【志鸿优化设计】（湖北专用）高考数学一轮复习 第十章计数原理10．3二项式定理教学案 理 新人教A版 .doc

10.3二项式定理1能用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题1二项式定理(ab)n_，该等式右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式该展开式有如下特点：(1)它是_项和的形式；(2)各项次数的和都等于二项式的幂指数_，各项从左到右是按字母a的降幂且按字母b的升幂排列的；(3)它是两项和的形式，公式中a，b的位置不能互换，(ab)n可按a(b)n展开；(4)c(r0,1,2，n)叫做二项展开式第_项的二项式系数，它与a，b的取值无关2通项公式tr1canrbr(r0,1,2，n)，它表示展开式中的任意一项，只要n，r确定，该项也就随之确定3二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即c_.(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项的二项式系数_最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数_、_相等且最大(3)各二项式系数的和：cccc_，其中cc_2n1，即奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于2n1.1(1)4(1)4的展开式中x的系数是()a4 b3 c3 d42若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为()a9 b8 c7 d63(2012湖北高考)设az，且0a13，若512 012a能被13整除，则a()a0 b1 c11 d124若6展开式的x2的系数为a，常数项为b，若b4a，则a的值为_5.18的展开式中含x15的项的系数为_(结果用数值表示)一、二项展开式的通项公式的应用【例1】若n的展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次幂的项；(2)展开式中所有x的有理项方法提炼二项展开式的通项与数列的通项公式类似，它可以表示二项展开式的任意一项，只要n，r确定，该项也就随之确定利用二项展开式的通项可以求出展开式中任意的指定项，如常数项、系数最大的项、次数为某一确定值的项、有理项等请做演练巩固提升3二、用赋值法求二项展开式系数的和【例2】 在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和方法提炼由于二项式定理是一个恒等式，对于a，b的一切取值均成立因此，可将a，b设定为一些特殊值在使用赋值法时，令a，b取多少，应就具体情况而定请做演练巩固提升1三、二项式定理的其他应用【例3】 求证：122225n1能被31整除(nn*)方法提炼1利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可2求余数问题时，应明确被除式f(x)与除式g(x)(g(x)0)，商式q(x)与余式的关系及余式的范围请做演练巩固提升2二项式定理中的几个概念【典例】 (12分)已知n(nn*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是101.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含x的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项规范解答：由题意知，第五项系数为c(2)4，第三项的系数为c(2)2，则有，化简得n25n240，解得n8或n3(舍去)(4分)(1)令x1，得展开式中各项系数的和为(12)81.(5分)(2)通项tr1c()8rrc(2)r，令2r，则r1，故展开式中含的项为t2.(8分)(3)设展开式中的第r项、第r1项、第r2项的系数绝对值分别为c2r1，c2r，c2r1，若第r1项的系数绝对值最大，则解得5r6.(10分)又t6的系数为负，系数最大的项为t71 792x11.由n8知第五项二项式系数最大，此时t51 120x6.(12分)答题指导：1本题重点考查了二项式的通项、二项式系数、项的系数以及项数和项的有关概念2解题时要注意区别二项式系数和项的系数的不同及项数和项的不同3本题的易错点是混淆项与项数、二项式系数和项的系数的区别1设(1xx2)na0a1xa2nx2n，求a2a4a2n的值为()a3n b3n2c d2若(12x)2 013a0a1xa2 013x2 013(xr)，则的值为()a2 b0 c1 d23(1x3)6展开式的常数项为_4(2012上海高考)在6的二项展开式中，常数项等于_参考答案基础梳理自测知识梳理1anan1b1an2b2anrbrbn(nn*)n1nr13(1)(2)(3)2n 基础自测1a解析：原式(1)4(1)4(1x)4，于是x的系数是(1)4.2b解析：(x1)41x(1)3x2(1)2x3(1)x4a0a1xa2x2a3x3a4x4，a01，a26，a41.a0a2a48.3d解析：52能被13整除，512 012可化为(521)2 012，其二项式系数为tr1c522 012r(1)r.故(521)2 012被13除余数为c(1)2 0121，则当a12时，512 01212被13整除43解析：二项展开式的通项为tr1x6rr(a)rx62r，a(a)215a2，b(a)320a3.又b4a，20a360a2.a3.517解析：18展开式的通项tr1x18rrr.令18r15，则r2，故展开式中含x15的系数为217.考点探究突破【例1】 解：n的展开式中前三项的系数分别为0，1，2，而前三项的系数成等差数列，102，即n1，解得n8或n1(舍去)(1)tr1()8rrr，令1，得r4.t54xx.展开式中含x的一次幂的项为t5x.(2)tr1r，要使为整数，则r0,4,8.t1x4，t5x，t9x2.展开式中所有x的有理项为x4，x，x2.【例2】 解：设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数和即为a0a1a10，奇数项系数和为a0a2a10，偶数项系数和为a1a3a5a9，x的奇次项系数和为a1a3a5a9，x的偶次项系数和为a0a2a4a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数的和为210.(2)令xy1，各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为29，偶数项的二项式系数和为29.(4)令xy1，得到a0a1a2a101，令x1，y1，得a0a1a2a3a10510，得2(a0a2a10)1510，奇数项的系数和为；得2(a1a3a9)1510，偶数项的系数和为.(5)x的奇次项系数和为a1a3a5a9；x的偶次项系数和为a0a2a4a10.【例3】 证明：122225n125n132n1(311)n131n31n131131(31n131n2)，显然上式括号内为整数，原式能被31整除演练巩固提升1c解析：令x0，得a01；令x1，得a0a1a2a3a2n1，令x1，得a0a1a2a3a2n3n，由得2(a0a2a4a2n)3n1，故a0a2a4a2n，再由a01得a2a4a2n.2c解析：法一：由二项式定理得通项为tr1(2x)r(1)r2rxr，则an(1)n2n.(1)n.则(11)2 0131.故选c.法二：原式令x0，则a01.令x，则2 013