东北大学概率论与数理统计期末试题.docx

2010-2011(1)概率统计试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共30分.） 1. 随机事件是样本点的集合.口袋中有5只外形相同的球，分别编号1,2,3,4,5，从中同时取3只球，则球的最小号码为1的事件为 . 2. 设随机变量X的密度函数为f(x)=，则P1 X 1= .（(1)=0.8413, (2)=0.9772.）3. 设D(X)0,D(Y)0，那么由D(X + Y) = D(X Y)一定有X, Y （独立、不独立、相关、不相关）4. 若随机变量X1,X2,X3相互独立，且X1P(2), X2E(1), X3B(4,0.25)，则E(X1 4X2X3)= ，D(2X1 3X2 + X3)= .5. 已知E(X)=12, D(X)=1，那么利用切比雪夫不等式估计P9 X 15 .6. 设X1,X2, Xn相互独立，均服从2(8)，则算术平均依概率收敛于 .7. 当样本容量一定时，显著性水平越小，即犯第 类错误的概率就越 ，而犯第 类错误的概率就越 .8. 设X1,X2, Xn是来自均匀总体U(1,7)的一个样本，为样本均值，为样本方差，则E()= ，E() = .9. 设X1,X2, X10是来自正态总体N(0, 0.5)的一个样本，则(X1 X2)2 + (X3 X4)2 + + (X9 X10)2 分布， 分布.10. 已知来自总体N(, 0.92)，容量为9的样本的样本均值=5，则的置信度为0.95的置信区间为 . (z0.05=1.645, z0.025=1.96, t0.05(8)=1.8595, t0.025(8)=2.306.)二、（共10 分）1.（4分）某产品40件为一批，每批产品中没有次品的概率为0.4，有1, 2, 3件次品的概率分别为0.3, 0.2, 0.1.今从某批产品中随机地取10件，求其中恰有1件次品的概率.（注：只列出计算概率的算式，不要求计算结果.）2.（6分）已知随机变量X取四个值1,0,2,3，相应的概率分别为，（1）求常数c；（2）计算P X 1.三、（12分）已知随机变量(X , Y)的分布律为，（1）求D(2X Y)；（2）判断X , Y的独立性与相关性；（3）求Z = max X,Y的分布律.四、（共22 分）1.（6分）设随机变量X的密度函数为 求Y=X2的密度函数.2.（16分）设随机变量(X , Y) 的密度函数为（1）求P X 0)未知，求a的矩估计和最大似然估计.七、（6分）规定企业污水中汞的最高允许排放浓度为0.05mg/L.今从某企业排放的污水中抽取了9个水样，测得汞含量的样本均值为0.051mg/L，样本均方差为0.003mg/L.假设每升污水中汞的含量服从正态分布，那么在显著水平0.10下该企业排放的污水中汞含量超标吗？(假设H0: 0.05, H1: 0.05. t0.10(9)=1.3830, t0.10(8)=1.3968, t0.05(9)=1.8331, t0.05(8)=1.8595.）八、（6分）下面是A班和B班各10位学生的某科考试成绩（10分制）：A班成绩：6 5 8 8 7 6 10 4 9 7B班成绩：8 7 7 10 5 8 10 6 8 6平均成绩分别为7,7.5，成绩均方差分别为1.83,1.65.又定义极差=(其中为样本数据).（1）求每班成绩的众数、中位数和极差；（2）试根据平均成绩、成绩均方差与（1）中的结果，对两班的成绩作对比评点.一、1. (1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5); 2. 0.4772; 3. 不相关; 4. 2, ; 5. 8/9; 6. 8; 7. 一，小，二，大; 8. 4, 3; 9. 2(5), F(5,5); 10. (4.412, 5.588).二、1. 解 2. 解 (1) 由， 得c=16/37 . (2) P X 1 = 三、 解 (1) D(2X Y)=4 D(X)+D(Y) 4cov(X,Y)= 4D(X)+D(Y) 4(E(X,Y) E(X)E(Y) E(X)=0, E(X 2)=1,D(X)=1; E(Y)=0.2, E(Y 2)=0.4, D(Y)=0.36; E(X,Y)=0.4 D(2X Y)=41 + 0.36 40.4 = 2.76 (2) cov(X,Y)=0.4 X,Y相关 PX=1,Y=1=0PX=1 P Y=1=0.50.3=0.15 X,Y不独立 (3) Z -1 0 1 p 0.3 0.2 0.5 五、 解 设Xi表示第i个零件的重量，则E(Xi)=0.5, D(Xi)=0.12，i=1,2,.,2500. 根据中心极限定理可知，2500只零件的总重量X = X1+X2+ X2500近似地服从N(25000.5, 25000.01)= N(1250, 25)，于是所求事件的概率.四、1. 解 方法一 方法二当 因此 2. 解 (1) P X 0时，这时有 (4) ， 其中当z0时，此时；当z 0时，此时， 所以Z的概率密度为 六、 解 E(X)= 令1+a =，得a的矩估计. 当x1,x2, xna时，似然函数为， x1,x2, xn0， 取对数并求导数，有 ， 故L(a)是a的增函数，即a越大，L(a)的值就越大. 但由x1,x2, xna可知，aminx1,x2, xn. 因此a的最大似然估计量为a=minX1,X2, Xn. 七、解 提出假设 H0: 0.05, H1: 0.05， 检验统计量 ， 拒绝域为 由于，故接受假设H0，即认为在显著水平0.10下该企业排放的污水中汞含量不超标. 八、解 (1) A班众数6,7,8 B班众数8A班中位数7 B班中位数7.5A班极差6 B班极差5 (2) B班学生的成绩好于A班的. 一、因为B班学生的平均成绩7.5高于A班的平均成绩7，说明B班学生的成绩整体上好于A班学生的成绩；二、B班的成绩均方差1.65小于A班的成绩均方差1.83，以及B班的极差小于A班的极差，都说明A班学生的成绩分布相对比较分散；三、A班的众数多小于B班的众数，又说明A班学生的成绩在低分段的相对比较多. 2011-2012(1)概率统计试题及参考答案一、 选择题（每小题3分，共15分）1. 随机事件发生，意味着 .(A)都发生； (B)至多有一个发生；(C)恰好有一个发生； (D)至少有一个发生.2. 设随机变量，则X的分布函数为 . (A) (B)(C) (D)3. 已知，且，正确的是 .(A)； (B)； (C)； (D).4. 设是来自总体的简单随机样本，分别为样本均值和样本方差，不正确的是 .(A); (B); (C); (D)与相互独立.5. 对原假设H0和备择假设H1， 为犯第一类错误.(A) H1真，拒绝H1； (B) H1不真，拒绝H1； (C) H1真，接受H1； (D) H1不真，接受H1.二、填空题（每小题4分，共20分）1. 设事件A1, A2, A3相互独立，且P(Ai)=1/3( i=1,2,3)，则A1, A2, A3至少发生一个的概率为 .2. 设随机变量X,Y,Z相互独立，概率密度函数分别为，则E(3X YZ2)= .3. 二维正态变量，则 ，X与Y （独立，不独立，相关）.4. 设,是二项总体B(10, 0.4)的简单随机样本的样本均值和样本方差，则E()= .5. 设某次考试的成绩服从正态分布，其中均未知. 随机调出其中36位考生的成绩，算得平均分是66.5，标准差为15. 为检验这次考试的平均成绩是否为70分，应提出原假设、备择假设以及检验用的检验统计量分别为 .三、（12分）设随机变量(X,Y)的分布律为，（1）求Z = 2X Y的分布律；（2）求Cov(X, Y)；（3）判断X , Y的独立性与相关性.四、（共11分）1.（6分）设随机变量（1）求常数a；（2）求分布函数F(x).2.（5分）设随机变量 求的概率密度函数.五、（12分）设二维随机变量(X,Y)在由直线x =2, y = x/2及x轴所围成的区域内服从均匀分布，求：（1）；（2）Z =X +Y的概率分布.六、（10分）某系统装有三个电子元件. 假设：系统启动时它们同时开始工作；三个元件工作状态相互独立，且无故障工作的时间Ti (i =1,2,3)均服从参数为的指数分布；只要有一个元件在工作，系统就能正常工作（正常工作的时间记为T）.（1）求参数为的指数分布的分布函数；（2）给出T与T1、T2、T3的函数关系；（3）求T的概率密度函数.七、（共12分）1.（6分）设随机变量其中未知，X1,X2, Xn是来自总体X的简单随机样本，求a的矩估计.2.（6分）已知总体X的分布律为，其中未知；总体X的一组样本值中有3个为0、4个为2、2个为3，求的最大似然估计.八、（8分）基于人一年内的死亡率为0.1%，并经过市场调研，某保险公司设计了一种年险：参加保险的人，只须在一年的第一天交付保险费10元，一旦死亡，家属可从保险公司领取2000元. 试问：（1）至少有多少人参加该保险才能保证保险公司亏本的概率为0？（提示：首先设参保人数，再设随机变量，表示出保险公司“不亏本”事件，然后利用中心极限定理计算概率）（2）若一年内有n人投保，则保险公司一年内所获利润、平均利润各是多少？（3）结合（1）、（2）的结果，简单谈谈你对保险及保险公司的看法.（本题约定：）一、B D A C D二、1. 19/27; 2. 2; 3. N(1, 15) 或 ；独立； 4. 1.6； 5. H0 :=70，H0: 70；.三、（1）（2）Cov(X, Y)= E(XY) E(X)E(Y)=1*2*0.10.5*0.4=0（3）PX=1, Y=1=00.1=PX=1PY=1，所以X, Y不独立. 因为Cov(X,Y)=0，所以(X,Y)=0，故X, Y不相关.四、1.（1） （2）2. 六、（1） （2）T=maxT1,T2,T3（3） 五、 （1），当时， （2）七、1. ，令 ，得a的矩估计.2. 似然函数为 L()=( 2