高考数学大一轮复习第六章数列6_2等差数列及其前n项和课件文北师大版

6 2等差数列及其前n项和 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 等差数列的定义 我们称这样的数列为等差数列 称这个常数为等差数列的 通常用字母 表示 2 等差数列的通项公式若首项是a1 公差是d 则这个等差数列的通项公式是 3 等差中项如果在a与b中间插入一个数A 使a A b成等差数列 那么A叫作a与b的等差中项 知识梳理 从第2项起 每一项与前一项的差是同一个常数 公差 d an a1 n 1 d 4 等差数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m N 2 若 an 为等差数列 且k l m n k l m n N 则 3 若 an 是等差数列 公差为d 则 a2n 也是等差数列 公差为 4 若 an bn 是等差数列 则 pan qbn 也是等差数列 5 若 an 是等差数列 公差为d 则ak ak m ak 2m k m N 是公差为的等差数列 6 数列Sm S2m Sm S3m S2m m N 构成等差数列 n m d ak al am an 2d md 5 等差数列的前n项和公式 na1 6 等差数列的前n项和公式与函数的关系 7 等差数列的前n项和的最值在等差数列 an 中 a1 0 d0 则Sn存在最值 大 小 等差数列的四种判断方法 1 定义法 an 1 an d d是常数 an 是等差数列 2 等差中项法 2an 1 an an 2 n N an 是等差数列 3 通项公式 an pn q p q为常数 an 是等差数列 4 前n项和公式 Sn An2 Bn A B为常数 an 是等差数列 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数 则这个数列是等差数列 2 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 3 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 4 已知等差数列 an 的通项公式an 3 2n 则它的公差为 2 1 在等差数列 an 中 若a2 4 a4 2 则a6等于A 1B 0C 1D 6 考点自测 答案 解析 由等差数列的性质 得a6 2a4 a2 2 2 4 0 故选B 2 2016 全国乙卷 已知等差数列 an 前9项的和为27 a10 8 则a100等于A 100B 99C 98D 97 答案 解析 a100 a10 90d 98 故选C 3 2016 江西玉山一中模拟 已知数列 an 是等差数列 其前n项和为Sn 若a3 a4 a5 9 则S7等于A 21B 28C 35D 42 答案 解析 a3 a4 a5 9 a4 3 S7 7a4 21 故选A 4 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 且S10 10 S20 30 则S30 答案 解析 60 S10 S20 S10 S30 S20成等差数列 且S10 10 S20 30 S20 S10 20 S30 30 10 2 10 30 S30 60 5 若等差数列 an 满足a7 a8 a9 0 a7 a10 0 则当n 时 an 的前n项和最大 答案 解析 8 因为数列 an 是等差数列 且a7 a8 a9 3a8 0 所以a8 0 又a7 a10 a8 a9 0 所以a9 0 故当n 8时 其前n项和最大 题型分类深度剖析 题型一等差数列基本量的运算 例1 1 在数列 an 中 若a1 2 且对任意的n N 有2an 1 1 2an 则数列 an 前10项的和为 答案 解析 2 2016 北京 已知 an 为等差数列 Sn为其前n项和 若a1 6 a3 a5 0 则S6 答案 解析 a3 a5 2a4 0 a4 0 又a1 6 a4 a1 3d 0 d 2 6 思维升华 等差数列运算问题的通性通法 1 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程 组 求解 2 等差数列的通项公式及前n项和公式 共涉及五个量a1 an d n Sn 知其中三个就能求另外两个 体现了用方程的思想解决问题 跟踪训练1 1 设Sn是等差数列 an 的前n项和 已知a2 3 a6 11 则S7等于A 13B 35C 49D 63 答案 解析 a1 a7 a2 a6 3 11 14 2 2016 江苏 已知 an 是等差数列 Sn是其前n项和 若a1 3 S5 10 则a9的值是 答案 解析 20 设等差数列 an 的公差为d 由题意可得 则a9 a1 8d 4 8 3 20 题型二等差数列的判定与证明 证明 2 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 解答 所以当n 3时 an取得最小值 1 当n 4时 an取得最大值3 引申探究 解答 思维升华 等差数列的四个判定方法 1 定义法 证明对任意正整数n都有an 1 an等于同一个常数 2 等差中项法 证明对任意正整数n都有2an 1 an an 2后 可递推得出an 2 an 1 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 根据定义得出数列 an 为等差数列 3 通项公式法 得出an pn q后 得an 1 an p对任意正整数n恒成立 根据定义判定数列 an 为等差数列 4 前n项和公式法 得出Sn An2 Bn后 根据Sn an的关系 得出an 再使用定义法证明数列 an 为等差数列 答案 解析 2 数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 2an 1 an 2 设bn an 1 an 证明 bn 是等差数列 证明 由an 2 2an 1 an 2 得an 2 an 1 an 1 an 2 即bn 1 bn 2 又b1 a2 a1 1 所以 bn 是首项为1 公差为2的等差数列 求 an 的通项公式 解答 由 得bn 1 2 n 1 2n 1 即an 1 an 2n 1 所以an 1 a1 n2 即an 1 n2 a1 又a1 1 所以 an 的通项公式为an n2 2n 2 题型三等差数列性质的应用 命题点1等差数列项的性质 例3 1 2015 广东 在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 25 则a2 a8 答案 解析 因为 an 是等差数列 所以a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25 所以a5 5 故a2 a8 2a5 10 10 2 已知 an bn 都是等差数列 若a1 b10 9 a3 b8 15 则a5 b6 答案 解析 因为 an bn 都是等差数列 所以2a3 a1 a5 2b8 b10 b6 所以2 a3 b8 a1 b10 a5 b6 即2 15 9 a5 b6 解得a5 b6 21 21 命题点2等差数列前n项和的性质 例4 1 设等差数列 an 的前n项和为Sn 且S3 12 S9 45 则S12 答案 解析 114 因为 an 是等差数列 所以S3 S6 S3 S9 S6 S12 S9成等差数列 所以2 S6 S3 S3 S9 S6 即2 S6 12 12 45 S6 解得S6 3 又2 S9 S6 S6 S3 S12 S9 即2 45 3 3 12 S12 45 解得S12 114 答案 解析 2018 2017 1 S2018 2018 A 2018B 2016C 2019D 2017 思维升华 2 和的性质 在等差数列 an 中 Sn为其前n项和 则 S2n n a1 a2n n an an 1 S2n 1 2n 1 an 跟踪训练3 1 在等差数列 an 中 已知a4 a8 16 则该数列前11项和S11等于A 58B 88C 143D 176 答案 解析 答案 解析 典例1 1 在等差数列 an 中 2 a1 a3 a5 3 a7 a9 54 则此数列前10项的和S10等于A 45B 60C 75D 90 答案 解析 公差不为0的等差数列 求其前n项和与最值在高考中时常出现 题型有小题 也有大题 难度不大 等差数列的前n项和及其最值 高频小考点6 考点分析 2 在等差数列 an 中 S10 100 S100 10 则S110 答案 解析 110 方法一设数列 an 的首项为a1 公差为d 所以a11 a100 2 典例2在等差数列 an 中 已知a1 20 前n项和为Sn 且S10 S15 求当n取何值时 Sn取得最大值 并求出它的最大值 规范解答 解 a1 20 S10 S15 得a13 0 即当n 12时 an 0 当n 14时 an 0 当n 12或n 13时 Sn取得最大值 n N 当n 12或n 13时 Sn有最大值 且最大值为S12 S13 130 方法三由S10 S15 得a11 a12 a13 a14 a15 0 5a13 0 即a13 0 当n 12或n 13时 Sn有最大值 且最大值为S12 S13 130 课时作业 1 2016 重庆一诊 在数列 an 中 an 1 an 2 a2 5 则 an 的前4项和为A 9B 22C 24D 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 由an 1 an 2 知 an 为等差数列且公差d 2 由a2 5 得a1 3 a3 7 a4 9 前4项和为3 5 7 9 24 故选C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 九章算术 是我国古代的数学名著 书中有如下问题 今有五人分五钱 令上二人所得与下三人等 问各得几何 其意思为 已知甲 乙 丙 丁 戊五人分5钱 甲 乙两人所得与丙 丁 戊三人所得相同 且甲 乙 丙 丁 戊所得依次成等差数列 问五人各得多少钱 钱 是古代的一种重量单位 这个问题中 甲所得为 答案 解析 设等差数列 an 的首项为a1 公差为d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2016 佛山模拟 已知等差数列 an 满足a2 3 Sn Sn 3 51 n 3 Sn 100 则n的值为A 8B 9C 10D 11 答案 解析 由Sn Sn 3 51 得an 2 an 1 an 51 所以an 1 17 又a2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2017 北师大附中质检 九章算术 竹九节 问题 现有一根9节的竹子 自上而下各节的容积成等差数列 上面4节的容积共3升 下面3节的容积共4升 则第五节的容积为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设竹子自上而下各节的容积分别为a1 a2 a9 且为等差数列 根据题意得a1 a2 a3 a4 3 a7 a8 a9 4 即4a1 6d 3 3a1 21d 4 4 3得66d 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 已知数列 an 满足an 1 an 且a1 5 设 an 的前n项和为Sn 则使得Sn取得最大值的序号n的值为A 7B 8C 7或8D 8或9 答案 解析 由题意可知数列 an 是首项为5 公差为 的等差数列 所以an 5 n 1 该数列前7项是正数项 第8项是0 从第9项开始是负数项 所以Sn取得最大值时 n 7或n 8 故选C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 设数列 an 的前n项和为Sn 若为常数 则称数列 an 为 吉祥数列 已知等差数列 bn 的首项为1 公差不为0 若数列 bn 为 吉祥数列 则数列 bn 的通项公式为A bn n 1B bn 2n 1C bn n 1D bn 2n 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设等差数列 bn 的公差为d d 0 即2 n 1 d 4k 2k 2n 1 d 整理得 4k 1 dn 2k 1 2 d 0 因为对任意的正整数n上式均成立 所以 4k 1 d 0 2k 1 2 d 0 所以数列 bn 的通项公式为bn 2n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 故选D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2015 安徽 已知数列 an 中 a1 1 an an 1 n 2 则数列 an 的前9项和等于 答案 解析 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 an bn 为等差数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 13 解得k 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 在等差数列 an 中 a1 1 a3 3 1 求数列 an 的通项公式 解答 设等差数列 an 的公差为d 则an a1 n 1 d 由a1 1 a3 3 可得1 2d 3 解得d 2 从而an 1 n 1 2 3 2n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若数列 an 的前k项和Sk 35 求k的值 解答 由 1 可知an 3 2n 由Sk 35 可得2k k2 35 即k2 2k 35 0 解得k 7或k 5 又k N 故k 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设等差数列 an 的公差为d 则a2 a1 d a3 a1 2d 12 已知等差数列 an 前三项的和为 3 前三项的积为8 1 求等差数列 an 的通项公式 解答 所以由等差数列通项公式可得an 2 3 n 1 3n 5或an 4 3 n 1 3n 7 故an 3n 5或an 3n 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若a2 a3 a1成等比数列 求数列 an 的前