拟合与插值.ppt

1 拟合与插值 第5章数值分析法建模 2 相同点 插值和拟合都是做函数逼近他们都是通过已知一些离散点集M上的约束 求取一个定义在连续点集S M包含于S 的未知连续函数 从而达到获取整体规律的目的 即通过 窥几斑 来达到 知全豹 3 不同点 从几何意义上看拟合是给定了空间中的一些观测数据点 找一个已知形式但未知参数的连续曲面 曲面 来最大限度地逼近这些点 而插值是找到一个 或几个分片光滑的 连续曲面 曲线 来穿过这些点 4 拟合函数 拟合是指选取含参数的函数形式f x a1 a2 am 已知函数f在离散点集M上的离散函数值 y1 y2 yn 通过调整待定系数a1 a2 am 使得函数计算值与集合M上的数据点误差 最小二乘意义 最小 如果选取线性函数 就叫线性拟合或者线性回归 统计中的名称 否则叫作非线性拟合或者非线性回归 拟合函数不需要经过数据点 5 插值函数 插值是指已知某函数的在离散点集M上的函数值或者导数信息 通过求解函数形式 使得函数在给定离散点上满足约束条件 如果约束条件中只有函数值的约束 叫作Lagrange插值 否则叫作Hermite插值插值函数必须经过所有数据点 6 曲线拟合步骤 确定经验公式形式 确定经验公式中的系数 检验经验公式有效性 7 利用已知的结论 曲改直 描点作图法 多项式近似 如何确定经验公式形式 8 利用已知结论 相关的定理 定律前人比较成熟的成果 公认的结论普遍采用的公式根据经验的假设 假想 要验证 9 最小二乘法原理就是找一组参数使最小二乘误差最小 数学原理 高等数学中介绍的多元函数求极值 S取极值的必要条件 曲线拟合问题最常用的解法 线性最小二乘法的基本思路 选定一组基函数r1 x r2 x rn x n m 选取拟合函数形式为f x a1r1 x a2r2 x anrn x 其中a1 a2 an为待定系数 正规方程 10 多项式拟合是工程中十分常见的方法 它首先需要我们确定多项式的阶数 一般可以用差分法 差商法来估计 逼近论类似的思想 泰勒公式 11 差分与差商概念一阶向前差分二阶向前差分 m阶向前差分一阶差商二阶差商 m阶差商 12 差商与导数的联系 微分中值定理 若y f x 在 a b 上m次可导 且则若结点为等距分割点时 有 h为结点距 且因此对n阶多项式有常数 据此 我们可以根据数据的差分来确定多项式的次数 13 一般地 等距节点用差分 不等距节点用差商作用 作为微分与导数的近似估计 便于确定多项式的阶数 差分表 插商表波动最小原则 14 差分表 15 xkf xk 一阶差商二阶差商三阶差商 n阶差商 差商表 16 非线性最小二乘法 基本思想 计算误差与实际误差尽可能小处理手段优化 17 与拟合有关的MATLAB函数 polyfit 多项式拟合poly2sym 由多项式系数向量得多项式符号表达式polyval 计算多项式函数在指定处的函数值poly 计算过固定点的多项式lsqcurvefit lsqnonlin非线性最小二乘拟合fit fittype一般非线性拟合 1 作多项式f x anxn a1x a0拟合 可利用Matlab命令 a polyfit x y n 2 对超定方程组 可得最小二乘意义下的解 用 yy polyval a xx 计算多项式a在xx处的值 18 当精确函数y f x 非常复杂或未知时 在区间 a b 上一系列节点x0 xm处测得函数值y0 f x1 ym f xm 由此构造一个简单易算的近似函数g x f x 满足条件g xj f xj j 0 m 这个问题称为 插值问题 插值问题 g x 称为f x 的插值函数 一般取多项式函数 x0 xm称为插值节点 插值结点互不相同 条件 称为插值条件 区间 a b 称为插值区间 19 x0 x0 x2 xm 1 xm f x g x 精确函数y f x 非常复杂或未知 g x 称为f x 的插值函数 节点x0 xm称为插值节点 20 基本思想 在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数 0 x 1 x n x 使 pn x a0 0 x a1 1 x an n x 不同的基函数的选取导致不同的插值方法 无论是从理论和计算的角度 还是从应用的角度看 多项式都是最简单的函数 因此 多项式插值是最基本的插值方法 21 根据插值条件 应有 拉格朗日 Lagrange 插值 22 称为拉格朗日插值基函数 拉格朗日插值多项式公式也可以通过构造插值基函数方法直接得到 其中li x 为n次多项式 拉格朗日 Lagrange 插值 23 拉格朗日 Lagrange 插值 特别地 两点一次 线性 插值多项式 三点二次 抛物线 插值多项式 24 拉格朗日多项式插值的这种振荡现象叫Runge现象 采用拉格朗日多项式插值 选取不同插值节点个数n 1 其中n为插值多项式的次数 当n分别取2 4 6 8 10时 绘出插值结果图形 例 1ch m 25 Newton sInterpolation基本原理 Lagrange插值虽然易算 但若要增加一个节点时 全部基函数li x 都需要重新计算 能否重新在Pn中寻找新的基函数 希望每加一个节点时 只附加一项上去即可 26 选取 1 x x0 x x0 x x1 x x0 x x1 x xn 1 构成Pn的一组基函数 Newton sInterpolation基本原理 利用插值条件Nn xj f xj j 0 1 n代入上式 得关于Ak k 0 1 n 的线性代数方程组 当xj互异时 系数矩阵非奇异 方程有唯一解 27 Lagrange插值与Newton插值的异同点 两者都是通过给定n 1个互异的插值节点 求一条n次多项式曲线近似地表示待插值的函数曲线 Lagrange插值和Newton法插值的结果和余项都是一致的 因为都是利用n次多项式插值 区别 Lagrange插值法在求每个函数的时候要用到所有结点 因此如果需要再多加进去一个结点的话 需要重新求出函数才可 而这需要大工作量 于是数学家们就发明了Newton法 Lagrange插值法是通过构造n 1个n次基函数 作线性组合 结果当然也是n次的多项式 而得到 Newton法插值是通过求各阶差商 递推得到公式f x f x0 x x0 f x0 x1 x x0 x x1 f x0 x1 x2 x x0 x xn 1 f x0 x1 xn 28 在数学上 光滑程度的定量描述是 函数 曲线 的k阶导数存在且连续 则称该曲线具有k阶光滑性 光滑性的阶次越高 则越光滑 是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法 三次样条插值就是一个很好的例子 三次样条插值 29 CubicSplineInterpolationLagrangeInterpolation 30 三次样条插值 f x 为被插值函数 31 yi interp1 x y xi method nearest 最邻近插值 linear 线性插值 spline 三次样条插值 cubic 立方插值 缺省时 线性插值 插值方法要求x单调 且xi不能够超过x的范围 用MATLAB作一维插值计算 扩展材料 32 机床加工问题 用程控铣床加工机翼断面的下轮廓线时每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步 表3 1给出了下轮廓线上的部分数据但工艺要求铣床沿x方向每次只能移动0 1单位 这时需求出当x坐标每改变0 1单位时的y坐标 试完成加工所需的数据 画出曲线 33 求解机床加工问题 x0 035791112131415 y0 01 21 72 02 12 01 81 21 01 6 x 0 0 1 15 y interp1 x0 y0 x spline plot x0 y0 k x y r gridon 34 35 要求x0 y0单调 x y可取为矩阵 或x取行向量 y取为列向量 x y的值分别不能超出x0 y0的范围 z interp2 x0 y0 z0 x y method nearest 最邻近插值 linear 双线性插值 cubic 双三次插值缺省时 双线性插值 用MATLAB作网格节点数据的插值 二维 36 cz griddata x y z cx cy method 要求cx取行向量 cy取为列向量 nearest 最邻近插值 linear 双线性插值 cubic 双三次插值 v4 Matlab提供的插值方法缺省时 双线性插值 用MATLAB作散点数据的插值计算 37 航行区域的警示线 某海域上频繁地有各种吨位的船只经过 为保证船只的航行安全 有关机构在低潮时对水深进行了测量 下表是测量数据 表3水道水深的测量数据x129 0140 0103 588 0185 5195 0105 5y7 5141 523 0147 022 5137 585 5z4868688x157 5107 577 081 0162 0162 0117 5y 6 5 81 03 056 5 66 584 0 33 5z9988949 38 航行区域的警示线 其中 x y 为测量点 z为 x y 处的水深 英尺 水深z是区域坐标 x y 的函数z z x y 船的吨位可以用其吃水深度来反映 分为4英尺 4 5英尺 5英尺和5 5英尺4档 航运部门要在矩形海域 75 200 50 150 上为不同吨位的航船设置警示标记 请根据测量的数据描述该海域的地貌 并绘制不同吨位的警示线 供航运部门使用 39 Matlab求解 x 129140103 588185 5195105 5157 5107 57781162162117 5 y 7 5141 52314722 5137 585 5 6 5 81356 5 66 584 33 5 z 4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9 cx 75 0 5 200 cy 70 0 5 150 cz griddata x y z cx cy cubic meshz cx cy cz xlabel X ylabel Y zlabel Z figure 2 contour cx cy cz 5 5 gridon holdonplot x y xlabel X ylabel Y 40 41 42 1 拉格朗日插值 自编程序 2 分段线性插值 已有程序y interp1 x0 y0 x 3 三次样条插值 已有程序y interp1 x0 y0 x spline 或y spline x0 y0 x 注意 所有的插值方法都要求x0是单调的 并且x不能够超过x的范围 interp2 interp3 interpn多元函数插值 43 pp spline x y 样条函数的表示 PP结构 pp cscvn x y 自然样条函数的表示yi ppval pp xx 或yi spline x y xx 样条函数求值fprime fnder pp fprime fnder pp dorder 样条函数求导inters fnint pp intgrf fnint pp value 样条函数积分fnplt pp 样条函数绘图 样条函数的相关MATLAB命令 44 x 0 10 y 2 4 5 7 6 7 5 8 9 12 17 x0 0 0 1 10 y1 interp1 x y x0 y2 interp1 x y x0 spline plot x y ro x0 y1 x0 y2 legend 原始数据 分段线性 3次样条 45 例 用三次样条插值选取11个基点计算插值 ych m 46 例1 在1 12的11小时内 每隔1小时测量一次温度 测得的温度依次为 5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24 试估