概率统计A3.ppt

第三节条件概率 一 条件概率二 乘法公式三 全概率公式与贝叶斯公式 引例袋中有7只白球 3只红球 白球中有4只木球 3只塑料球 红球中有2只木球 1只塑料球 现从袋中任取1球 假设每个球被取到的可能性相同 若已知取到的球是白球 问它是木球的概率是多少 设A表示任取一球 取得白球 B表示任取一球 取得木球 所求的概率称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 记为 解列表 从而有 一 条件概率 例1一个家庭中有两个小孩 已知其中一个是女孩 问另一个也是女孩的概率是多少 假定生男生女是等可能的 由题意 样本空间为 1 表示事件 至少有一个是女孩 表示事件 两个都是女孩 则有 由于事件已经发生 所以这时试验的所有可能结果只有三种 而事件包含的基本事件只占其中的一种 所以有 解 在这个例子中 若不知道事件已经发生的信息 那么事件发生的概率为 其原因在于事件的发生改变了样本空间 使它由原来的缩减为 而是在新的样本空间中由古典概率的计算公式而得到的 这里 2 关系式 2 不仅对上述特例成立 对一般的古典概型和几何概型问题 也可以证明它是成立的 上例中计算P B A 的方法并不普遍适用 如果回到原来的样本空间W中考虑 显然有 从而 即 3 可以验证 条件概率P A 满足概率公理化定义中的三条公理 定义1 事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 根据具体的情况 可选用下列两种方法之一来计算条件概率P B A 1 在缩减后WA的样本空间中计算 2 在原来的样本空间W中 直接由定义计算 1非负性2规范性3可列可加性 条件概率也是概率 故具有概率的性质 例2一袋中有10个球 其中3个黑球 7个白球 依次从袋中不放回取两球 1 已知第一次取出的是黑球 求第二次取出的仍是黑球的概率 2 已知第二次取出的是黑球 求第一次取出的也是黑球的概率 解 1 可以在缩减的样本空间WA1上计算 因为A1已发生 即第一次取得的是黑球 第二次取球时 所有可取的球只有9只 WA中所含的基本事件数为9 其中黑球只剩下2个 所以 记 2 由于第二次取球发生在第一次取球之后 故WA2的结构并不直观 因此 直接在W中用定义计算P A1 A2 更方便些 因为 所以 例3人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄段的人在下一年仍然存活的概率 根据统计资料可知 某城市的人由出生活到50岁的概率为0 90718 存活到51岁的概率为0 90135 问现在已经50岁的人 能够活到51岁的概率是多少 解 记 因此 要求 显然 因为 从而 可知该城市的人在50岁到51岁之间死亡的概率约为0 00643 在平均意义下 该年龄段中每千个人中间约有6 43人死亡 二 乘法公式 定理1 乘法公式 则由归纳法可得 则由 可得 例盒中装有5个产品 其中3个一等品 2个二等品 从中不放回地取产品 每次1个 求 1 取两次 两次都取得一等品的概率 2 取两次 第二次取得一等品的概率 3 取两次 已知第二次取得一等品 求第一次取得的是二等品的概率 解令Ai为第i次取到一等品 1 2 3 条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系 若 一般地 例4为了防止意外 矿井内同时装有A与B两两种报警设备 已知设备A单独使用时有效的概率为0 92 设备B单独使用时有效的概率为0 93 在设备A失效的条件下 设备B有效的概率为0 85 求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率 设事件A B分别表示设备A B有效 已知 求 解 解 由 即 故 解法二 三 全概率公式与贝叶斯公式 下面用概率的有限可加性及条件概率的定义和乘法定理建立两个计算概率的公式 先引入一个例子 例6某工厂的两个车间生产同型号的家用电器 据以往经验 第1车间的次品率为0 15 第2车间的次品率为0 12 两个车间生产的成品混合堆放在一个仓库里且无区分标志 假设第1 2车间生产的成品比例为2 3 1 在仓库中随机地取一件成品 求它是次品的概率 2 在仓库中随机地取一只成品 若已知取到的是次品 问该此次品分别是由第1 2车间生产的概率为多少 解 1 记 2 问题归结为计算和 由条件概率的定义及乘法公式 有 定义2 定理2 全概率公式 则 设试验E的样本空间为 定理3 贝叶斯 Bayes 公式 与全概率公式刚好相反 贝叶斯公式主要用于当观察到一个事件已经发生时 去求导致所观察到的事件发生的各种原因 情况或途径的可能性大小 B1 Bn AB1 AB2 ABn A B2 例7假设在某时期内影响股票价格变化的因素只有银行存款利率的变化 经分析 该时期内利率下调的概率为60 利率不变的概率为40 根据经验 在利率下调时某支股票上涨的概率为80 在利率不变时 这支股票上涨的概率为40 求这支股票上涨的概率 解 故由全概率公式 例8由医学统计数据分析可知 人群中患由某种病菌引起的疾病占总人数的0 5 一种血液化验以95 的概率将患有此疾病的人检查出呈阳性 但也以1 的概率误将不患此疾病的人检验出呈阳性 现设某人检查出呈阳性反应 问他确患有此疾病的概率是多少 解 显然 且已知 由贝叶斯公式可得 记 例9玻璃杯成箱出售 每箱20只 假设各箱含0 1 2只残次品的概率相应地为0 8 0 1和0 1 一顾客欲买一箱玻璃杯 在购买时 售货员随机地