第二章：基本方程.ppt

第一节 基本统计方法变量的空间 时间和总体平均 协方差 相关 运动学通量 求和符号第二节 控制方程状态方程 质量方程 动量守恒方程 水汽守恒方程和热量守恒方程第三节 通量和方差预报方程第四节 闭合技术 第二章 基本方程 第一节 基本统计方法 一 平均任一变量A t s 为时间t和空间s的函数 N为资料点的数目 1 平均的方法 1 时间平均 可以通过安装在测竿或观测塔之类某一定位平台上的传感器而得到 2 空间平均通过部署一系列包括线 面和体的气象传感器可得到空间平均 体积平均 雷达 光达和声雷达之类的遥感就能扫描大气层的体积 使选择变量的体积平均成为可能 面积平均 小范围内布署一系列装有仪器的测竿或地面百叶箱仪器 线平均 沿途安装传感器 3 总体平均 实验室总希望得到总体平均遍历状态 在均匀 平稳的湍流中 时间平均 空间平均和总体平均相等 2 求平均规则设A B为两个变量 C为常数 3 雷诺平均 二 方差 标准差和湍流强度1 方差 有偏方差 边界层中常用无偏方差 当N很大时 有偏方差和无偏方差相等 若湍流变量的湍流部分用表示 则代入有偏方差有 总体方差 2 标准差 方差的平方根3 湍流强度其中 M为平均风速 三 协方差和相关1 协方差它表示A B两个变量之间共同关系的程度 令A代表气温T B代表垂直速度w 则炎热的夏天陆地上 高于平均气温的空气会上升 T w 温度低于平均气温的空气会下沉 T w 即 T w 乘积平均值为正 w和T总是同向变化的 2 线性相关系数 归一化的协方差 例题 在一根装有风速表的支柱测量U和W风分速 每6秒测量一次1分钟内的瞬时风速 得到的10对观测结果如下 对各个风速分量求出平均 有偏方差和标准差及U和W之间的协方差和相关系数 W方向的平均风速为零 但W的湍流变化仍比U强 平均而言 U和W往往朝反向变化 且它们的相关系数接近于 1 这说明只有少数几个观测结果U和W同向变化 绝大多数是反向变化的 四 大气湍流通量与输送 1 通量的定义通量 单位时间通过单位面积的流体某属性量的输送 我们很少直接测量热量和动量之类的参数 而直接测量温度或风速之类的参数 为方便 上述通量用被除以湿空气密度 气后的运动学形式重新定义 而这些运动通量可用直接测量的单位表示 一般通量运动学通量热量通量 QHJ m2s QH Cp Km s动量通量 kg ms 1 m2s m s m s 把通量分成平均和湍流两部分 1 与平均风速 平流 有关的通量 如垂直运动热通量 2 涡动通量 如垂直涡动热通量 湍流切应力 动量湍流的物理意义 取一体元 t时间内通过dxdy平面向上输送的空气体积为wdxdydt 单位体积输送空气中具有x方向动量为 u 则dt时间内通过dxdy面向上输送的x方向的动量为 uwdxdydt 对 t取平均 得单位时间内在z方向输送的x方向的动量为 单位时间 单位面积x方向的动量在z方向的输送量为 湍流热量通量 eddyheatflux 湍流水汽通量 eddymoistureflux 2 通量输送 以热通量为例分析热夏近地面一个理想的小湍涡 在这种近地层中 平均位温廓线通常是超绝热的 图a 平均运动涡动通量为正 图b 平均运动涡动通量为负 说明 即使没有质量净输送 0 湍流也能产生象热量那样的净输送 在这种情况下湍流涡动向上输送热量 必然使递减率更加绝热 五 求和符号热通量有3个分量 而动量通量有9个 要把每个分量都写成独立的预报方程是很麻烦的 为了简便 我们常应用爱因斯坦求和符号 1 定义和规则设m n q是可以各取1 2或3的整数变量指数 也叫自由指数 Am代表一般的速度矢量 Xm代表一般的单位矢量 三个笛卡儿方向中一个方向上的单位长度矢量 如 m 1 A1 uX1 x q 3 A3 wX3 z 1 变量无自由指数 标量变量带有1个自由指数 矢量变量带有2个自由指数 张量 2 单位矢量 3 克罗内克 即使有两个指数也是一个标量 单位矢量和克罗内克容易混淆 为了区别它们 我们必须记住 克罗内克是标量 而且总有两个下标 而单位矢量是矢量 总有一个下标 4 交变单位张量 即使有三个指数也是一个标量 2 应用规则a 每当两个相同的指数出现在同一项中时 它总是意味着重复指数取每一个值 1 2 3 后对该项求和 b 每当一个指数在某一项中出现不求和 自由 时 那么同指数在该方程所有项中都必须不求和 因此该方程就能有效地代表三个方程 用一个值就可以代替不求和指数的各个值 3 例题 1 展开 2 为了定量的描述和预报边界层状况 我们借助于描述大气中气体动力学和热力学的流体力学方程 这些方程可直接应用于湍流 但我们很难得到各种尺度湍涡的初始资料和边界条件资料 我们没必要去预报所有湍流尺度的运动 为简单起见 我们选择某个截止湍涡大小 低于这一尺度 我们只考虑湍流的影响 在中尺度和天气尺度模式中 这个截止尺度为10 100km 在一些大涡模拟模式的边界层模式中 这个尺度为100km 第二节湍流运动的控制方程 方法学 1 确定应用于边界层的基本控制方程2 把全导数展开为局地和平流两部分3 把方程中的因变量展开成平均和湍流两部分4 方程的雷诺平均得湍流中平均变量的方程5 引入连续性方程 把结果变成通量形式6 从步骤3方程中减去步骤5方程 得到偏离平均的湍流偏差方程 这是方差方程和协方差方程的基础方程7 将基础方程乘以2倍的湍流偏差量 运用乘积的微分原理 得到方差方程8 将湍流偏差方程乘以速度扰动后和速度扰动方程乘以湍流偏差量的方程合并成通量形式 得到湍流通量方程 一 基本控制方程边界层运动特征 1 必须考虑地球自转的影响 引入科氏力 2 主要考虑大气密度在铅直方向的不均匀 3 大气运动的水平尺度大于垂直尺度 可视为浅层流体 4 主要是湍流运动 运动方程中增加湍流项 考虑到第2 3的特点 在运动方程中引入Boussinesq近似 1 连续性方程中不考虑密度的个别变化 即近似做不可压缩处理 2 在与重力相联系的垂直运动方程中 部分地考虑密度变化的影响 即存在阿基米德浮力与重力之差值 净浮力 3 在状态方程或热流量方程中需考虑密度变化的影响 而密度变化主要是由温度脉动所引起的 4 空气的分子粘性系数和分子热传导系数可作常值处理 基本假定 1 动力粘滞系数 为常数 2 流体中的分子导温系数是常数 3 大气属于浅层流体 4 描写流体热力状态的特征量可以表示为 p p0 z pd x y z t 0 z d x y z t T T0 z Td x y z t 偏差量远小于基本量 并认为基本状态是静力平衡的 绝热的 满足理想气体状态方程 即 将代入左端第一式 大气边界层的垂直范围小 该层内的密度变化不大 此项可忽略 速度远小于声速时 此项很小 可略 在边界层内 可近似认为大气是不可压缩的 1 连续方程 2 状态方程将各个量写成基本量与偏差量之和 求雷诺平均 并与上式相减得 除以 1 式可以证明气压扰动对密度的变化贡献很小 状态方程中密度的偏差主要是由于温度的偏差引起的 高于平均温度的空气就是小于平均密度的空气 1 3 位温方程由位温的定义 绝热大气中扰动温度的铅直梯度可以用位温的铅直梯度来近似 4 动量守恒 运动方程 将各个量写成平均和扰动之和 略去小项可使方程简化 取包辛涅斯克近似 惯性 储存 项中略去密度变化 但在浮力项中保留它的过程 实际应用 给定原始控制方程 每个 换成 每个g换成 5 水汽守恒方程q 空气总比湿 单位湿空气质量的含水量 q 空气中水汽分子扩散率 q 方程中不含其它过程时的净水体源 汇项 6 热量守恒方程 p 与E相变有关的潜热 j 净辐射在第j方向上的分量 大气边界层运动的特点1 连续方程方程中不密度的扰动 仍认为大气是不可压缩的2 状态方程中密度的偏差项主要由温度偏差引起的3 运动方程中 由于温度的扰动产生的密度扰动在重力作用的配合下 构成了阿基米德净浮力 它主要存在于垂直分量的运动方程中 二 平均流动方程和湍流运动方程 连续方程 运动方程 将各个量写成平均和扰动之和 运动方程中的非线性项发生变化 再求雷诺平均 其它项如 得平均方程 运动方程与平均方程相减得湍流脉动预报方程 近地层厚度简化方程 定常 水平均匀条件下 取x方向为地面风方向 v 0 当i 1时 边界层内的气压梯度力可以用地转风来代替 增加项 2 2 1 2 2 1 可写为 上式说明在边界层内 湍流铅直通量随高度是递减的 将上式两端除以地面摩擦速度的平方 并写成差分形式有 为地面风与地转风的夹角 f 1 2 10 4s 1 20O 25Ohc 20 80m如果风大 即u 很大 hc可达一 二百米 4 热量守恒方程 3 水汽守恒方程 注意 在各个守恒方程中 除质量守恒方程外都有分子扩散项或粘性项 大气观测结果指出 除地面以上最低的几公分之外 分子扩散项总比其它项小几个数量级 可以忽略 例题 1 设湍流热通量随高度线性递减其中a 0 3 Kms 1 和b 3 10 4 Ks 1 如果初始位温廓线是任意形状 那么1小时后廓线的最终形状是什么样子 略去下沉 辐射和潜热加热并假设水平均匀 这个结果不是z的函数 所以探测时每个高度上的空气以相同的速率增温 对时间t积分得1小时后的增温为1 08K 2 如果10m s水平风速把干空气平流到某一区域 该区水汽水平梯度为 5g水 kg气 100km 那么要保持定常状态的比湿 边界层湍流水汽通量的垂直梯度是多大 假设所有的水都是汽态 而且不存在水汽体源 务必说明你的补充假设 忽略下沉和水平通量梯度的数据有 第三节湍流通量和方差预报方程 上面介绍的各个量如温度 速度等平均值预报方程中 均含有等协方差项 这一节我们推导方差和协方差方程 方差方程向我们提供湍流能量和湍流强度的信息 而协方差方程则是描述运动湍流通量的 一 方差方程1 速度方差方程 运动方程 以2ui 乘以速度脉动方程 利用乘积的微分规则做类似的变换 并对整个方程求雷诺平均 方程右端最后一项的雷诺平均为零 方程左端最后一项 将湍流连续方程乘以与这一项相加的通量形式耗散项 则IIIIII第2项为速度方差的分子扩散 它含有方差的曲率 从混合层10 6s 2到近地层10 2s 2 乘以 后 量级为10 11 10 7m2s 3 第3项 如穿过一个直径为1cm的湍涡 其湍涡速度变化为0 1m s 则穿过这个湍涡的瞬时切变为10s 1 对于更小的湍涡来讲 这个切变就更大了 该值平方乘以 后 其值为10 6 10 2m2s 3之间 混合层典型值10 4 10 3m2s 3 定义粘滞耗散 气压扰动项 右端最后一项为气压再分配项 由扰动的连续方程可知这一项为零 此项不能改变总方差 三个方差分量之和 但它能从含有大能量分量中提取能量分配到小能量分量中 使湍流趋于各向同性 所以此项也叫返回各向同性项 科氏力项 科氏力不产生湍流动能 只能把能量从一个水平方向再分配到另一个水平方向 且这一项总比其它项小3个量级 即使这一项在方差和协方差方程中不为零 也往往被忽略不计 重新整理 简化后的方差收支方程为 2 湿度方差方程从比湿扰动方程入手 两边乘以2q 利用乘积的微分规则 并求雷诺平均得 类似速度方差方程的处理 将最后一项改写 最后得 3 位温方差方程二 协方差方程1 湍流通量预报方程将u 扰动方程两边乘以u k 并取雷诺平均得 将指数i和k的位置互换后 将两个方程相加 合并相关项 写成通量的形式 并求雷诺平均 方程左端最后一项与连续方程合并写成通量形式 气压项 粘滞项 所以有 通量方程可写为 各项的物理意义 第10项可简写为尺度理论认为 科氏力项6 气压扩散项7和分子扩散项9通常小于其它项 可略 2 水汽通量方程将湿度扰动方程乘u 求雷诺平均 将速度扰动方程乘q 求雷诺平均 略去科氏力项 气压扩散项和分子扩散项 并设 q 后 将上面两个方程相加 3 热通量方程 三 热通量 水汽通量及归一化通量个例分析 热通量 从地面大的正值开始 逐渐减小 到混合层顶部附近变为负值 水汽通量 数值非常分散 一般讲 地面是正值 这以为着水分是从地面蒸发进入空气的 混合层顶部正下方也是正值 它是干空气夹卷向下输送进入混合层的 湿空气向上运动和干空气向下运动都是正水汽通量 四 TKE收支方程从速度方差方程入手 求和在除以2 得到TKE方程IIIIIIIVVVIVIII 储存 图3 1 每个周日循环中TKE都出现了显著的增强和减弱 TKE从清晨的小值增大到午后的大值 到下午又减少 II 平流 下垫面平坦时 TKE往往没有显著的变化 可忽略此项 但对小尺度湍流讲较为重要 一个比周围陆地冷的水库 陆地上空温度高 湍流活跃 当平均风将陆地上空空气吹向水库两岸时 就有明显的TKE变化 III 浮力产生或消耗 图3 2 图3 1 图3 2 浮力项的突出部分是虚位温通量 该通量为正 在地面附近 是大的正值 热泡效应 在混合层底部2 3范围内随高度线性递减 只要下垫面较暖 它总是与湍流大的产生率相对应 此项在自由对流的白天非常重要 它经常被用来归一化其它各项 被用来除以尺度参数使无量纲后产生的方程我们称为归一化方程 浮力项只对TKE的垂直分量起作用 因而这个产生项是各向异性的 静力稳定条件下 通过湍流中垂直运动的气块受浮力作用又被强迫返回初始高度 此时静力稳定度往往会抑制或消耗TKE 这种条件存在于夜间大陆上空稳定边界层中 地面比上覆空气冷的其它时间 IV 机械 切变 产生项尽管前面是负号 但动量通量与平均风切变相反 所以结果是产生湍流 在地面以上的混合层中 风随高度基本不变 零切变 对应零的湍流切变产生率 因为湍流切变产生的垂直范围有限 所以它往往与近地层关系密切 最强的风切变总是与平均风速u v分量随高度变化有关 除雷暴外 w的切变在边界层中很小 回顾脉动方差方程 切变产生对TKE的x y分量最强 故切变产生项也是一种各向异性作用项 水平方向强 根据浮力项和切变项的相对大小来划分湍流的性质 当浮力项远超过机械项时 自由对流尺度是有效的 反之 强迫对流尺度是有效的 阴天多风时多为强迫对流 大多数时间 浮力和切变对湍流都有贡献 所以湍流既不处于自由对流状态 也不处于强迫对流状态 强迫对流摩擦速度 特征温度 表面层涡的温度脉动特征湿度 2 自由对流速度尺度 与热泡中垂直速度脉动一致 对地面有强烈加热作用的深混合层来说 这一量级为1 2m s 时间尺度 多数混合层中 大约为5 15分钟 时间尺度大体上等于热泡中的空气在混合层底部和顶端循环一次的时间 温度尺度 这个值大约为0 01 0 3K 它大体上表示出热泡比周围空气暖多少 湿度尺度 这个值大约为0 01 0 5g水 kg气 能大致估计出热泡中过剩的水汽 V 湍流输送局地尺度而言 既可以是产生项 也可以是损失项 但对整个混合层进行积分时 等于零 VI 气压相关项大气层中测量静压脉动很困难 脉动量从近地层的0 005kPa到混合层的0 001kPa 即使十分灵敏的气压传感器测量 也会受到与湍流和平均运动有关动压扰动的干扰 故从实验数据测出的之类的相关往往含有比信号更多的噪声 我们只能通过讨论TKE收支方程中其它项的余项中估算 这势必产生收支方程中其余项累计误差 而这一项可能很大 故值不确定 VII 耗散项推导方差方程时 定义粘滞耗散 湍涡尺度越小 量级越大 即小尺度湍涡越强 耗散越大 图3 3 白天耗散率最大值在近地面 在混合层较为稳定 混合层以上 耗散率为零 图3 4 夜间 耗散率随高度迅速减小 图3 3 图3 4 例题 在1000m厚的混合层中 在高度z 300m处观测到下列情况 此外 地面虚位温通量是0 24Kms 1 如果忽略气压和湍流输送 那么在z 300米处维持定常状态要求多大的耗散率 归一化TKE项的值是多少 假设横坐标与平均风一致 水平均匀 并忽略下沉 此时的TKE方程为 代入各值得 5 23 10 3m2s 3 已知下面的TKE方程 IIIIIIIVVVIVII回答 1 哪一项永远是损失项2 哪一项既不产生也不破坏TKE3 哪一项因分子效应所致4 在阴而有风的白天哪一产生项最大5 在陆上静风有太阳时 哪一产生项最大6 哪一项倾向于使湍流更均匀7 哪一项使湍流倾向于非各项同性8 哪一项描述湍流的定常性 第四节闭合技术 一 闭合问题1 湍流方程组中未知数的个数大于方程组的数量 2 解决方法 使用一个有限数目的方程组 然后用已知量来近似未知量 这种闭合近似或闭合假说是通过保留最高阶的预报方程命名的 局部闭合 空间任一点的未知量是用同一点已知量的值和 或 梯度来参数化的 一般为2 3阶闭合 非局部闭合 空间任一点的未知量是用空间许多点的已知量的值和 或 梯度来参数化的 它假设湍流是涡的相互叠加 每个涡都象平流过程那样输送着流体 基本是1阶闭合 ACM1方案与ACM2方案垂直交换示意图 最早的跳跃矩阵模式ACM1是由Blackadar对流模式改进而来 认为向上的对流输送是由浮力烟羽作用 从代表地面层的模式最底层直接传递到其它层 而向下是由于补偿性下沉 compensatorysubsidence 作用逐层传递的 见图1 ACM1的主要不足之处是当垂直分辨率增加时局部向上扩散处理不够完善 新的第二版ACM2模式在非局地输送中增加了湍涡扩散 可以更好地模拟垂直廓线 特别是近地面处梯度逐渐增加的现象可以很好地模拟出来 WRF模式中的ABL参数化方案 二 闭合方案 1 0阶闭合0阶闭合即没有被保留的预报方程 甚至不保留平均量的预报方程 平均风 温 湿度等平均量是作为时间和空间函数直接参数化的 这种方法在边界层中应用很少 只有在湍流运动不占重要地位的某些大气区域内 才采用0阶闭合 有时在求某些问题的解析解时 也用0阶闭合 2 1阶闭合保留平均量的预报方程 二阶矩量如等用已知量参数化 设任一变量 类似分子传导现象有 K m2 s K理论或梯度输送理论 仅适用于小涡输送 在大尺度湍涡中往往失败 典型的湍流交换系数有三种 动量交换系数Km 热量交换系数KH和水汽交换系数KE 三者量级相同 中性时 KH KE 1 35Km 例题 闭合方程组用梯度输送理论闭合方程组 应用 理论时 为了方便常假设 常数 这是个不真实的假设 雷诺应力类似分子应力 而把分子粘滞系数转换成相应的涡动粘滞系数 m 由于产生混合时 湍流影响比粘滞性大得多 所以 m m 0 2 200m2 s 典型值为1 10m2 s 而 1 5 10 5m2 s的量级上 另一个显著的区别是 是流体的函数 由流体的化学成分及状态 温 压等 确定 而 m随湍流而变 是流动的函数 所以为了准确应用 理论 需把 作为稳定度的函数来进行参数化 3 阶闭合考虑理想的干环境 水平均匀 没有下沉情况 预报方程有 平均变量方程