山东省济宁市高考数学专题复习 第23讲 正弦定理和余弦定理练习 新人教A版.doc

第七节正弦定理和余弦定理考情展望1.利用正、余弦定理实现边、角的转化，从而解三角形或判断三角形的形状.2.利用正、余弦定理求三角形(或多边形)的面积.3.与平面向量、三角恒等变换等知识相融合，考查学生灵活运用知识的能力一、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2ra2b2c22bccos_a，b2c2a22cacos_b，c2a2b22abcos c变形形式a2rsin_a，b2rsin_b，c2rsin_c；abcsin_asin_bsin_c；.cos a；cos b；cos c.解决问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.在abc中，已知a，b和角a时，解的情况a为锐角a为钝角或直角图形关系式absin absin aababab解的个数一解两解一解一解由上表可知，当a为锐角时，absin a，无解当a为钝角或直角时，ab，无解二、三角形常用面积公式1saha(ha表示边a上的高)；2sabsin cacsin bbcsin a.3sr(abc)(r为内切圆半径)三角形中的常用结论(1)abc，.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)在abc中，tan atan btan ctan atan btan c(a、b、c)1在abc中，a15，b10，a60，则cos b()a. b. c d【解析】由正弦定理，得sin b.ab，a60，b60，cos b.【答案】a2在abc中，若a18，b24，a45，则此三角形有()a无解 b两解c一解 d解的个数不确定【解析】bsin a24sin 451218，bsin aab，故此三角形有两解【答案】b3已知abc中，a，b，c的对边分别为a，b，c.若ac，且a75，则b()a2 b42c42 d.【解析】在abc中，易知b30，由余弦定理b2a2c22accos 304.b2.【答案】a4abc中，b120，ac7，ab5，则abc的面积为_【解析】由余弦定理知ac2ab2bc22abbccos 120，即4925bc25bc，解得bc3.故sabcabbcsin 12053.【答案】5(2013湖南高考)在锐角abc中，角a，b所对的边长分别为a，b.若2asin bb，则角a等于()a. b. c. d.【解析】在abc中，a2rsin a，b2rsin b(r为abc的外接圆半径)2asin bb，2sin asin bsin b.sin a.又abc为锐角三角形，a.【答案】d6(2013陕西高考)设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若bcos cccos basin a，则abc的形状为()a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d不确定【解析】bcos cccos bbcaasin a，sin a1.a(0，)，a，即abc是直角三角形【答案】b考向一 065利用正、余弦定理解三角形(2014临沂模拟)在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且bsin aacos b.(1)求角b的大小；(2)若b3，sin c2sin a，求a，c的值【思路点拨】(1)利用正弦定理把边转化为对角的正弦求解(2)利用正弦定理把角的正弦转化为边的关系，借助余弦定理求解【尝试解答】(1)由bsin aacos b及正弦定理，得sin bcos b.所以tan b，所以b.(2)由sin c2sin a及，得c2a.由b3及余弦定理b2a2c22accos b，得9a2c2ac.所以a，c2. 规律方法11.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解.2.利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的.对点训练(1)abc中，若b1，c，c，则a的值()a. b. c. d1(2)已知abc中，sin asin bsin c324，则cos c等于()a. b c. d(3)(2014南昌模拟)在abc中，内角a，b，c的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin c2sin b，则a()a30 b60 c120 d150【解析】(1)法一c2a2b22abcos c，()2a212acos，a2a20，(a2)(a1)0，a1.法二由正弦定理得sin b.bc，bc，b.又abc，abc，ab1.(2)由sin asin bsin c324可知abc324，设a3x，b2x，c4x，则cos c.(3)由sin c2sin b可知c2b.又a2b2bc，ab.cos a.a30.【答案】(1)d(2)b(3)a考向二 066利用正弦、余弦定理判断三角形的形状(2014吉林模拟)在abc中，a，b，c分别表示三个内角a，b，c的对边，如果(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)，试判断该三角形的形状【思路点拨】求解本题可采用两种思路，一是化边为角，二是化角为边【尝试解答】法一(化边为角)：(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)，a2sin(ab)sin(ab)b2sin(ab)sin(ab)，2a2cos asin b2b2sin acos b.由正弦定理得2sin2acos asin b2sin2bsin acos b，即sin 2asin asin bsin 2bsin asin b.0a，0b，sin 2asin 2b，2a2b或2a2b，即ab或ab.abc是等腰三角形或直角三角形法二(化角为边)：同法一可得2a2cos asin b2b2cos bsin a，由正弦、余弦定理得a2bb2aa2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(c2a2b2)0.ab或c2a2b2，abc为等腰三角形或直角三角形规律方法2判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断.【提醒】在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外，在变形过程中要注意角a，b，c的范围对三角函数值的影响.对点训练在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c的对边，且2asin a(2bc)sin b(2cb)sin c.(1)求a的大小；(2)若sin bsin c1，试判断abc的形状【解】(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理，a2b2c22bccos a，bc2bc cos a，cos a.又0a，a.(2)由(1)知sin2asin2bsin2csin bsin c，sin2a(sin bsin c)2sin bsin c.又sin bsin c1，且sin a，sin bsin c，因此sin bsin c.又b、c(0，)，故bc.所以abc是等腰的钝角三角形考向三 067与三角形面积有关的问题(2013浙江高考)在锐角abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c且2asin bb.(1)求角a的大小；(2)若a6，bc8，求abc的面积【思路点拨】(1)利用已知条件和正弦定理可求出sin a，进而求出a；(2)利用余弦定理求出bc，再用面积公式求面积【尝试解答】(1)由2asin bb及正弦定理， 得sin a.因为a是锐角，所以a.(2)由余弦定理a2b2c22bccos a，得b2c2bc36.又bc8，所以bc.由三角形面积公式sbcsin a，得abc的面积为.规律方法31.本例(2)在求解中通过,“b2c2bc(bc)23bc”实现了“bc”与“bc”间的互化关系.2.在涉及到三角形面积时，常常借助余弦定理实现“和与积”的互化.对点训练(2013湖北高考)在abc中，角a，b，c对应的边分别是a，b，c，已知cos 2a3cos(bc)1.(1)求角a的大小；(2)若abc的面积s5，b5，求sin bsin c的值【解】(1)由cos 2a3cos(bc)1，得2cos2a3cos a20，即(2cos a1)(cos a2)0.解得cos a或cos a2(舍去)因为0a，所以a.(2)由sbcsin abcbc5，得bc20.又b5，所以c4.由余弦定理，得a2b2c22bccos a25162021，故a.又由正弦定理，得sin bsin csin asin asin2a.规范解答之六正、余弦定理在解三角形中的巧用1个示范例 1个规范练(12分)(2013课标全国卷)如图371，在abc中，abc90，ab，bc1，p为abc内一点，bpc90.图371(1)若pb，求pa；(2)若apb150，求tanpba.【规范解答】(1)由已知得pbc60，所以pba30.2分在pba中，由余弦定理得pa232cos 30.4分故pa.6分(2)设pba，由已知得pbsin .7分在pba中，由正弦定理得 ，9分化简得cos 4sin ，11分所以tan ，即tanpba.12分【名师寄语】(1)熟练掌握正、