底教男童倍平方问题就是一个例子。我们不要忘了，泰勒斯是为演绎数学立下“哥伦布的蛋”的第一人，因此瑕疵在所难免。命题一之证明：如图11-15所示，1+3 =2+3，两边同减去3得1=2。同理可证3=4，证毕。命题二之证明：沿着直径将圆折叠起来，两半恰好重合。这只是实验与直观的验证而已。后来欧几里得将这个命题当作一个定义，他说：“一个圆的直径是指通过圆心而止于圆周上的任何线段，并且此线段等分此圆。”命题三之证明：如图11-16所示，沿着中线 AD 将三角形折叠起来，两半恰好重合，因此B=C。证毕。这个命题又叫做驴桥定理，意指“笨蛋的难关”，对初学者已构成困难。命题四之证明：如图11-17所示，连结A点与圆心O，则AOB与AOC都是等腰三角形。由命题三知1=B，2=C，又因为三角形的三内角和为一平角，所以1+2=A=一直角，证毕。泰勒斯非常喜爱这个定理，据说他是观察到长方形的对角线互相平分而得到的。他为此而特别宰了头牛庆祝一番。因此这个定理又叫做泰勒斯定理，再推广就是圆周角定理。命题五之证明：利用移形的方法，可以使两三角形完全叠合在一起，所以它们是全等的，证毕。命题六之证明：见前节的“相似三角形基本定理”。总结上述之证明，所用到的基本原理计有：等量代换法、等量减法、移形叠合法、标尺作中线、两点决定一直线与三角形三内角和为一平角等等。关于泰勒斯将几何定理排成逻辑链条一事，历史上并没有实例。坚持真理的罗素柏特兰罗素（Bertrand Russell，18721970年）是著名数理逻辑家，也是一位哲学家，他从23岁开始写作，不断工作75年，共写出一百多本书及上千篇的论文。他在 1950年获得诺贝尔文学奖。他是一个和平主义者，他说：“在我的一生中，从未碰到过像从事和平主义运动这样毫不犹豫地奉献全部心灵热诚的工作，我生平第一次发现了我把全副的天性浸沉到工作的韵律中。”罗素讲话很幽默风趣。他的谈话，略带一种滑稽的味道。有一次他对他的议员朋友讲了一句令他大吃一惊的话：“民主政治至少有一个优点，那就是一个官吏或议员一定不会比他的选民更愚笨，因为尽管他们是多么的愚笨，但是总有比他更笨的人会选举他们的”。第一次世界大战，德国人失败时，罗素就在1915年预言：“一般的德国人，将会设法寻求如何为下一次准备得更好的方法，而且将会更忠实地服从他们军国主义领袖的话。”他的预言“第一次世界大战导致了独裁专政的恐怖和第二次世界大战”，后来果然发生。在1921年他来北京大学讲学，了解中国在鸦片战争之后受列强的欺凌，以及日本的军国主义的发展。他回英国演讲，谈“东方问题”作了两项预言：（1）日本由于人口的压力，会实行扩张主义的政策，侵略中国，并且以后会和美国发生正面冲突，进而演变成全面大战，可是最后将会被美国击败。（2）中国如果要避免外国的征服，首先必须放弃传统生活方式，并且普遍地发展爱国心及足够的武力，可是这事可能会被发展得太过分，因为中国人平常是冷静的，但是也有野蛮奋激的能力，我们可以想像他们中的一部分也许会变成狂热的布尔什维克主义者。中国人必须以他们自己的力量去寻求解救之道，而不是靠外国列强的仁慈心，但是最值得担心的一件事是：在中国发愤图强的过程中，不但会发展足够的力量维持独立，而且可能过分地强大到开始其帝国主义的生涯。”这些话果然在以后大部分都实现了。在1916年，他45岁时由于反战的活动，被“三一学院”免除教职，美国哈佛大学却邀请他去讲学，但英国外交部不给他护照。因此他决定留在英国，以公开演说为他的职业，并且准备好“政治的哲学原理”的演讲。可是陆军部却发禁令：只能在英国内地如曼彻斯特作演说，不能在“禁区”所有英国的沿海城市发表演说。理由是：“罗素的言论无疑已经妨碍了战争的进行我们已获得了可靠的情报，证明罗素将要发表一连串会严重打击士气的演说。”但罗素听了后说：“我唯一热诚的希望是，我们的情报人员，以后对有关德国人的情报不会像对我个人的这么不正确。”罗素参加了反战的NCF委员会，据后来成为英国社会主义国会议员的费纳布罗克威回忆这时期的罗素说：“他是令人愉快的，充满了好开玩笑的精神，正像一个忍不住气的聪明的淘气鬼，在那段时间，他的经济情况相当苦，所以来委员会时常会迟到，有一次是因为他没有钱付车费但这也许是因为他有时候对世俗的琐事很健忘的关系。还有一次，当罗素在赴会途中，碰到一个身世可怜的乞丐，结果他把口袋里的钱，全部送给那位乞丐，因此他不得不走路了。”有时NCF害怕政府会禁止他们活动，而另外组织了一个地下组织，并且他们有精密的暗码系统来控制。有一次，布罗克威把藏有他们秘密计划的公事皮包遗忘在计程车上，而被司机送到了警察局。当布罗克威把这情况在委员会上报告，罗素便会以开玩笑的口语提议：“我们休会后，马上到苏格兰场去，以免再麻烦警察大人来抓我们。”结果还好，委员会有一个成员的哥哥是高级警官，通过他把皮包拿回来，没有被警方打开来看。再有一次，他们听说他们的主要办公室将被警察搜查，于是他们跑到另外一个临时场所开会，与此同时，听说外面还有六个值探在寻找他们呢。这时罗素很兴奋地说：“他们将会来找我们，那么让我们到一位爵士之家接受逮捕吧！”于是他们分乘三辆计程车到罗素哥哥的家。罗素开心地想到当警察要进来逮捕时，罗素伯爵不知道要说什么而惊慌的样子？可惜哥哥不在家，警察也没有来逮捕，令他很失望。获诺贝尔奖的数学家罗素柏特兰罗素（18721970年）是英国著名数学逻辑家。对数学的喜好罗素在5岁时，有人告诉他地球是圆的，他拒绝去相信。他跑到花园，拿了一把铲开始掘洞，看是否能从他住的地方一直挖到澳大利亚去。有一次保姆告诉他，在他睡觉时天使会在旁边守卫他。他不相信地说：“可是我从来不曾见过她们呀！”保姆说当他睁开眼时，天使就会溜走了。于是小罗素决定闭着眼睛假装睡觉，然后用手去抓，结果什么也没抓到，因此他不再相信天使守卫他的故事。在他9岁时，女修道院长茜普顿预言：世界末日在1881年会发生。就在那一年的某一天天空黑云密布，他看到阴沉的天空，以为世界末日到了，可是到了年底，世界还是存在。他从小就有追寻事实真相的热忱。他在回忆集（Portraits form Memory）里写道：“我愈是对一件事情感兴趣，便愈想了解有关它的事实与真相，尽管这些事实与真相，可能使我感到不快”他最初学九九乘法表时，并不是太顺利，曾因费了很大力气学不会而哭。他学代数也不是一帆风顺，可是后来经过一些努力，他进步得很快。不久他就对数学产生兴趣，后来他说：“要不是想多了解数学，我早在年轻时就自杀了。”有一天他的哥哥说要教他几何，他非常的高兴，因为在这之前他听说几何是用来证明东西的。他的哥哥富兰克比他大七岁，教他的是“欧几里得”几何，他开始教他定义，小罗素马上充分接受，可是当哥哥教到“公理”时，就有问题产生了。他对欧几里得第一条公理（Axiom）：“二物同时等于第三物，则此二物彼此相等。”写成符号是：如果A、B都有A=C，B=C，则A=B。哥哥说：“这些公理是无法证明的，但是你要证明其他问题以前，这些公理必须被假定是真的。”在后来他写的自述为什么我选择了哲学？里，他回忆起这时的学习障碍：“经他这么一说，我的希望整个粉碎了。我曾经想去发现一些能够证明的东西，那是很美妙的一件事，但是现在却必须先藉着那些证明的假定才能做进一步的证明。”“我满肚子不高兴地看着哥哥说：既然它们是无法证明，但是为什么我必须承认这些东西呢？他回答说：好吧！要是你不接受的话，我们就无法再继续学下去。”“我想，那其他一些东西是很值得一学的，因此我同意暂时承认这些公理为真，虽然我仍然充满了怀疑与困惑，我仍一直希望在这个公理的领域内发现不可争论的明白的证明。”“但我对数学仍然发生了很大的兴趣，事实上比任何其他的研究更能给我一种如鱼得水的感觉。我很喜欢考虑如何把数学应用到物质世界上去，同时我也希望将来有一天会产生像机械的数学一样精确的有关于人类行为的数学。我有这种希望是因为我喜欢论证，而大半时间这种动机甚至胜过我对自由意志的信仰欲望，虽然后者我也时常感到它的力量，但是无论如何我从未完全征服我对数学正确性的基本怀疑。”可是，当他学习更深的数学时，他面对一些新的困难，他的老师告诉他一些他觉得是错误的证明，这些证明后来果然被承认是错误的，当时他并不晓得，后来在离开剑桥到德国，才知道德国的数学家已经找到更好的证明方法。到了德国，他的眼界大开，他才发现过去困扰他的那些难题，实在是微不足道的小事，而且都不是重要的东西。他说：“因为剑桥大学的考试所要求的都是一些解题的技巧，整天死啃这东西后，我开始对数学产生极大的反感，这点鼓舞我向哲学方面去发展。为了设法获得考试的技巧，使我想到数学不过是包括了那些玩弄技巧的魔术里的雕虫小技罢了，它和猜字游戏那一类玩意儿太相像了。因此，当我通过了剑桥三年级最后一次数学考试后，我发誓我再也不看数学，并且把所有的数学书都卖光了。”“在这种心情之下，阅读哲学书籍，我仿佛感觉到由山谷的小天地中解脱出来，看到了多姿多彩的新世界。”他到德国念黑格尔及康德的哲学，可是在读康德的作品后觉得他在数学哲学方面的立论不仅是无知而且愚昧，他转而去读魏尔斯特拉斯（Weierstrass）、戴德金（Dedekind）及乔治康托（George Cantor）的理论。康托是“集合论”的创造者。罗素最初看他的无穷大数目时，觉得很难懂，有很长的时间没法子了解，因此他决定把他的书逐字逐句地抄在笔记本上，这样慢慢咀嚼思考，可以逐步理解。当他开始读时，他觉得康托的理论是谬论，简直是荒唐不经，可是等到把整本书抄完，才发现错误的是他而不是康托。事实上康托的无穷数的理论是近世数学的一个重要的理论，可惜他提出时曲高和寡，许多有名的数学家看不起他的工作，使得他受到刺激和人论战，最后病死于精神疗养院。罗素在23岁时毕业于剑桥大学数学系优等及格第七名，他的研究论文是几何学的基础，然后他成为英国驻巴黎大使馆随员。第二年他到德国柏林大学研究，在24岁时被选为剑桥大学三一学院（Trinity College）的研究员。与怀特海德老师的合作怀特海德（Alfred North Whitehead，18611947年）是英国著名的数学和数理逻辑学家、科学哲学家。他在1885年从三一学院毕业，就留在原校任教应用数学和力学，1905年在该院获得博士学位，是罗素的老师。1890年，罗素是剑桥大学一年级新生时，去上怀特海德的静力学。讲完课后，教授指定全班念教科书上的第35篇，然后他转过头对罗素说：“你不必读它，因为你已经了解了。”因为在十个月前罗素在入学资格考试中引用过它，怀特海德看过他的考卷，对他的印象很深刻，并且告诉所有剑桥大学最优秀的学生，要注意罗素。因此罗素在到校一星期就认识了当时剑桥大学的精英。罗素由学生渐渐地转变为独立作家过程中，得益于怀特海德的指导很多。在怀特海德1947年去世后，罗素写了一篇怀念怀特海德的文章，在文章结尾时他说：“作为一个老师，怀特海德可以说是十分完美，他能把个人的兴趣整个地贯注于受教者身上，他同时了解学生们的优点与缺点，他能够把学生最好的才智引发出来，他从未犯过一些低劣的教师所常有的毛病像对学生强制、讥讽及自命不凡等，我深信所有与他接触受他薰陶与鼓舞的优秀年轻学子们将会像我一样对他发生一种诚挚而永恒的感情。”他在1920年去美国旅行演讲，有机会深入观察美国社会，在1922年他预言：“美国将会开始其帝国主义的生涯不是领土方面的侵略，而是经济上的征服。”他对美国听众说：“美国不是被华盛顿政府所控制，控制你们的是油田和摩根（Morgan，18371913年，是当年的财政家），美国是遍布全球的金融帝国，要是由眼光狭窄和残忍无情的人所控制的话，人类将面对一个可怕的恶魔。”在1928年出版的怀疑论集中，他写道：“世界可能会有一段长的时间，在美国和苏联之间形成两大对立的集团。前者将控制西欧及美国本土，而后者将控制整个亚洲。”这些话后来都被证明是正确的。中外的数学家没有几个能像他这样能独具慧眼，对于事物的发展预测的这么准确。1950年，罗素获得诺贝尔文学奖。尽管这位诺贝尔文学奖的得主即是作为一个数学家而闻名于世，虽然这很奇特，但瑞典文学院的选择仍然获得了好评。泰勒斯的传说与轶事泰勒斯没有留下完整的传记。历史上流传着许多关于他的铁事，从各个角度去描绘这个人物，在一定程度上反映了他的生平事迹。这些传说未必完全真实，但和他的性格是相称的。(一)早年的商旅活动，使他接触各种事物，了解各地的人情风俗，开阔眼界。他用骡子运盐，某次，一头骡滑倒在溪中，盐被溶解了一部分，负担顿觉减轻，于是这头骡每过溪水就打一个滚。泰勒斯为了改变这牲畜的恶习，让它驮海绵，吸水之后，重量倍增，这头骡再也不敢故伎重演了。亚里士多德(Aristotle)提到另一则故事：泰勒斯利用各方面的知识，预见橄榄必然获得特大丰收，于是就垄断了这一地区的榨油机，事情果然不出所料。他用自定的价格出租榨油机，获得巨额财富。他这样做并不是想成为富翁，而是想回答有些人对他的讥讽：如果他真的聪明的话，为什么不发财呢？他现身说法，用事实证明发财不见得比研究天文学更加困难。他终于走上了探讨大自然奥秘的道路。(二)柏拉图(Plato)记述另一件铁事，说泰勒斯仰观天象，不小心跌进沟渠中，一优秀丽的色雷斯(Thrace)女仆嘲笑他说：近在足前都看不见，怎么会知道天上发生的事惰呢？“智者干虑，必有一失”。(三)梭伦的故事。普卢塔克(Plutarch)记载，梭伦到米利都去探望泰勒斯，问他为什么不结婚。泰勒斯当时没有回答。几天之后，一个陌生人来到梭伦面前，声称十天前曾去过雅典。梭伦问他有何见闻，那人说：有一个青年人的葬礼轰动了全城，因为其父是一位尊贵人物。儿子死时父亲不在家，他很久以前就出外游历去了。梭伦急切地问：“他