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文档简介

基于高斯消去法的线性方程组的数值解法 学院 数理学院专业 数学与应用数学班级 数学062作者 刘金鹏学号 064131210指导老师 恰汗 合孜尔教授 主要内容 一 概述二 高斯消去法三 列主元高斯消去法四 全主元高斯消去法五 实例和运行结果六 结论 一概述 目前使用C语言基于高斯消去法虽然实现了线性方程组的数值解 但都不是按软件工程学的方法以及现代编程风格 即模块化的思想编写的 全主元高斯消去法也大都只给出了基本思想 很少有具体的分析过程和代码 本文首先要求采用软件工程学的方法和模块化的思想设计程序 其次分别用高斯消去法 列主元高斯消去法以及全主元高斯消去法编写程序 并结合实际的例子运行程序 最后对结果进行过比较分析 二高斯消去法 它是把方程的矩阵化成上三角阵或下三角阵 然后回代求解 1 1 1 2 1 2 在高斯消去中 对于第次消去 所用的除数可能会引起一些问题 1 当时 计算是无法进行的 2 即 当很小时 也会对方程的解的精度产生影响 甚至会产生溢出 因此高斯算法对求解线性方程组是不稳定的 对于高斯消去法的不足 选取该列的最大值作为主元素 就是列主元高斯消去法 它选取从第列剩余的个元素中选取绝对值最大的元素经过初等行变换 把该元素移到处 由于进行的是行变换 相当于交换两个方程的位置 不影响方程的解的顺序 三列主元高斯消去法 四全主元高斯消去法 列主元消去法是从每列选取绝对值最大的元素作为主对角元素 这在一定程度上避免算法无法进行或带来的算法不稳定 由于列主元消去法只保证了当前的主元素是第列的及以下的各元素中绝对值最大的 但不能保证同时也是该行的最大值 仍然存在和高斯消去法中面临的同样问题 对于方程的数值解这类问题仍然是不可忽视的 当消去进行到第步时 从系数矩阵的右下方的阶子式中选取绝对值最大的元素 就产生了全主元高斯消去法 4 1 4 2 4 3 五实例和运行结果 表1式 4 3 的解 表2式 4 2 的解 表4三种方法求解式 4 1 4 2 4 3 所得解的标准差的汇总 表3式4 3 的解 列主元高斯消去法比高斯消去法多了一个选列主元的过程 这部分所耗费的运算规模虽然会随方程的规模的增长而增长 但与消元相比并不大 而且在一定程度上提高了算法的适应性 同样全主元高斯消去法的全选主元运算规模比列主元高斯消去法的选列主元运算规模大 多了一个恢复解的顺序运算规模 还是无法与消元相比 所以 全主元高斯消去法比列主元高斯消去法和高斯消去法的时间复杂度和空间复杂度都大 但三种方法的运算规模都在一个数量级上 和它带来的优点相比还是可以接受的 随着方程阶数的增加 需要交换的行或列会更多 这种优势更明显 从标准差可以看出全主
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