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第4章李亚普诺夫稳定性分析4 1引言4 2李亚普诺夫稳定性的基本概念4 3李亚普诺夫稳定性定理4 4线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析4 5线性时变系统李亚普诺夫函数的求法4 6非线性系统李亚普诺夫稳定性分析4 7李亚普诺夫直接法应用举例 4 1引言 稳定性和能控性 能观测性一样 均是系统的结构性质 稳定性是自动控制系统能否正常工作的先决条件 因此判别系统的稳定性及如何改善其稳定性是系统分析和综合的首要问题 一个动态系统的稳定性 通常指系统的平衡状态是否稳定 简单地说 稳定性是指系统在扰动消失后 由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能 其是系统的一个自身动态属性 1892年 俄国学者李亚普诺夫在他的博士论文 运动稳定性的一般问题 中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动稳定性给出了严格定义 提出了解决稳定性问题的一般理论 即李亚普诺夫稳定性理论 该理论基于系统的状态空间描述法 是对单变量 多变量 线性 非线性 定常 时变系统稳定性分析皆适用的通用方法 是现代稳定性理论的重要基础和现代控制理论的重要组成部分 基于输入 输出描述法描述的是系统的外部特性 因此 经典控制理论中的稳定性一般指输出 外部 稳定性 状态空间描述法不仅描述了系统的外部特性 且全面揭示了系统的内部特性 因此 借助平衡状态稳定与否的特征所研究的系统稳定性指状态 内部 稳定性 李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法 即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法 李亚普诺夫第一法 简称李氏第一法或间接法 是通过解系统的微分方程式 然后根据解的性质来判断系统的稳定性 其基本思路和分析方法与经典控制理论一致 对线性定常系统 只需解出全部特征根即可判断稳定性 对非线性系统 则采用微偏线性化的方法处理 即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方程来判断稳定性 故只能判断在平衡状态附近很小范围的稳定性 李亚普诺夫第二法 简称李氏第二法或直接法 的特点是不必求解系统的微分方程式 就可以对系统的稳定性进行分析判断 该方法建立在能量观点的基础上 若系统的某个平衡状态是渐近稳定的 则随着系统的运动 其储存的能量将随时间增长而不断衰减 直至时系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小值 由此 李亚普诺夫创立了一个可模拟系统能量的 广义能量 函数 根据这个标量函数的性质来判断系统的稳定性 由于该方法不必求解系统的微分方程就能直接判断其稳定性 故又称为直接法 其最大优点在于对任何复杂系统都适用 而对于运动方程求解困难的高阶系统 非线性系统以及时变系统的稳定性分析 则更能显示出优越性 4 2李亚普诺夫稳定性的基本概念 4 2 1平衡状态 稳定性是系统在平衡状态下受到扰动后 系统自由运动的性质 与外部输入无关 对于系统自由运动 令输入u 0 系统的齐次状态方程为 4 1 式中 x为n维状态向量 且显含时间变量t 为线性或非线性 定常或时变的n维向量函数 其展开式为 4 2 式 4 1 的解为 4 3 式中 为初始时刻 为状态向量的初始值 式 4 3 描述了系统式 4 1 在n维状态空间的状态轨线 若在式 4 1 所描述的系统中 存在状态点 当系统运动到达该点时 系统状态各分量维持平衡 不再随时间变化 即 该类状态点即为系统的平衡状态 即 若系统式 4 1 存在状态向量 对所有时间t 都使 4 4 成立 则称为系统的平衡状态 由平衡状态在状态空间中所确定的点 称为平衡点 式 4 4 为确定式 4 1 所描述系统平衡状态的方程 例4 1 设系统的状态方程为 求其平衡状态 解其平衡状态应满足平衡方程式 4 4 即 即 解之 得系统存在3个孤立的平衡状态 4 2 2范数 n维状态空间中 向量x的长度 即x到坐标原点的距离 称为向量x的范数 并用表示 即 4 6 而向量的长度 即x到的距离 称为的范数 并用表示 即 4 7 在n维状态空间中 若用点集表示以为中心 为半径的超球域 那么 则表示 4 8 4 2 3李亚普诺夫稳定性定义 1 李亚普诺夫意义下稳定 设为动力学系统式 4 1 的平衡状态 若对任意实数 都对应存在另一实数 使当 4 11 时 系统式 4 1 从任意初始状态出发的解都满足 4 12 则称平衡状态为李亚普诺夫意义下稳定 其中 与和有关 若与无关 则称这种平衡状态是一致稳定的 对定常系统而言 与无关 稳定的平衡状态一定为一致稳定 在二维状态空间中 李亚普诺夫意义下稳定的几何解释如图4 1所示 图4 1李亚普诺夫意义下稳定 2 渐近稳定 经典控制理论稳定性定义 设为动力学系统式 4 1 的平衡状态 若对任意实数 对应存在另一实数 使当时 从任意初始状态出发的解都满足 且对于任意小量总有 4 13 则称平衡状态是渐近稳定的 若与无关 则称这种平衡状态是一致渐近稳定的 渐近稳定的几何意义可理解为 如果平衡状态为李亚普诺夫意义稳定 且从球域内发出的状态轨迹 即式 4 1 的解 当时 不仅不超出球域之外 而且最终收敛于 则平衡状态为渐近稳定 在二维状态空间中 渐近稳定的几何解释如图4 2所示 图4 2渐近稳定 3 大范围渐近稳定性 若初始条件扩展至整个状态空间 即 且平衡状态均具有渐近稳定性时 则称此平衡状态是大范围内渐近稳定的 4 不稳定性 设为动力学系统式 4 1 的平衡状态 若对某个实数和另一实数 当时 总存在一个初始状态 使 4 14 则称平衡状态是不稳定的 不稳定的几何意义可理解为 对于某个给定的球域 无论球域取得多么小 内部总存在一个初始状态 使得从这一状态出发的轨迹最终会超出球域 在二维状态空间中 不稳定的几何解释如图4 3所示 图4 3不稳定 4 3李亚普诺夫稳定性定理 4 3 1二次型函数及其定号性 1 二次型函数及二次型的矩阵表达 二次型函数是一类特殊的标量函数 其可表示为 4 15 式中 P为二次型各项的系数构成的实对称矩阵 称为二次型式 4 15 的权矩阵 即 4 16 式中 为实数 且 式 4 15 表明 二次型函数和其权矩阵P一一对应 可将二次型函数的定号性扩展到其对应权矩阵的定号性 若二次型函数的权矩阵P为n阶实对角矩阵 则对应的二次型只含平方项 称为二次型的标准型 即 4 17 2 标量函数的符号和性质 设V x 为由n维状态向量x所定义的标量函数 且在处 恒有V x 0 对所有在域中的任何非零向量x 如果 1 V x 0 则称V x 为正定的 2 则称V x 为半正定的 3 即为正定的 则称V x 为负定的 4 即为半正定的 则称V x 为半负定的 5 既可为正值也可为负值 则称为不定的 在式 4 15 中 若V x 正定 则称权矩阵P是正定的 且记为 以此类推 可定义二次型权矩阵P的负定 半正定 半负定 并分别记为 二次型函数的定号性与其对应的权矩阵P的定号性一致 判别的符号只要判别实对称矩阵P的符号即可 3 塞尔维斯特 Sylvester 准则 1 实对称矩阵P为正定的充要条件是矩阵P的各阶主子行列式均大于零 即在式 4 16 中 有 4 18 2 实对称矩阵P为负定的充要条件是矩阵P的各阶主子行列式满足 4 19 即 3 实对称矩阵P为半正定的充要条件是矩阵P的前n 1阶主子行列式非负 且矩阵P的行列式为零 即 4 20 4 实对称矩阵P为半负定的充要条件是矩阵P的行列式为零 即detP 0 且矩阵P的前n 1阶主子行列式满足 4 21 例4 2 已知试判定V x 是否正定 解二次型V x 可写成矩阵形式 即 则权矩阵P的各阶主子行列式为 可见 权矩阵P的各阶主子行列式均大于零 由Sylvester准则 可确定二次型V x 正定 4 3 2李亚普诺夫第二法 定理4 1 李亚普诺夫稳定性的基本定理 设系统的状态方程为 4 22 且其平衡状态为 即有 如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V x t 且V x t 及其对时间的导数满足以下条件 1 是正定的 2 是负定的 则系统的平衡状态是一致渐近稳定的 并称是系统的一个李亚普诺夫函数 进一步 若还满足 3 则系统的平衡状态是大范围一致渐近稳定的 定理4 1是一个最基本的稳定性判别定理 对所有系统皆适用 但该定理只给出了判断系统平衡状态渐近稳定的充分条件 而非充要条件 例4 3 已知非线性系统状态方程为 试分析其平衡状态的稳定性 解由系统平衡状态的方程 解出唯一平衡状态 选取标准二次型为李亚普诺夫函数 即 该函数是正定的 沿任意状态轨迹对时间的导数为 将系统状态方程代入上式 得 显然 有 且当时 故负定 因此 所选是满足定理4 1条件的一个李亚普诺夫函数 而且当时 根据定理4 1 系统在平衡点处为大范围渐近稳定 定理4 2 渐近稳定判定定理2 设系统的状态方程为 4 23 且其平衡状态为 即有 如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 且及其对时间的导数满足以下条件 2 是半负定的 1 是正定的 3 但在方程 4 23 的非零解状态运动轨线上不恒等于零 则系统在状态空间原点处的平衡状态是渐近稳定的 进一步 若还有时 则系统的平衡状态是大范围一致渐近稳定的 定理4 3 判断稳定和不稳定的定理 设系统的状态方程为 其平衡状态为 即有 且存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 若及其对时间的导数满足 1 是正定的 2 是半负定的 则系统原点处的平衡状态在李亚普诺夫意义下是一致稳定的 若及其对时间的导数满足 1 是正定的 2 也是正定的 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的 例4 4 设系统的状态方程为 试确定平衡状态的稳定性 解系统为线性定常系统 且系统矩阵非奇异 故状态空间原点为该系统唯一的平衡状态 选取标准二次型作为一个可能的李亚普诺夫函数 即 该函数是正定的 沿任意状态轨迹对时间的导数为 可见 是半负定的 由定理4 3知 系统在原点处的平衡状态一定是李亚普诺夫意义下一致稳定的 但为了进一步判定是否渐近稳定 则应判断在非零解运动轨线是否恒为零 设 则有 即有和 代入系统状态方程得和 这就表明 只有在状态空间原点 才有 而在非零解运动轨线上 不可能恒等于零 则由定理4 2知 是渐近稳定的平衡状态 又时 故进一步可确定系统的平衡状态是大范围一致渐近稳定的 李亚普诺夫函数的存在形式并非唯一 对该例 若另选下列正定二次型函数 为另一个可能的李亚普诺夫函数 则沿任意状态轨迹对时间的导数 是负定的 因此所选为系统的一个李亚普诺夫函数 又时 根据定理4 1 原点处的平衡状态在大范围内渐近稳定 例4 5 设系统的状态方程为 式中 a为大于零的常数 试分析其平衡状态的稳定性 解原点 是系统的唯一平衡状态 试选下列正定二次型函数 为可能的李亚普诺夫函数 则 可见 在任意非零解运动轨线上 恒等于零 因此 系统为在李亚普诺夫意义下稳定 但非渐近稳定 事实上 在任意上 均可保持为零 而则保持为某常数 即 这表示系统自由运动的相轨迹是一系列以原点为中心的椭圆 即系统的零输入响应为无阻尼等幅振荡 系统为在李亚普诺夫意义下稳定 但在经典控制理论中 这种系统称为不稳定系统 例4 6 设系统的状态方程为 试分析其平衡状态的稳定性 解原点 是系统的唯一平衡状态 试选为下列正定二次型函数 沿任意状态轨迹对时间的导数 也是正定的 由定理4 3 该系统在原点处的平衡状态不稳定 4 4线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析 4 4 1李亚普诺夫第一法 间接法 李氏第一法是利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性的方法 适用于线性定常 线性时变及非线性函数可线性化的情况 经典控制理论中关于线性定常系统稳定性的各种判据 均可视为李氏第一法在线性系统中的工程应用 在分析线性定常系统稳定性时 可按经典控制理论的思路 直接由系统矩阵的特征值判断系统的稳定性 定理4 4设线性定常连续系统自由运动的状态方程为 4 24 则系统在平衡状态渐近稳定的充要条件是系统矩阵A的所有特征值均具有负实部 定理4 5设线性定常离散系统自由运动的状态方程为 4 25 则系统在平衡状态渐近稳定的充要条件是系统矩阵G的所有特征值的模都小于1 4 4 2李亚普诺夫第二法 1 线性定常连续系统 定理4 6设线性定常连续系统为 4 26 式中 x为n维状态向量 系统矩阵A为n阶非奇异常数阵 则系统平衡状态为大范围渐近稳定的充要条件是 对任意给定的正定实对称矩阵Q 存在另一个正定实对称矩阵P 满足式 4 27 表示的李亚普诺夫方程 4 27 而标量函数 4 28 是系统的一个二次型形式的李亚普诺夫函数 证明充分性 因为P Q均为正定实对称矩阵且满足李亚普诺夫方程式 4 27 故取正定二次型为一个可能的李亚普诺夫函数 则V x 沿任意状态轨迹对时间的导数 Q正定 则 Q负定 负定 故是大范围渐近稳定的平衡状态 必要性 如果系统式 4 26 在渐近稳定 那么在时间t趋于无穷大时 系统的状态转移矩阵必趋于零 任选一个正定实对称矩阵Q 构造时变对称矩阵 4 29 其满足和而且是矩阵微分方程 4 30 的唯一解 对式 4 30 中的第一式两端从t 0到积分 得 将和代入上式 得 4 31 取 4 32 即可满足 且 表明按式 4 32 选取的P为实对称矩阵 为考察P的正定性 取任意n维非零常数向量 考察由P构成的二次型函数 4 33 式中 为式 4 26 的非零解向量 又Q为正定实对称矩阵 故式 4 33 中的被积函数为正定二次型函数 所以式 4 33 的积分大于零 由此可知实对称矩阵P正定 综上所述 若系统式 4 26 在渐近稳定 则任取一个正定实对称矩阵Q 必存在另一个正定实对称矩阵P 满足李亚普诺夫方程式 4 27 必要性得证 应用定理4 6分析线性定常连续系统的稳定性时应注意如下几点 1 定理4 6所阐述的条件与系统矩阵A的所有特征值均具有负实部的条件等价 因此 定理4 6给出的条件是充分必要条件 实际应用时 常先选取一个正定的实对称矩阵Q 从李亚普诺夫方程式 4 27 求解出对应的实对称矩阵P 然后利用Sylvester准则确定矩阵P的定号性 进而判断系统的渐近稳定性 2 尽管正定实对称矩阵Q的形式可任意选取 最终的判断结果不因所选择的正定实对称矩阵Q形式不同而不同 但为了方便求解李亚普诺夫方程 通常选取正定实对称矩阵Q为单位矩阵I 这时实对称矩阵P应按式 4 34 求解 即 4 34 式中 I为n阶单位矩阵 3 有时为了简化求解实对称矩阵P的运算 矩阵Q也可取为半正定的 这时若由李亚普诺夫方程式 4 27 求解出的实对称矩阵P是正定的 则李亚普诺夫函数 是正定的 而V x 沿任意状态轨迹对时间的 导数半负定 根据定理4 3可判断系统在李亚普诺夫意义下是稳定的 进一步 只要在系统非零解运动轨线上不恒为零 根据定理4 2 可判断系统是渐近稳定的 例4 7 设系统的状态方程为 其平衡状态为坐标原点 试判断这一状态的稳定性 解设可能的李亚普诺夫函数为 其中 P为实对称矩阵 即 且有 又P满足李亚普诺夫方程式 4 27 选取正定实对称矩阵Q为单位矩阵I 代入上式 得 考虑到 则以上矩阵方程可展成如下联立方程组 解出 则矩阵P的各阶主子行列式为 可见 矩阵P的各阶主子行列式均大于零 由Sylvester准则 可确定矩阵P是正定的 因此 系统在原点处的平衡状态是大范围内渐近稳定的 且系统的李亚普诺夫函数及其导数分别为 2 线性定常离散系统 定理4 7设线性定常离散系统自由运动的状态方程为 4 35 则系统在平衡状态处渐近稳定的充要条件为 对任意给定的正定实对称矩阵Q 存在另外一个正定的实对称矩阵P 满足式 4 36 所示离散的李亚普诺夫方程 4 36 且 4 37 是系统的一个李亚普诺夫函数 例4 9 设定常离散系统的状态方程为 试确定系统在平衡状态渐近稳定的条件 解方法一 应用特征值判据 应用定理4 5 系统渐近稳定的充要条件是系统矩阵G的所有特征值的模都小于1 即应满足 和 即只有当系统的所有极点都位于复数平面的单位圆以内时 系统在平衡点处才是大范围渐近稳定的 方法二 应用李亚普诺夫直接法 选取Q I 代入离散的李亚普诺夫方程式 4 36 得 令 代入上式化简 得 将以上矩阵方程展为联立方程组 解得 由Sylvester准则 为使P正定 则要求 和 4 5线性时变系统李亚普诺夫函数的求法 4 5 1线性时变连续系统 定理4 8设线性时变连续系统的状态方程为 4 38 式中 x为n维状态向量 A t 为维系统矩阵 且为时间的函数 则系统在平衡点处大范围渐近稳定的充要条件为 对于任意给定的连续对称正定矩阵Q t 存在一个连续对称正定矩阵P t 满足 4 39 且系统的李亚普诺夫函数是 4 40 定理4 8给出了构造线性时变连续系统李亚普诺夫函数的通用方法 其中 式 4 39 是里卡提 Riccati 矩阵微分方程的特殊情况 4 5 2线性时变离散系统 定理4 9设线性时变离散系统的状态方程为 4 41 则系统在平衡点处大范围渐近稳定的充要条件是 对于任意给定的正定实对称矩阵Q k 存在一个正定实对称矩阵P k 1 满足 4 42 且标量函数 4 43 是系统的一个李亚普诺夫函数 4 6非线性系统李亚普诺夫稳定性分析 4 6 1李亚普诺夫第一法分析非线性系统的稳定性 设n维非线性系统 4 44 其中 x为n维状态向量 f x 为n维函数向量 且对x有连续的偏导数 设为系统的平衡状态 为分析系统式 4 44 在平衡状态附近的稳定性 可将非线性向量在平衡状态附近作向量泰勒级数展开 即 4 45 式中 为级数展开式中大于和等于2阶的项 而 4 46 称为雅可比 Jacobian 矩阵 若令 并取式 4 45 的一次近似式 则得非线性系统式 4 44 的一次近似线性化数学模型 4 47 式中 为常数阵 为式 4 47 的平衡状态 对应于 1 若式 4 47 中系统矩阵A的所有特征值都具有负实部 则原非线性系统式 4 44 的平衡状态是渐近稳定的 2 若式 4 47 中系统矩阵A的特征值 至少有一个具有正实部 则原非线性系统式 4 44 的平衡状态是不稳定的 3 当式 4 47 中系统矩阵A的特征值都不具有正的实部 但至少有一个特征值的实部为零时 原非线性系统式 4 44 不能用一次近似线性模型式 4 47 判断其稳定性 4 6 2李亚普诺夫第二法在非线性系统稳定性分析中的应用 李亚普诺夫第二法是分析系统平衡状态稳定性的强有力工具 对任何复杂系统都适用 而对于运动方程求解困难的高阶系统 非线性系统以及时变系统的稳定性分析 则更能显示出优越性 其不仅适于研究平衡状态附近的小范围的稳定性 也适用于平衡状态附近较大的范围 下面介绍基于李亚普诺夫第二法 直接法 的两种特殊方法 即判断渐近稳定性充分条件的克拉索夫斯基方法和构造李亚普诺夫函数的变量梯度法 1 克拉索夫斯基方法 定理4 10 克拉索夫斯基定理 设不受外部作用的非线性定常系统 4 48 式中 x为n维状态向量 f x 为n维非线性向量函数 且设状态空间原点为系统的平衡状态 即 且f x 对可微 系统的雅可比 Jacobian 矩阵为 4 49 若下列矩阵 是负定的 则该系统在平衡状态是渐近稳定的 且该系统的李亚普诺夫函数为 4 50 而且若当时 还有 那么系统的平衡状态是大范围渐近稳定的 克拉索夫斯基定理对于非线性系统式 4 48 仅给出了其在平衡状态渐近稳定的充分条件 如果矩阵不是负定的 则不能得出关于给定非线性系统平衡状态稳定性的任何结论 例4 10 用克拉索夫斯基方法证明以下系统的平衡状态是大范围渐近稳定的 解由题给条件 则系统的雅可比矩阵为 则 则矩阵的各阶主子行列式为 由Sylvester准则 可判定是负定的 而且当时 还有 则根据克拉索夫斯基定理 可确定系统的平衡状态是大范围渐近稳定的 2 变量梯度法 变量梯度法由舒茨 Schultz 和基布逊 Gibson 在1962年提出 其是构造非线性系统李亚普诺夫函数比较实用的方法 设非线性系统为 4 51 式中 x是n维状态向量 f x t 是n维向量函数 它的元素是的非线性函数 假设状态空间原点为平衡状态 先假设找到了判断其渐近稳定的李亚普诺夫函数为V x 其为状态x的显函数 而不是时间t的显函数 则V x 的梯度 4 52 存在且唯一 则V x 对时间的导数为 4 53 舒茨和基布逊提出 先把V x 的梯度假设为某种形式 例如一个带待定系数的n维列向量 即 4 54 然后根据为负定或至少为半负定等约束条件确定待定系数 并由此求出符合李亚普诺夫定理要求的V x 和 由式 4 53 可知 V x 可由其梯度做线积分求 即 4 55 这里的积分上限x是整个状态空间中的任意一点 由场论知识 若向量的n维旋度等于零 则式 4 55 的线积分与积分路径无关 而的充要条件是向量的雅可比矩阵 4 56 是对称矩阵 即满足如下个旋度方程 4 57 当式 4 57 所示的条件满足时 式 4 55 所示求V x 的线积分与积分路径无关 这时可选择一条使线积分计算最简的路径 即依序沿各坐标轴方向逐点分段积分 即 4 58 按变量梯度法构造李亚普诺夫函数V x 的步骤为 1 将李亚普诺夫函数V x 的梯度设为如式 4 54 所示的带待定系数的n维列向量的形式 其中为待定系数 其可为常数 也可为t的函数或 和 状态变量的函数 应用中 为了简化计算 通常将选择为常数或t的函数 一些待定系数也可选择为零 2 据式 4 53 由写出 由是负定的或至少是半负定的约束