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海岸线长度问题 数学文化 课程组 经典的欧氏几何学研究的对象是那些光滑和规则的空间形体 它们一般都具有整数的维数 比如 零维的点 一维的线 直线与曲线 二维的面 平面和曲面 三维的立体 多面体和球体等 四维的时空等 然而 自然界是很复杂的 还普遍存在不光滑和不规则的空间构形 如弯弯曲曲的海岸线 起伏不平的山脉 粗糙不堪的断面 变幻无常的浮云 九曲回肠的河流 纵横交错的血管 令人眼花撩乱的满天繁星等等 所有这些对象很难 也不可能用欧氏几何来描述 因为它们的维数不一定是整数 而是存在一个分数维数 正因为如此这些形体一直被视为 病态 的 数学怪物 而被排除在传统数学之外 近几十年 随着科学技术的迅猛发展以及人们对物质世界和人类社会看法的改变 数学家们开始了对这个 数学怪物 的探索 产生了几何学的新兴分支 分形几何学 英国的海岸线有多长 一 问题的产生 一 问题的产生 英国的海岸线有多长 英国数学家理查森 Richardson 1881 1953 查了欧洲许多版本的百科全书 发现其中对英国海岸线的长度说法不一 出入最多达到20 显然 通常的测量是不可能产生这么大的误差的 那这20 的差距是如何产生的呢 对这一问题进行深入研究的是美籍法国数学家 计算机专家蒙德尔布罗 Mandelbrot 1924 2010 他于1967年在国际权威的美国 科学 杂志上发表了一篇奇怪却具有划时代意义的论文 英国的海岸线有多长 统计自相似性与分数维 文中蒙德尔布罗对英国海岸线长度的问题作出了回答 不过他的回答却让人大吃一惊 他认为无论测量的多么仔细认真 都不可能得到英国海岸线的准确长度 因为根本就不会有准确的答案 英国的海岸线长度是不确定的 一 问题的产生 1 英国的海岸线有多长 当你用一把固定长度的直尺 没有刻度 来测量时 对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线 只能用直线来近似 因此 测得的长度是不精确的 如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处 就会发现 这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的 随着你不停地缩短你的尺子 你发现的细小曲线就越多 你测得的曲线长度也就越大 如果尺子小到无限 测得的长度也是无限 刘徽 割圆术 2 柯克曲线 1904年 瑞典数学家柯克 Koch 1870 1924 构造了一种雪花形状的曲线 我们习惯上称为柯克雪花曲线 这一曲线巧妙地解释了蒙德尔布罗的分形几何思想 其构造方法如下 1 取一个边长为1的正三角形 在每个边上以中间的1 3为一边 向外侧凸出作一个正三角形 2 将原来边上中间的1 3部分擦掉 就构成了一个很像雪花形状的有12条边的六角星 3 再以上图中每边上中间的1 3为一边 向外凸出作一个正三角形 然后把原来边上中间的1 3部分擦掉 就构成了一个更像雪花的六角星 这个六角星有48条边 4 重复以上步骤 不断做下去 得到的图形就是柯克雪花曲线 自相似 的特点 柯克曲线自身的任何一个局部 放大后都与整体非常相似 柯克曲线是通过无限的步骤创造的 这无限步骤中的每一步 都是在上一部图形的每个边上 以中间的1 3为一边 向外侧突出作一个正三角形 再把原来边上中间的1 3部分擦掉 这样 柯克曲线自身的任何一个局部 如此不断地做下去 与整体是非常相似的 Koch曲线 雪花曲线令惊异的性质是 它具有有限的面积 但却有着无限的周长 雪花曲线的周长持续增加而没有界限 但整条曲线却可以画在一张很小的纸上 所以它的面积是有限的 实际上其面积等于原三角形面积的8 5倍 蒙德尔布罗认为 海岸线更接近于柯克曲线的形式 1 海岸线是没有规则的 不能用函数表达出来 2 海岸线在各种尺度上都有同样程度的不规则性 3 海岸线的部分和整体是很相似的 无论从远处观察还是从近处观察都一样复杂 有自相似性 二 分形 1 客观世界的 分形 B B Mandelbrot 我从拉丁文形容词fractus 分裂的 造出了fractal 分形 这个词 相应的拉丁文动词fragere的意义是 使碎裂 造成不规则的碎片 多么符合我们的需要啊 这样 除了 分裂的 像在 分数 或 折射 中那样 fracus还应该有 不规则的 之意 这两个意义都继承保留了下来 客观世界中更多的是 分形 平面分形图形 海岸线 柯克曲线 下雨区域的边界 指纹和掌纹 河流的水系图 蜗牛爬过的路线等 空间分形图形 天空中的云 地面上的山 河流的河道 树皮 DNA螺旋线 人的血管分叉 闪电的线路 人的经络等等 山 星云 星云 天空中的云朵 植物的叶子 河流分布图 整体中的小块 从远处看是不成形的小点 近处看则发现它变得轮廓分明 其外形大致和以前观察的整体形状相似 自然界提供了许多分形实例 例如 羊齿植物 菜花和硬花甘兰 以及许多其他植物 它们的每一分支和嫩枝都与其整体非常相似 其生成规则保证了小尺度上的特征成长后就变成大尺度上的特征 B B Mandelbrot 1 蒙德尔布罗集 分形的标志 2 分形图形欣赏 M集的局部放大 M集的多局部放大 2 Cantor三分集 最简单的分形 3 谢尔宾斯基 垫片 3 谢尔宾斯基 地毯 4 门格尔海绵 4 门格尔海绵 谢尔宾斯基金字塔 3 分形维数的定义 用迭代函数算法画的树 分形艺术图片欣赏 美国气象学家E N Lorenz在天气预报中的发现是混沌认识过程中的一个里程碑 天气预报是怎么做出来的 1 分析 研究和总结天气的规律 2 将这些规律表示成微分方程的形式 3 编程输入计算机作为一个固定的模式 4 采样 当地今天各个时间的气温 空气湿度 气压 风向 风力等数据 5 将所得的数据输入计算机 通过程序得到明天各个时间的数据 6 计算机自动将明天各个时间的数据输入 得到后天的数据 7 重复 6 得到近几天的天气预报 三 混沌 1 洛仑兹的天气预报 1963年 他在麻省理工学院操作着一台当时比较的先进工具 计算机进行天气模拟 试图进行长期天气预报 Lorenz发现 天气运动的规律不同于人们通常研究的物质运动规律 人们通常研究的物质运动 小的初值改变只会导致结果的小改变 而天气运动不然 天气运动是 混沌 运动 Lorenz发现混沌运动的两个重要特点 1 对初值极端敏感 2 解并不是完全随机的 Lorenz之后 混沌学的研究开始蓬勃发展 三 混沌 1 洛仑兹的天气预报 三 混沌 洛仑兹 巴西的蝴蝶扇一下翅膀 可能会引起几周后美国德克萨斯州有一场风暴 蝴蝶效应 butterflyeffect 蝴蝶效应的原因就是蝴蝶扇动翅膀的运动 导致其身边的空气系统发生变化 并产生微弱的气流 而微弱的气流的产生又会引起四周空气或其他系统产生相应的变化 由此引起一个连锁反应 最终导致其他系统的极大变化 蝴蝶效应是指在一个动力系统中 初始条件下微小的变化能带动整个系统的长期的巨大的连锁反应 这是一种混沌现象 三 混沌 三 混沌 蝴蝶效应被应用在天气 股票市场等在一定时段难以预测的比较复杂的系统中 在社会学 心理学领域均有应用 心理学中的蝴蝶效应是指一件表面上看来毫无关系 非常微小的事情 可能带来巨大的改变 此效应说明 事物发展的结果 对初始条件具有极为敏感的依赖性 初始条件的极小偏差 将会引起结果的极大差异 当一个人小时候受到微小的心理刺激 长大后这个刺激会被放大 三 混沌 蝴蝶效应之所以令人着迷 令人激动 发人深省 不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩 更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力 西方民谣 钉子缺 蹄铁卸 蹄铁卸 战马蹶 战马蹶 骑士绝 骑士绝 战事折 战事折 国家灭 丢失一个钉子 坏了一只蹄铁 坏了一只蹄铁 折了一匹战马 折了一匹战马 伤了一位骑士 伤了一位骑士 输了一场战斗 输了一场战斗 亡了一个帝国 三 混沌 假设美国此时有一个人抽烟 不小心把没熄灭的烟头扔在了床边 然后出门上班了 大约20分钟后 烟头慢慢引燃床单 火越来越大 逐渐蔓延到左邻右舍 引起煤气罐的连环爆炸 这时的美国人已经对 恐怖袭击 胆战心惊 而这个肇事者 扔烟头的人 却忘了自己曾扔过烟头 于是在一时无法查明原因的情况下 暂时被定为 恐怖袭击 这样 惊恐万状的人们纷纷抛售股票 引起股市大跌 人们下降的消费信心影响了整个美国经济 最后造成美元贬值 由于美元的持续贬值 使得以美元标价的基础性原材料价格上扬 盯住美元的人民币价格也相应上扬 从而导致以原材料为基础的商品价格上涨 引发中国的成本拉动型通货膨胀 一个美国人抽烟和中国的通货膨胀的关系 逻辑斯蒂映射 Logistic 首先选定一个在 0 4 区间内的参数k 然后对于任意一个 0 1 区间内的初始值x 0 我们令x 1 kx 0 1 x 0 由均值不等式可知x 1也在 0 1 区间内 可以继续令x 2 kx 1 1 x 1 生物种群数量数学模型 对于取值不太大的k 通过多次迭代发现不管初始值如何 最后结果总是稳定的 而且稳定状态不依赖于初始值 但当k超过3时 情况发生了变化 稳定状态变为两个数值 继续增大k到3 444 时 周期2的稳定状态也不再出现 出现周期4循环 当增大到3 56 周期又加倍到8 到3 567 周期达到16 此后便是更快速的32 64 128 周期倍增数列 这种倍周期分岔速度如此之快 以至到3 5699 就结束了 倍周期分岔现象突然中断 周期性让位于混沌 四 关于混沌的思考 1 混沌的特点1 混沌是决定论系统的内在随机性 这种随机性与我们过去所了解的随机性现象 比如抛硬币等有很大的区别 2 混沌对初值的敏感依赖性 在线性系统中 小扰动只产生结果的小偏差 但对混沌系统 则是 失之毫厘 谬以千里 3 混沌不是简单的无序 更不是通常意义下的有序 2 混沌的意义1 混沌的发现与数学史上的数学危机是不同的 数学危机是人们对于数学根基的质疑 而混沌则是人们在看似简单的问题中发现了复杂的现象 2 混沌绝不单单是有趣的数学现象 混沌是比有序更为普遍的现象 它使我们对物质世界有了更深一层的认识 为我们研究自然的复杂性开辟了一条道路 同时也引出了关于物质世界认识论上的一些哲学思考 五 混沌学的应用 1 通过对生命现象进行的考察 发现各种各样的生物节律既非完全周期 又不可能属于纯粹随机 它们既有与自然界周期 季节 昼夜等 协调的一面 又有着内在的复杂性质 20世纪20年代后期已经有人用非线性电路模拟过心脏搏动 近几年更发现了心律不齐等病症与混沌运动的联系 如果考察人类脑电波 对比就更为尖锐 癫痫患者发病时的脑电波呈明显的周期性 而正常人的脑电波近乎随机讯号 进一步测量表明它们不是随机的 而是接近于混沌系统 虽然距离最终认清它们还很远 但现在已有人进行利用混沌过程预测和控制癫痫 心律不齐等等病症 2 对于气象学研究方面 似乎混沌动力学的发展排除了长期预报的可能性 但是另一方面我们现在对于预报问题有了更符合实际的态度 其实对短期预报和长期预报的要求从来不同 只有对于短期预报 我们才关心变化的细节 对于长期预报 人们更注意各种平均量的发展趋势 例如今后20年内华北年降水量的多少 混沌动力学的进步 恰恰在这