东北大学线性代数课件第一章_行列式.doc

Linear Algebra第一章 行列式教学基本要求：1. 1. 了解行列式的定义.2. 掌握行列式的性质和计算行列式的方法.3. 会计算简单的n阶行列式.4. 了解Cramer法则.一、行列式的定义1. 定义称为n阶行列式，记作(或或)，它是n2个数的一个运算结果：主对角线，(1.1)其中，为行列式位于第行且第列的元素，而为划掉行列式第1行和第列的全部元素后余下的元素组成的阶行列式，即称为元素的余子式，称为元素的代数余子式.2. 基本行列式：(1)一阶行列式 .例如，.(2)二阶行列式 .(3)三阶行列式 .(4)三角形行列式对角行列式 .下三角行列式 .上三角行列式 .注意：、和的结果中均有符号. 3. 行列式的性质，性质1.1 . (1.2)性质1.1的意义：行列式的行所具有的性质列也具有. 下面仅针对行叙述行列式的性质.性质1.2(行列式的展开性质) , . (1.3)例如，行列式.一个阶行列式有 个余子式，有 个代数余子式；一个元素的余子式与代数余子式或 或 .应该注意到，一个元素的余子式或代数余子式与该元素的 有关，与该元素的 无关.性质1.3(行列式的公因子性质). (1.4)性质1.3还可以这样表述：用数乘以行列式某一行的每一个元素，等于用数乘以行列式.例如，.推论 行列式的一行元素全为零，行列式为零.性质1.4(行列式的拆分性质) (1.5)性质1.4可以推广到一行有更多个数相加的情形.性质1.5 行列式两行元素对应全相等，行列式为零.推论1 行列式两行元素对应成比例，行列式为零.推论2 设行列式，则. (1.6)这里，为Kronecker符号.性质1.6(行列式的不变性质). (1.7)性质1.6的意义：任何一个行列式都可化为三角形行列式，从而算出值.性质1.7(行列式的变号性质). (1.8)总结：利用性质1.6及其它性质与推论，可以更容易地将一个行列式化为“三角形”行列式.步骤如下：.例如，.在实际计算中，往往是“化零”与“展开”结合着进行，需要根据行列式的特点灵活地运用行列式的性质二、行列式的计算行列式的计算过程，大多可以通过如下符号指示：交换i, j两行(列)：（）；第i行(列)提取公因子k：（）；第j行(列)的k倍加到第i行(列)：（）.例1.1 计算行列式.解 .或 .例1.2 计算行列式.解 .或 .或 .例1.3 计算行列式. 解 .例1.4 计算阶行列式解 例1.5(例1.10 P16) 计算阶行列式.解 分析：注意到该行列式的特点是，主对角线上的元素是同一个值，主对角线之外的元素都相同，那么运用 ，有(这时行列式 ，继续)(这时行列式 ，继续)例1.6(例1.11 P16) 设行列式的阶数为奇数，且，求D解 分析：条件表明， (称为反对称行列式)(每行提取公因子-1，然后做转置运算，有)从而D=0例1.7(例1.12 P17)计算n阶行列式. (三对角行列式)解 分析：该行列式对角线上的元素全为，次对角线上的元素全是，其余元素都是0由于0元素比较多，所以利用展开性质(也说降阶法)来计算.将Dn按第行展开，有.注意到，如果再将按第列展开，即有于是得到一个递推公式.现在考虑数列，由可知，数列是一个等差数列，公差为，首项，从而第项降阶法是求三对角行列式的常用方法，但不是唯一的方法.另解，. 三对角行列式的一般形式为. (1.9)例1.8(例1.13 P17) Vandermonde行列式. (1.10)记住Vandermonde行列式的特点、结果，了解证明方法.三、行列式应用1. 求解特殊的线性方程组 考虑元线性方程组 (1.11)记 ，.定理(Cramer法则) 若线性方程组(1.11)的系数行列式，则该方程组有惟一解：（） (1.12)例1.9(例1.14 P20) 解线性方程组解 该方程组的系数行列式D及D1、D2和D3分别为，.由于，故方程组有唯一解：，对于齐次线性方程组 (1.13)有如下结论：推论 当齐次线性方程组(1.13)的系数行列式不为零时，它只有零解该结论也可以表述为：若齐次线性方程组有非零解, 则方程组的系数行列式必为零.2. 用行列式表示几何图形的面积和体积.3. 用行列式表示直线、平面方程和判定三点是否共线、四点是否共面.4. 用行列式解决多项式函数的插值问题.四、习题(P26-30)选择题：1. .填空题：5. .解答题：1. 解 .2. 提示：由A31=-2，求出x，再计算A12.3.(3) . (4) (5) (6) .(7) (8) (11) (9)方法一 左端按最后一行展开方法二 左端按第一列展开，产生递推公式.方法三 左端产生下三角行列式.从第二列开始，依次将前一列的倍加到后一列上.方法四 左端从最后一列开始，依次将后一列的倍加到前一列，然后按第一列展开.(10) 方法一 方法二 (1)同理， (2)由(1)a, (2)b得aDn-an+1= bDn-bn+1，所以Dn=(bn+1-an+1)/(b-a)=.(12) 设 ，这是一个范德蒙行列式.7. 提示：x=Dx/D, D=-4 .8. 提示：，故三角形ABC的面积为3.五、计算实践实践指导：（1）注意到上（下）三角行列式和对角行列式的值等于其对角线上元素的乘积，所以利用行列式的性质应尽可能地把行列式化为三角形行列式；（2）利用行列式的性质尽把行列式的某一行（列）元素可能多地化为零，然后按行（列）展开，通过降阶的方式达到计算行列式的目的；（3）利用Laplace展开式；（4）利用范德蒙行列式；（5）计算行列式的可使用的方法有定义法、性质法、降阶法、递推法、归纳法、加边升阶法及方阵行列式法等. 例1 计算行列式解 分析：仔细观察之后发现，第2行为0的元素多且非0元素成整数比关系，因此先利用性质把这一行元素大部分化为0，然后按第2行降阶. 依照此理，接下来又选择了第1行、第3行降阶.原式例2 计算三对角行列式.解 这类题的一般做法是产生递推公式. 按第n行展开有令，则是方程的根，代入上式得. 对于具体的三对角行列式，一般计算会简单些.例3 计算三对角行列式.解 方法一 利用例2得到的递推公式.（这里递推公式中的x,y显然分别为a,b）方法二 按第一行拆分，有考虑对称性，也有. 联立、，解之得对称性在本题中起了重要作用. 本题还可以用数学归纳法做.例4 计算三对角行列式.解 分析：把第2至第n+1行依次加到第1行，那么新的第1行元素将只有最后一个元素不为0，然后降阶.原式（上三角行列式）例5 计算行列式解 分析：注意到本行列式元素的特点，自然想到会要使用范德蒙行列式的结果. 易见如果第1至第n行分别提取公因子，那么可将其化为范德蒙行列式.原式.六、知识扩展1. 设均为3维列向量,记矩阵,.如果,求. （2005 一） （答案: 2）2. 已知均为2维列向量, 矩阵. 若, 求. （2006四） （答案: -2）3.设矩阵, 为2