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信号处理原理 清华大学计算机系列教材徐明星 郑方编著 联系方式 xumx fzheng 信号的概念 描述 分类信号处理的目的 步骤典型信号介绍信号的基本运算信号的分解 内容提要 1基本概念 信号是反映 或载有 信息的各种物理量 是系统直接进行加工 变换以实现通信的对象 信号的概念 自然和物理信号例如 语音 图象 地震信号 生理信号等人工产生的信号例如 雷达信号 通讯信号 医用超声信号 机械探伤信号等 信号是信息的表现形式 信息则是信号的具体内容 信号描述方法 数学描述使用具体的数学表达式 把信号描述为一个或若干个自变量的函数或序列的形式 因此 常可将 信号 与 函数 和 序列 等同起来 波形描述按照函数随自变量的变化关系 把信号的波形画出来 信号的分类 确定信号与随机信号 要点 区分方法 给定的自变量的值 是否可以唯一确定信号的取值 任意给定一个自变量的值 如果可以唯一确定其信号和取值 则该信号是确定信号 否则 如果取值是不确定的随机值 则是随机信号 周期信号与非周期信号 要点 关系式是否成立 周期信号的周期 正值 最小T值 非周期信号可以视为是周期无穷大的周期信号 时间连续信号与时间离散信号 信号的自变量是否在所讨论的整个连续区间内都有定义 定义域连续 NO 时间离散信号 YES 时间连续信号 模拟信号 抽样信号与数字信号 通常被称为 序列 模拟信号的定义域和值域都有是连续的 抽样信号的定义域离散而值域连续 数字信号在定义域和值域都是离散的 计算机特别适合于处理数字信号 因果信号与非因果信号 如果信号在时间零点之前 取值为零 则称为因果信号 表示信号在过去时间内不可能发生 取值为零 若信号仅在过去 时间零点之前 有非零值 则称为反因果信号 实值信号与复值信号 如果信号的取值是实数 则称为实值信号 简称实信号 如果信号的取值是复数 则称为复值信号 简称复信号 复信号是为了研究方便而引入的 不是因果信号 就是非因果信号 信号在时间零点之前有非零值 能量信号与功率信号 定义信号的能量为 离散时间信号 连续时间信号 定义信号的功率为 离散时间信号 连续时间信号 如果信号的能量是有限的 则称为能量有限信号 简称能量信号 如果信号的功率是有限的 则称为功率有限信号 简称功率信号 信号处理及其目的 信号处理 对信号进行提取 变换 分析和综合等处理过程的统称 信号处理的目的 去伪存真 特征抽取 编码解码 去除信号中冗余的和次要的成分 把信号变成易于进行分析和识别的形式 把信号变成易于传输 交换与存储的形式 编码 或从编码信号中恢复出原始信号 解码 数字信号处理的步骤 模数转换ADC 数字信号处理DSP 数模转换DAC 自变量 时间 和幅值同时离散化 变换域分析 数字滤波 识别 合成 数字信号还原为模拟信号 保证信息不丢失的理论基础是 采样定理 典型信号 指数信号 微分或积分后还是指数信号 参数 符号 正号 负号 信号增强A 信号衰减CD 绝对值 大 小 变化速度快D 变化速度慢C 0 直流信号B 1 0 5 0 5 1 2 5 5 7 5 10 12 5 15 B C D A 正余弦号 说明 1 K为振幅 2 为角频率 3 为初相位 正弦信号 余弦信号 正弦 余弦 复指数信号 欧拉公式 复指数信号与正余弦信号之间的关系 指数因子s是复数 一个复指数信号可以分解成为实 虚两部分 其中 实部包含余弦信号 虚部则为正弦信号 指数因子实部s表征了正弦与余弦函数振幅随时间变化的情况 若s 0 正弦 余弦信号是增幅振荡 若s 0 正弦 余弦信号是衰减振荡 指数因子虚部w则表示正弦与余弦信号的角频率 几个特殊情况 当s 0 即s为虚数 则正弦 余弦信号是等幅振荡 当w 0 即s为实数 则复指数信号成为一般的指数信号 当s 0且w 0 即s等于零 则复指数信号的实部与虚部都与时间无关 成为直流信号 Sa函数 特点 1 Sa函数是偶函数 2 过零区间宽度 3 Sa函数过零位置 高斯信号 特点 1 形状象一口钟 故有时也称钟形脉冲信号 2 在随机信号分析中有重要地位 奇异信号 单位斜变信号R t 截顶的单位斜变信号 单位阶跃信号u t 特点 1 与单位斜变信号是积分 微分关系 2 用于描述分段信号 单位矩形脉冲信号G t 脉高 矩形脉冲的高度 脉宽 矩形脉冲的宽度 信号四则运算 符号函数sgn t 用以表示自变量的符号特性 sgn t 1 2u t sgn t 2u t 1 单位冲激信号 信号定义 引入原因 描述自然界中那些发生后持续时间很短的现象 非常规的定义方法 狄拉克定义式 设冲激信号有一个总的冲激强度 它在整个时间域上的积分等于该强度值 而在除冲激点之外的其他点的函数取值为零 冲激点在t0 强度为E的冲激信号 波形表示 在冲激点处画一条带箭头的线 线的方向和长度与冲激强度的符号和大小一致 冲激函数的性质 1对称性 冲激函数是偶函数 2时域压扩性 3抽样特性 也称 筛选特性 4积分 信号运算 常规运算 波形变换 数学运算 相互运算 线性运算 乘除运算 反褶运算 时移运算 压扩运算 微分运算 积分运算 卷积运算 相关运算 四则运算 四则运算 四则运算后的信号在任意一点的取值定义为原信号在同一点处函数值作相同四则运算的结果 sin t sin 8t 加法 乘法 单位矩形脉冲 冲激串 产生抽样信号 抽样信号的产生方法 抽样信号波形表示 用途 冲激信号 冲激串 加法 连续信号 抽样信号 乘法 波形变换 反褶运算 将原信号f t 的波形按纵轴对称翻转过来 原信号 反褶信号 时移运算 将原信号f t 的波形沿横轴平移b个单位 参数b决定平移方向和位移量 b 0 右移 b 0 左移 原信号 左移 右移 压扩运算 也被称为尺度变换 参数a的符号控制是否先要反褶 1 压缩 1 扩张 参数a的绝对值控制是压缩还是扩张 0 不需反褶 0 需要反褶 倍数为1 a 原信号 信号压缩 信号扩张 信号运算 数学运算 微分运算 积分运算 连续n次微分 连续n次积分 连续进行 卷积运算 定义 性质 交换律 f1 f2 f2 f1 分配律 f1 f2 f3 f1 f2 f1 f3 通过变换积分变量来证明 利用积分运算的线性性来证明 卷积积分的次序可以交换 用于并联系统的分析 结合律 f1 f2 f3 f1 f2 f3 证明 卷积定义 二重积分 变换积分次序 变量替换 定义 定义 用于串联系统的分析 函数与单位冲激函数的卷积 一个函数与单位冲激函数的卷积 等价于把该函数平移到单位冲激函数的冲激点位置 亦称单位冲激函数的搬移特性 证明 单位冲激信号搬移特性的应用 证明 卷积的微分 两个信号卷积的微分等于其中任一信号的微分与另一信号卷积 证明 定义 交换微分 积分顺序 定义 卷积的积分 两个信号卷积的积分等于其中任一信号的积分与另一信号的卷积 一个函数与单位阶跃函数的卷积等于该函数的积分 证明 冲激函数的搬移特性 卷积的积分特性 应用类似的推演可以导出卷积的高阶导数或多重积分之运算规律 上式中的m n及n m取正整数时为导数的阶次 而取负整数时为重积分的次数 卷积运算的图解步骤 卷积的几何作图法 函数e t 函数h t 函数h 函数h t 反褶 平移 最终的卷积结果 可以根据上面的几何解释来估计或求出两个信号卷积运算结果 在上述一个信号的反褶信号的滑动过程中 它与另外一个信号的重合面积随t的变化曲线就是所求的两个信号的卷积的波形 相关运算 相关运算 相关与卷积的关系 即相关与次序有关 自相关 函数自己与自己求相关 实函数的自相关是偶函数 周期函数的相关函数总是在周期的整数倍nT处取得最大值 用自相关函数检测准周期信号的准周期 t是平移量 信号分解 信号 直流分量 交流分量 偶分量 奇分量 实部分量 虚部分量 脉冲分量 正交分量 分解结果是唯一的 信号的奇分量 信号的偶分量 信号的实部分量 信号的虚部分量 信号的直流分量 信号的均值 信号的交流分量 信号的脉冲分量分解 信号可以近似表示为一组矩形脉冲的和的形式 信号正交分量分解 正交函数 如果在区间 t1 t2 上 函数f1 t 和f2 t 互不含有对方的分量 则称f1 t 与f2 t 在 t1 t2 上正交 函数正交的充要条件是它们的内积为0 函数f1 t 和f2 t 在 t1 t2 上的内积 gn t 1 n N 是区间 t1 t2 上的正交函数集的条件 任一函数f t 在 t1 t2 上可表示为正交函数集内函数的线性组合 正交分量的系数 如果一个函数可以用一组相互正交的函数的线性组合来表示 我们就称某个正交函数与相应的线性系数的乘积为该正交函数上的正交分量 2傅里叶级数 狄义赫利条件 1 在一个周期内 间断点的个数有限 2 极大值和极小值的数目有限 3 信号绝对可积 满足上述条件的任何周期函数 都可以展成 正交函数线性组合 的无穷级数 傅里叶级数展开 三角函数集 复指数函数集 正交函数集 如果正交函数集是三角函数集或指数函数集 则周期函数展成的级数就是 傅里叶级数 相应的级数通常被称为 三角形式傅里叶级数 和 指数形式的傅里叶级数 它们是傅里叶级数的两种不同表示形式 三角形式的FS 展开成三角函数的无穷级数形式 设周期函数f t 的周期为T1 根据正交函数的正交特性 可得 系数计算 系数an和bn统称为三角形式的傅里叶级数系数 简称为傅里叶系数 信号的基波 基频 同频率合并 初相位 a b c d 复指数形式的FS 系数计算方法 展开成复指数函数的无穷级数形式 设周期函数f t 的周期为T1 三角函数FS与复指数FS的系数间的关系 Fn的性质 共轭对称性 周期信号的FS 偶周期信号的FS Fn是偶对称的实数序列 FS系数只有直流分量和余弦项 奇周期信号的FS Fn是奇对称的纯虚序列 FS系数只有正弦项 积分项为奇函数 积分项为奇函数 傅里叶频谱 周期信号的傅里叶频谱特点 1 仅在一些离散频率点 nf1 上有值 2 离散间隔为 3 Fn是双边谱 正负频率的频谱幅度相加才是实际幅度 4 信号的功率为 FS谱 FS幅度谱 FS相位谱 把傅里叶级数表示式的两边平方 并在一个周期内进行积分 再利用三角函数及复指数函数的正交性 可以得到周期信号f t 的平均功率P与傅里叶级数有下列关系 周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开各谐波分量有效值的平方和 也即时域和频域的能量守恒 上式被称为 帕斯瓦尔方程 周期信号的FS 周期矩形脉冲信号的FS 谱线包络线为Sa函数 谱线包络线过零点确定方法 频谱谱线的间隔为 在频域 能量主要集中在第一个零点以内 带宽只与脉冲脉宽有关 而与脉高和周期均无关 实际上 在允许一定失真的条件下 可以要求一个通信系统只把 2 频率范围内的各个频率分量传送过去 而舍弃 2 的分量 这样 常把 0 2 这段频率范围称为矩形信号的频带宽度 简称带宽 3傅里叶变换 周期信号的频谱谱线的间隔为 非周期信号可以看成是周期T1趋于无限大的周期信号 非周期信号的谱线间隔趋于无限小 变成了连续频谱 谱线长度趋于零 周期信号的频谱谱线的长度为 解决方法 FT变换 非周期信号的傅里叶变换 FT IFT 变换核 FT IFT的性质 唯一性 如果两个函数的FT或IFT相等 则这两个函数必然相等 可逆性 如果 则必有 反之亦然 FT存在的充分条件 时域信号绝对可积 FS与FT比较 信号的傅里叶变换一般为复值函数 可写成 幅度频谱密度函数 相位频谱密度函数 典型非周期信号的FT 单边指数信号 偶双边指数信号 实偶函数 矩形脉冲信号 其频谱是实函数 脉高为E 脉宽为t 幅度谱 相位谱 矩形脉冲信号FT的特点 FT为Sa函数 原点处函数值等于矩形脉冲的面积 FT的过零点位置为 频域的能量集中在第一个过零点区间 带宽只与脉宽有关 与脉高E无关 带宽为 符号函数 不满足绝对可积条件 但存在FT 可借助双边指数衰减函数来求符号函数的FT 符号函数与双边指数函数的乘积信号f1的频谱F1 积分并化简 可得 符号函数的频谱为 幅度谱 相位谱 冲激信号 冲激函数的频谱等于常数 即在整个频率范围内频谱是均匀分布的 显然 在时域中变化异常剧烈的冲激函数中包含了幅度相等的所有频率分布 因此 这种频谱常被称为均匀谱 或白色谱 FT定义 冲激函数的抽样性质 上述结果也可由矩形脉冲取极限得到 当脉宽 逐渐变窄时 其频谱必然展宽 可以想象 若 0 而E 1 这时矩形脉冲就变成了 t 其相应频谱F 必定等于常数1 单位冲激信号与直流信号的频谱 由FT对称性 冲激函数的频谱为常数 什么样的函数其频谱为冲激函数呢 直流信号的傅里叶频谱是位于零点的冲激函数 频谱零点处的冲激函数来自信号的直流分量 阶跃信号 不满足绝对可积条件 但存在FT FT的线性性 原点处的冲激来自u t 中的直流分量 FT的性质 线性性 齐次性 叠加性 反褶和共扼性 FT是线性运算 奇偶虚实性 偶 偶 奇 奇 实偶 实偶 实奇 虚奇 实 实偶 实奇 实偶 虚奇 偶 j奇 实偶 EXP 实奇 实信号的FT 偶共扼对称虚信号的FT 奇共扼对称 实信号和虚信号的FT幅度谱函数是偶函数 幅度谱偶对称 实函数的幅度谱和相位谱分别为偶 奇函数 对称性 对偶性 FT与IFT的变换核函数是共轭对称的 在计算机程序设计实现上 IFT可以通过FT来完成 其中 F F 表示按自变量 进行FT 结果仍是t的函数 f t 是偶函数 f t 是奇函数 证明 将变量t与 互换 可以得到 等号右边是对函数F t 的傅里叶变换 尺度变换特性 时域压缩对应频域扩展 时域扩展对应频域压缩 a 0 a 0 信号在时域中压缩 a 1 等效于在频域中扩张 反之 信号在时域中扩展 a 1 则等效于在频域中压缩 对于a 1 则说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中也沿纵轴反褶 信号波形压缩a倍 则信号随时间的变化会加快a倍 所以它所包含的频率分量也要增加a倍 即频谱被展宽a倍 同时 根据能量守恒原理 各频率分量的大小必然要减小a倍 等效脉宽 等效带宽 对任意形状的f t 和F 假设t 时 f t 0 F 0 f t 与F w 所覆盖的面积等于F w 与2pf t 在零点的数值F 0 与2pf 0 设f 0 与F 0 分别等于各自对应曲线的最大值 则定义信号的 时移特性 频移特性 不影响幅度谱 只在相位谱上叠加一个线性相位 与尺度变换结合 与尺度变换结合 频谱搬移时域信号乘上一个复指数信号后 频谱被搬移到复指数信号的频率处 利用欧拉公式 通过乘以正弦或余弦信号 可以达到频谱搬移的目的 微分特性 积分特性 时域微分 频域微分 时域积分 频域积分 卷积定理 时域卷积定理 频域卷积定理 时域相关性定理 若函数f2 t 是实偶函数 则 函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对 自相关的傅里叶变换 相关性定理与卷积定理一致 帕斯瓦尔定理 周期信号的FT 正弦信号的FT 余弦信号的FT 正弦和余弦信号FT的频谱图 一般周期信号的FT 设周期为T1的周期信号在第一个周期内的函数为f0 t 则 冲激函数的搬移特性 信号的四则运算 周期为T1的冲激函数串 周期单位冲激序列的FT 冲激串的FS FT的对称性 FT的线性性 周期为T1 于是 冲激函数筛选特性 FT f0 t 利用FT变换的卷积定理 得 结果是离散的冲激函数序列组成的频谱 把周期函数f t 展开成傅里叶级数 两边取傅里叶变换 已知 于是 对比 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数系数与傅里叶变换 连续信号 量化编码 抽样 抽样信号 数字信号 抽样过程方框图 抽样脉冲 f t fs t p t 由上图可见 连续信号经抽样作用变成抽样信号以后 往往需要再经量化 编码变成数字信号 这种数字信号经传输 然后进行上述过程的逆变换就可恢复出原连续信号 基于上述原理所构成的数字通信系统在很多性能上都要比模拟通信系统优越 4抽样定理 抽样信号的FT 信号理想抽样前后频谱的变化 原始信号及其频谱 冲激序列及其频谱 抽样信号及其频谱 抽样间隔发生变化 时域离散 频域周期 按间隔Ts进行冲激串抽样后信号的傅里叶变换 是周期函数 时域离散 频域周期 是原函数傅里叶变换的Ts分之一按周期2p Ts所进行的周期延拓 结论 要保证从信号抽样后的离散时间信号无失真地恢复原始时间连续信号 必须满足 1 信号是频带受限的 2 采样率至少是信号最高频率的两倍 间矩 抽样定理 几个概念 奈奎斯特频率是信号频率的上限 从抽样信号恢复原始信号的方法 理论上 工程上 将抽样信号通过截止频率为 放大倍数为Ts的低通滤波器 5LT与ZT 实际碰到的信号总是因果信号 正变换积分下限从零开始 绝对可积条件的要求限制了某些增长信号 如eat FT的存在 阶跃信号 周期信号的变换式中出现冲激函数 引入衰减因子 与f t 相乘 令 则 上式被称为拉普拉斯变换式 拉普拉斯变换LT定义 拉普拉斯反变换ILT定义 拉普拉斯变换方法是一种复频域变换方法 常称为s域分析 原函数 若考虑零点处的冲激 则 象函数 复数 拉普拉斯变换 衰减因子引入的意义 作用 从数学观点看 这是将函数f t 乘以因子以使之能满足绝对可积的条件 从物理意义看 这是将频率由w变换为复频率s w只能描述振荡的重复频率 而s不仅能给出重复频率 还可以表示振荡幅度的增长速率或衰减速率 因为复数s可以同时提供两种信息 双边拉普拉斯变换LT与ILT定义 与傅里叶变换的关系 与单边LT的关系 因果信号的单边LT与双边LT是一样的 LT的性质 线性性 时域平移 单边LT 双边LT 复频域平移 尺度变换 单边LT 双边LT 当时域反褶时 LB f t F s 共轭特性 若f t 是实函数 则 时域微分 单边LT 双边LT 时域积分 单边LT 双边LT 复频域微分 其中 初值和终值定理 使用条件 信号是因果信号 且在时不包含冲激或高阶奇异函数 计算方法 注意事项 如果通过该定理求出的初值和终值与实际不符 则计算结果肯定有误 但即使初值与终值这两点与实际符合了 也不能保证所求的LT是正确的 典型信号的LT 周期信号的LT 第一周期的LT 抽样信号的LT 周期单位冲激序列的LT 连续信号冲激抽样后的单边LT 由LT求FT 由LT求FT的基本公式 应用条件 由双边LT求FT 可以 由单边LT求FT 信号不是因果的 信号是因果的 不行 要根据收敛坐标定 求解拉普拉斯变换的收敛域 大纲不作要求 Z变换定义 Z变换是离散信号与系统的理论研究中的一种重要的数学工具 它把离散系统的数学模型 差分方程转化为简单的代数方程 使其求解过程得以简化 设连续因果信号x t 经均匀抽样 则抽样信号xs t 的表达式为 取拉氏变换 变换积分与求和的次序 并利用冲激函数的抽样特性 可得 引入新的复变量z esT 通常令T 1 则 ZT变换定义 序列x n 的ZT 复变函数X z 的IZT 称x n 与X z 为一对变换对 简记为 x n X z z 1的幂级数 代表时延 单边ZT 双边ZT Z变换收敛域 收敛域ROC定义 使给定序列x n 的Z变换X z 中求和级数收敛的z的集合 收敛的充要条件是 判别收敛的方法 比值法 根值法 特定序列的ROC 有限长序列 序列x n 在nn2 其中n1 n2 时为零 ROC至少是 序列的左右端点只会影响其在零点和无穷点的收敛情况 有限项的级数 右边序列 序列x n 在n n1时为零 如果n1为0 则序列是因果序列 端点只影响无穷远处的收敛情况 由根值法 若有 则 右边序列的收敛域是半径为Rx1的圆外部分 左边序列 序列x n 在n n2时为零 如果n2为 1 则序列是反因果序列 若满足 则左边序列的收敛域为 左边序列的收敛域是半径为Rx2的圆内部分 端点只影响无穷远处的收敛情况 双边序列 序列在整个区间都有定义 看成左边序列和右边序列的组合 若Rx1和Rx2存在且Rx2 Rx1 则双边序列的ROC为否则 ROC为空集 即双边序列不存在Z变换 补充说明 求ROC所求得的是级数收敛的充分而非必要条件 实际的收敛域可能会更大 实际的离散信号通常都是因果序列 此时单边ZT与双边ZT是一致的 收敛域也相同 都是z平面上的某个圆外面的区域 与ROC有关的结论 Z变换极点与其ROC的关系 常见序列及其ZT 单位冲激序列 ROC 单位阶跃序列 矩形脉冲序列 序列的单边ZT用双边ZT表示为Z x n ZB x n u n 序列是因果序列的充要条件是x n x n u n 序列是反因果序列的充要条件是x n x n u n 1 单边阶跃序列的用途 单位斜变序列nu n 单位指数序列anu n 单边正余弦序列 要尽可能利用常见ZT对和ZT基本性质求解一般序列的ZT 6ZT的性质 线性性 ROC 时域平移性 双边ZT 单边ZT 左移 右移 左移 右移 ZT的性质 时域扩展性 扩展因子a 1 1 相当于在原序列每两点之间插入a 1个零 相当于原序列先反褶 再每两点之间插入 a 1个零 如果序列是偶对称的 则 如果序列是奇对称的 则 如果一个偶对称或奇对称序列的ZT含有一个非零的零点 或极点 z0那么它必含有另外一个与z0互为倒数的零点 或极点 1 z0 时域共轭性 如果一个序列是实序列 则 如果一个实序列的ZT含有一个零点 或极点 z0 那么它必含有另外一个与之共轭对称的零点 或极点 z0 Z域尺度变换 或序列指数加权 可以用复指数序列调制序列的相位特性 Z域微分 或序列线性加权 ROC唯一可能的变化是加上或去掉零或无穷 初值定理 X z 是因果序列x n 的Z变换 则 终值定理 X z 是因果序列x n 的Z变换 则 只有在极限存在时才能用 此时X z 的极点必须在单位圆内 如果位于单位圆上则只能位于z 1 且是一阶极点 时域卷积定理 卷积的ZT的ROC至少是原序列ZT的ROC的交集 当出现零极点相抵时 ROC可能会扩大 Z域卷积定理 设 C1和C2收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线 的收敛域为 帕斯瓦尔定理 逆Z变换的求解 部分分式展开法 把X z 展开成常见部分分式之和 然后分别求各部分的逆变换 最后把各逆变换相加 即可得到x n 通常展开的对象是X z z 而不是X z 幂级数展开法 把X z 按z 1展成幂级数 通常是使用长除法 那么其系数组成的序列x n 即为所求 这种方法有时给不出一个闭式表达式 留数法 T z 在某个s阶极点处的留数的求法 先将T z 中含有该极点的所有因式全部去掉 然后对z进行s 1次微分 再除以 s 1 最后求出表达式在该极点处的函数值 即为所求 其中 pm为围线包围的X z zn 1的极点 设p是T z X z zn 1的s阶极点 则T z 在该极点处的留数为 7离散时间系统 定义 离散时间系统就是输入输出都是序列的系统 输入x n 通常称为激励 输出y n 称为响应 输入输出的对应关系可简记为x n y n 系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体 信号作为待传输消息的表现形式 可以看作运载消息的工具 而系统则是为传送信号或对信号进行加工处理而构成的某种组合 研究系统所关心的问题是 对于给定信号形式与传输 处理的要求 系统能否与其匹配 它应具有怎样的功能和特性 线性离散时间系统 对任意一组常数ck 1 k K 系统满足下列条件 否则 为非线性离散时间系统 时不变离散时间系统 在相同样起始条件下 系统响应特性与激励施加于系统的时刻无关 否则 为时变离散时间系统 如果系统既是线性的 又是时不变的 则称为线性时不变系统 简记为LTI系统 系统分类 LTI离散时间系统 LTI离散时间系统的表示 有三种基本的内部数学运算关系 单位延时 相加 乘系数 一般用差分方程来描述 其一般形式是 离散系统的响应 单位冲激响应 离散系统对单位冲激序列的零状态响应 记作h n 即 单位阶跃响应 离散系统对单位阶跃序列的零状态响应 系统响应 零状态响应 零输入响应 系统处于零状态时对应的响应 没有激励时系统的响应 用ZT法求解离散时间系统响应的基本步骤 1 求激励的ZT 2 对表示离散系统的差分方程两边施加ZT 3 把激励的ZT代入 求出响应的ZT 4 求 3 的IZT 即可得到系统的响应 离散系统的传递函数 逆系统 如果一个系统的传递函数是H z 那么称传递函数为1 H z 的系统为原系统的逆系统 逆系统对信号的运算是原系统对信号的运算的逆 传递函数或系统函数 表示系统的零状态响应与因果序列激励的ZT之比值 结论1 系统的零状态响应等于激励与单位冲激响应之间的卷积 证明 所以 因为 任意信号可用冲激信号的组合来表示 传递函数H z 与单位冲激响应h n 是一对ZT对 结论2 证明 因为 所以 于是 系统的单位阶跃响应等于其单位冲激响应的部分和 结论3 证明 因为 积分关系 所以 两个系统串联后新系统的单位冲激响应是串联子系统单位冲激响应的卷积 传递函数是串联子系统传递函数的乘积 两个系统并联后新系统的单位冲激响应是并联子系统单位冲激响应的和 传递函数是并联子系统传递函数的和 H1 z H2 z H1 z H1 z H1 z H2 z H1 z H1 z 系统串联 系统并联 离散系统的特性 关于离散系统稳定性和因果性的结论 离散系统是稳定的充要条件 单位冲激响应绝对可积 只要输入有界输出必定有界 输出变化不领先于输入变化 证明 设 对任意的有界输入 有 即输出也是有界的 所以系统稳定 假设系统的单位冲激响应不是绝对可积的 即 即输入是有界的 于是 若系统激励为 显然 即输出是无界的 这与系统是稳定的相矛盾 具有有理传递函数的离散LTI系统是因果的充要条件 ROC是传递函数最外面极点之外的某个圆外部的区域 传递函数分子多项式z的阶次不大于分母多项式z的阶次 具有有理传递函数的因果离散LTI系统是稳定的充要条件 传递函数的全部极点都在单位圆内 若离散LTI系统具有有理传递函数 则结论可进一步推广 稳定系统传递函数的ROC应包含单位圆在内 因果系统传递函数的ROC是某圆外区 包含无穷远点 系统特性与传递函数ROC的关系 离散系统是因果的充要条件 单位冲激响应是因果序列 可利用y n x n h n 来证明 利用下式证明h n H z 离散系统的频率响应 定义 如果离散系统的系统函数为H z 则称为离散系统的频率响应 简称频响 它反映了系统对激励中各频率分量的幅度和相位影响 通常是复值函数 幅频响应 相频响应 序列的离散时间傅里叶变换 是在单位圆上的z变换 可参考抽样信号的傅里叶变换的特性 系统的频率响应是周期为ws 序列的重复频率 当T 1时 ws 2p 的周期函数 并且关于w 0和w ws 2是共轭对称的 系统频率响应在0 p区间的取值 反映了系统对激励信号中从直流到频率ws 2之间各频率分量的响应情况 当把频率为的正弦序列施加到系统函数为H z 的系统上时 系统的稳态响应是同频率的正弦序列 其幅度被扩大了倍 相位被延迟了 此结论对余弦序列同样适用 系统的频率响应是其单位冲激响应的离散时间傅里叶变换 低通系统 带通系统 高通系统 带阻系统 全通系统 幅频响应分类 离散系统按其幅频特性在奈奎斯特区间内的走势可分为 低通 高通 带通 带阻 全通 幅频响应值越大的频率成分 越容易通过系统 幅频响应值越小的频率成分越容易被系统滤除 频率响应几何确定法 传递函数 频响 零点向量差 极点向量差 在z平面原点处加入或去掉零极点 不会影响系统的幅频特性 只影响系统的相频特性 如果单位圆上某个点沿逆时针方向不断转动 转动一周就可以根据下式得到系统的频响 8离散傅里叶变换DFT 连续时间傅里叶变换CTFT不适宜于在数字计算机上进行计算 其主要原因为 信号覆盖了整个时间轴 时间受限信号除外 信号是时间连续的 定义域是连续的 信号的频谱覆盖了整个频谱轴 频带受限信号除外 信号的频谱是连续的 时域要离散 有限 频谱要离散 有限 时域周期延拓 时域截断 时域抽样 解决信号的离散化问题 工程上无法处理时间无限信号 要使频率离散 就要使时域变成周期信号 时域乘以矩形脉冲信号 频域相当于和抽样函数卷积 通过窗函数对信号进行逐段截取 连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓 周期延拓中的搬移通过与的卷积来实现 周期延拓后的周期函数具有离散谱 通过与抽样信号相乘得到 经过抽样 截断和延拓后 信号时域和频域都是离散 周期的 DFT的推导 处理后信号的连续时间傅里叶变换 它是离散函数 仅在离散频率点f k NTs处存在冲激 强度为ak 其余各点为0 它是周期函数 周期为Nf0 1 Ts 每个周期内有N个不同的幅值 时域的离散时间间隔Ts 或周期To 与频域的周期fs 或离散时间间隔fo 互为倒数 时域是周期的 时域是离散的 DFT定义 DFT的定义 设h nTs 是连续函数h t 的N个抽样值n 0 1 N 1 这N个点的宽度为N的DFT为 N点DFT的变换核 IDFT定义 IDFT的定义 设H k NTs 是连续频率函数H f 的N个抽样值k 0 1 N 1 这N个点的宽度为N的IDFT为 N点IDFT的变换核 变换核定义 DFT定义 正逆变换的核函数分别可以表示为和 DFT可以表示为 核函数的正交性可以表示为 IDFT可以表示为 周期性与对称性 用途 周期性与对称性 离散谱的性质 离散谱定义 离散序列h nTs 0 n N 的DFT离散谱为 离散谱性质 周期性 序列的N点DFT离散谱是周期为N的序列 幅度对称性 如果离散序列x nTs 0 n N 为实序列 则其N点DFT关于原点和N 2都有 共轭对称性 DFT的定义是针对任意的离散序列x nTs 中的有限个离散抽样 0 n N 的 它并不要求该序列具有周期性 由DFT求出的周期离散谱 由IDFT重建的信号是离散的周期函数 DFT总结 谱函数的周期为fs 1 Ts N NTs N T0 Nf0谱函数关于变元k的周期为N谱函数的离散间隔为f0 1 T0 1 NTs fs N 重建信号的周期为T0 1 f0 N Nf0 N fs NTs对应离散谱的离散间隔的倒数重建信号的离散间隔为Ts 1 fs 1 Nf0 T0 N对应离散谱的周期的倒数 To NTs fs Nfo 实序列的离散谱关于原点和N 2 如果N是偶数 是共轭对称和幅度对称的 因此 真正有用的频谱信息可以从0 N 2 1范围获得 在时域和频域0 N范围内的N点分别是各自的主值区间或主值周期 IDFT重建信号的基频就是频域的离散间隔 或时域周期的倒数 为f0 1 T0 1 NTs DFT的性质 线性性 对任意常数am 1 m M 有 奇偶虚实性 DFT的反褶与平移 新解释 先把有限长序列周期延拓 再作相应反褶或平移 最后取主值区间的序列作为最终结果 为了便于研究有限长序列的位移特性 需建立 圆周移位 的概念 m N 1 m N 1 m x n x n n n O O 若将上述两个序列分别取DFT 则它们的级数取和范围出现差异 前者从0到N 1 后者从m到N 1 m 当时移位数不同时 DFT取和范围要随这改变 这种现象给位移序列DFT之研究带来了不便 时移性 序列的时移不影响DFT离散谱的幅度 频移性 对称性 把离散谱序列当成时域序列进行DFT 结果是原时域序列反褶的N倍 如果原序列具有偶对称性 则DFT结果是原时域序列的N倍 反褶和共轭性 圆卷积 周期均为N的序列x n 与y n 之间的圆卷积定义为 仍是n的序列 周期为N 非周期序列之间只可能存在线卷积 不存在圆卷积 周期序列之间存在圆卷积 但不存在线卷积 时域离散圆卷积定理 频域离散圆卷积定理 时域离散圆相关定理 圆相关 周期均为N的序列x n 与y n 之间的圆卷积定义为 仍是n的序列 周期为N 帕斯瓦尔定理 9FFT算法 直接计算DFT的复杂度为O N2 计算DFT的计算量 每算一个H k 需要N次复数乘法 N 1次加法 因此 N点DFT需要N N次复数乘法 N N 1 次复数加法 尽管预先算好并保存旋转因子可以节省部分运算 但按定义求DFT的运算量仍然很大 FFT的原理 1W具有周期性 2W具有对称性 N点DFT运算可以分解为两组N 2点DFT运算 然后再取和 经过周期性与对称性简化之后 容易发现DFT运算中存在着不必要的重复计算 避免这种重复 是简化运算的关键 DFT的复杂度与点数N有关 FFT是DFT的快速算法 不是新的变换方法 其算法基础是 W的两个性质 其中 k的取值范围是0 N 1 而He k 和Ho k 是N 2点的DFT 其周期是N 2 因此 H k DFT的前N 2点和后N 2点都可以用He k 和Ho k 来表示 于是 N点H k 用N 2点的He k 和Ho k 来计算的公式为 0 4 2 6 1 5 3 7 0 4 2 6 1 5 3 7 0 4 2 6 1 5 3 7 0 4 2 6 1 5 3 7 0 4 2 6 1 5 3 7 0 4 2 6 1 5 3 7 0 4 2 6 1 5 3 7 0 4 2 6 1 5 3 7 0 4 2 6 1 5 3 7 0 4 2 6 1 5 3 7 0 4 2 6 1 5 3 7 0 4 2 6 1 5 3 7 0 4 2 6 1 5 3 7 0 4 2 6 1 5 3 7 X k x n N 4点DFT N 4点DFT N 4点DFT N 2点DFT N 4点DFT N 2点DFT N点组合相加 第一级 第二级 第三级 FFT逐级分解 FFT运算流程图 第一级 第二级 第三级 蝶形运算单元 群 FFT蝶形运算单元 一个蝶形单元只需一次复数乘法和两次复数加法 可以共享 FFT算法流程说明 全部计算分解为M级 或称为M次迭代 输入序列x n 按码位倒读顺序排列 输出序列X k 按自然顺序排列 每级都包含N 2个蝶形单元 每级的若干蝶形单元组成 群 第1级群数为N 2 第2级群数为N 4 第i级群数为N 2i 最后一级的群数为1 每个蝶形单元