数学建模真题2.ppt

导弹跟踪问题 数学实验 北京交大数学系 Euler 他是我们大家的 读读Euler 读读 老师 P S Laplace 对自然界的深刻研 究是数学最丰富的源泉 JosephFourier 问导弹在何时何处 实际问题 某军的一导弹基地发现正北方向 120km处海面上有敌艇一艘以90km h 的速度向正东方向行驶 该基地立即发 射导弹跟踪追击敌艇 导弹速度为 450km h 自动导航系统使导弹在任 一时刻都能对准敌艇 试 击中敌艇 120 P x y 当t 0时 导弹位于原点O 敌艇位于 0 H 点 H 120 km 当时刻t 导弹位于P x t y t 敌艇位于 90t H 点 O 时刻t导弹的位于为P x t y t 其 Vw 450 km h Ve 90 km h 数学模型 速度可由水平分速度与垂直分速度合成 导弹方向指向敌艇 故有 导出一阶微分方程组 解析方法 有较强技巧性 消去t 化为二阶方程 连同初始条件 设 降阶得到一阶可分离变量方程 导弹击中艇时y H 得到此时其位置和时刻 Euler方法十分简单 就是用差商代替 Euler方法 数值方法 的值到第k 1步的值之间的关系式 微商 即 通常取 t为常数 就得到由第k步 t tk 1时导弹位置为 xk 1 yk 1 计算到yk H yk 1 H停止 取L xk Euler迭代格式 Clear a b t x y k h 0 05For x 0 0 y 0 0 t 0 0 k 0 k 120 Break 利用Mathematica 10 050 0000022 5000020 101 0373644 9760730 153 4120567 3504140 207 6461589 4484350 2514 86790110 7579660 3029 19480128 10702 L x6 29 195T 0 3244 0 005 0 05 ktkxkyk L x6 25 667T 0 2852 舰的实际过程 仿真方法 1 arctan H vw ve P0 M0 模仿真实事件行为和过程 在这个问题上 就是一步步地模拟导弹追踪敌 在t 0时 敌艇在M0 0 H 导弹在原点P0指向M0 M1 在t 时 敌艇的位置为 M1 ve H 导弹的位置为 P1 x1 y1 而x1 0 y1 vw P1 1 导弹飞行方向的倾角为 x2 x1 vw cos 1y2 y1 vw sin 1 P1P0 M0M1 2 arctan H y2 2ve x2 2 在t 2 时 敌艇的位 置为M2 2 ve H 位置为P2 x2 y2 由 1表达式可写出cos 1和 sin 1的表达式 此时导弹飞行方向的倾角为 导弹的 M2 P2 1 仿真迭代格式 在t k 1 时 导弹位于Pk 1 xk 1 yk 1 其中 利用Mathematica ktkxkyk10 050 0000022 5000020 101 0373644 9760730 153 4120567 3504140 207 6461589 4484350 2514 86790110 7579660 3029 19480128 10702 未用微分方程得到同样结果 0 05 实验任务 例如0 001和0 0005 计算结果 何地击中敌舰 现敌艇与导弹方向成何夹角逃逸才好 1 对问题 3 12 3 14 运用Euler法进行数值计算 法 与表3 3 表3 5的数据比较 并以更小的步长 2 如果当基地发射导弹的同时 敌艇立即由仪器发 觉 假定敌艇为一高速快艇 它即刻以135km h 的速度与导弹方向垂直的方向逃逸 问导弹何时 3 如果敌舰以135km h的速度与导弹方向成固定夹 角的方向逃逸 问导弹何时何地击中敌艇 试建 立数学模型 并选择若干特殊角度进行计算 你发 距离为