椭圆的简单几何性质 第一课时.doc

椭圆的简单几何性质 第一课时（一）教学目标掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率这四个几何性质，掌握标准方程中 、 以及 、 的几何意义， 、 、 、 之间的相互关系，明确怎样用代数的方法研究曲线的几何性质（二）教学过程【复习引入】由学生口述，教师板书：问题1椭圆的标准方程是怎样的？问题2在直角坐标系内，关于 轴、 轴、原点对称的点的坐标之间有什么关系？【探索研究】1椭圆的几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一根据曲线的条件列出方程如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究曲线的性质、画图、就可以说是解析几何的目的下面我们根据椭圆的标准方程 来研究椭圆的几何性质（1）范围引导学生从标准方程 ，得出不等式 ， ，即 ， 这说明椭圆的直线 和直线 所围成的矩形里（如图），注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点（2）对称性先让学生阅读教材中椭圆的几何性质2设问：为什么“把 换成 ，或把 换 ，或把 、 同时换成 、 时，方程解不变则图形关于 轴、 轴或原点对称”呢？事实上，在曲线方程里，如果把 换成 ，而方程不变，那么当点 在曲线上时，点 关于 轴的对称点 也在曲线上，所以曲线关于 轴对称类似地可以证明其他两个命题同时应向学生指出：如果曲线具有关于 轴对称，关于 轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称最后强调： 轴、 轴是椭圆的对称轴原点是椭圆的对称中心即椭圆中心进而说明椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及其中垂线与坐标系无关因而是曲线的固有性质（3）顶点引导学生从椭圆的标准方程 分析它与 轴、 轴的交点，只须令 得 ，点 、 是椭圆与 轴的两个交点；令 得 ，点 、 是椭圆与 轴的两个交点应该强调：椭圆有四个顶点 、 、 、 同时还需指出：（1）线段 和 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 和 ；（2） 、 的几何意义： 是椭圆长半轴的长， 是椭圆短半轴的长（3）椭圆的顶点即是椭圆与对称轴的交点，一般二次曲线的顶点即是曲线与其对称轴的交点这时教师可作如下小结：由椭圆的范围，对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形（4）离心率由于离心率的概念比较抽象，教师可直接给出离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比 ，叫做椭圆的离心率先分析离心率 的取值范围： ， 再结合图表分析离心率的大小对椭圆形状的影响：（1）当 趋近于1时， 趋近于 ，从而 越小，因此椭圆越扁平：（2）当 趋近于0时， 趋近于0，从而 趋近于 ，因此椭圆越接近于圆【例题分析】例1 求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形分析：只要化为椭圆的标准方程即可求解解：把已知方程化成标准方程是 这里 ， ， 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 和 ，离心率 ，两个焦点分别是 和 ，椭圆的四个顶点是 、 、 、 （前一部分请一位学生板演，教师予以纠正，后一部分教师讲解，以引起学生重视）步骤如下：列表：将已知方程变形为 ，根据 ，在 的范围内算出几个点的坐标 01234543.93.73.22.40描点作图：先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆（如图）例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）经过点 ， ；（2）长轴长等于20，离心率等于 解：由椭圆的几何性质可知， 、 分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得 ， 又因为长轴在 轴上，所以所求椭圆的标准方程为 （2）由已知得 ， ， 由于椭圆的焦点可能在 轴上，也可能在 轴上，所以所求椭圆的标准方程为 或 （三）随堂练习1在下列方程所示的曲线中，关于 轴、 轴都对称的是（ ）ABCD 2求下列各椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出草图 3下列每组椭圆中，哪一个更接近于圆 与 ； 与 答案：1D 2 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，图略3 （四）总结提炼方程图形范围， ， 对称性关于 轴、 轴、坐标原点对称关于 轴、 轴、坐标原点对称顶点， ， ， ， 离心率（五）布置作业1椭圆 的长轴的端点坐标是（）A ，B ， C ，D ， 2椭圆 与 的关系为（）A有相等的长、短轴B有相等的焦距C有相同的焦点D有相同的准线3中心在原点、焦点在 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）ABCD 4椭圆 的长轴长为_，短轴长为_，焦点坐标为_，离心率为_5求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）椭圆经过两点 ， ；（2）长轴是短轴的3倍，椭圆经过点 ；（3）离心率等于0.8，焦距是8答案：1D 2B 3A 410、2， 、 ， 5（1） （2） 或 （3） 或 （六）板书设计8.2 椭圆的简单几何性质（一）（一）复习提问问题1问题2（二）椭圆的几何性质1234（三）例题与练习例1例2练习（四）小结节课设计依据“观察