数学活动

二次函数的最值问题第三学段 7 9年级 三十二团中学康春林 小课题研究 变量 函数 学段目标的设计与实施 纵观近几年的中考试卷 在压轴题里面 以函数 特别是二次函数 为载体 二次函数的最值问题是中考的热门知识点 学习目标 1 能依据已知条件确定抛物线的函数表达式 2 探究实际问题中的最值与二次函数的关系 3 能建立二次函数模型解决最值问题 重点 在不同问题情境中建立二次函数模型 掌握用二次函数求最值的思路 难点 理解自变量取值范围对最值的影响 回顾二次函数的图像与性质 续表 小 性质 如何确定二次函数的最大值会最小值呢 函数y a x h 2 k a 0 的对称轴是顶点坐标是 一定点二定向三求值 直线x h h k 思考 1 如何求抛物线的顶点坐标 有几种方法 如何选择 2 对称轴有何意义 3 顶点的纵坐标在实际问题中一定是最大 小 值吗 4 自变量的取值范围对求最值有影响吗 1 如图 一边靠学校院墙 其他三边用24m长的篱笆围成一个矩形花圃 设矩形ABCD的边AB xm 面积为S 1 写出S与x之间的函数关系式 写出自变量的取值范围 2 当x取何值时 面积S最大 最大值是多少 并画出简图 一 面积最值自主完成 0 12 3 变式 如果中间隔有二道篱笆的长方形花圃 设花圃的宽AB为x米 面积为S平方米 若墙的最大可用长度为8米 则求围成花圃的最大面积 0 6 36 32 3 x y 3 36 4 4 x 6 合作探究2 如图 正方形ABCD的边长为1 点E F G H分别位于正方形ABCD的四条边上 四边形EFGH也是正方形 且AE BF CG DH 当点E位于何处时 正方形EFGH的面积最小 最小面积是多少 A B C D E F G H 1 0 5 0 0 5 1 y x 0 5 0 5 0 x 1 商场经营一种商品 购进时的单价是30元 根据市场调查 在一段时间内 销售单价是40元时 销售量是600件 而销售单价每涨价1元 就会少售出10件 1 设该种商品的销售单价为x元 x 40 请你分别用x的代数式表示销售量y件和销售该商品获得的利润P元 并把结果填入下列表格中 二 利润最值 一 自主或合作探究 1 分析 销售量 y 1000 10 x 40 x 100 一件的利润 销售数量 总利润P x 30 1000 10 x 40 x 100 2 在 1 问条件下 若规定该商品销售单价不低于44元 且商场要完成不少于540件的销售任务 求商场销售该商品获得的最大利润是多少 依题意得不等式组 x 441000 10 x 54044 x 46P x 30 1000 10 x 10 x2 1300 x 30000如图 顶点坐标 65 12250 44 46 X 46时 代入解析式计算得p最大值 8640 元 题后反思 1 容易出现的问题 同学们的一般思路是求抛物线的顶点坐标 简单地理解为顶点的纵坐标就是最值 没有关注自变量的取值范围 2 解决此问题的方法 建立任何函数关系 都要附带自变量的取值范围 理解自变量的取值与函数值的制约关系 求二次函数的最值 首先要看二次函数自变量的取值范围 自变量的取值范围可以分为以下几种情况 当自变量的取值范围是全体实数时 则函数图象顶点的纵坐标即为函数的最值 当自变量的取值范围有一定限制 且自变量的取值范围包括对称轴时 则函数图象与对称轴交点的纵坐标即为函数的最值 当自变量的取值范围有一定限制 且自变量的取值范围不包括对称轴时 要根据二