2012年考研数学冲刺班概率论与数理统计讲义.doc

考研冲刺班概率论和数理统计一、基本概念总结1、概念网络图2、最重要的5个概念（1）古典概型（由比例引入概率）例1：3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？例2：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？（2）随机变量与随机事件的等价（将事件数字化） 例3：已知甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：（1） 乙箱中次品件数X的数学期望。 （2） 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。 例4：将一枚均匀硬币连掷三次，以X表示三次试验中出现正面的次数，Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求（X，Y）的联合分布律。（3）分布函数（将概率与函数联系起来） （4）离散与连续的关系 例5：见“数字特征”的公式。（5）简单随机样本（将概率和统计联系在一起）样本是由n个同总体分布的个体组成的，相当于n个同分布的随机变量的组合（n维随机变量）。例6：样本的是已知的，个体（总体）的未知，矩估计：，完成了一个从样本到总体的推断过程。二、做题的19个口诀（概率16个，统计3个）1、概率（1）题干中出现“如果”、“当”、“已知”的，是条件概率。 例7：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问第二次打开的概率？例8：设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为。（2）时间上分两个阶段的，用“全概公式”或者“贝叶斯公式”。例9：玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。（3）“只知次数，不知位置”是“二项分布”。 例10：抛5次硬币，其中有3次正面朝上的概率？ 例11：1对夫妇生4个孩子，2男2女的概率？例12：某厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格产品不能出厂。现该厂新生产了台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求（1） 全部能出厂的概率；（2） 恰有两台不能出厂的概率；（3） 至少有两台不能出厂的概率。（4）“先后不放回取”“任取”，是“超几何分布”。 例13：5个球，3红2白，先后不放回取2个，2红的概率？ 例14：5个球，3红2白，任取2个，2红的概率？ （5）“先后放回取”是“二项分布”。 例15：5个球，3红2白，先后放回取5个，2红的概率？（6）“直到才”是“几何分布”。例16：4黑球，2白球，每次取一个，放回，直到取到黑为止，令X()为“抽取次数”，求X的分布律。例17：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开不扔掉，问以下事件的概率？第一次打开；第二次打开；第三次打开。（7）求随机变量函数的分布密度，从分布函数的定义入手。 例18：设X的分布函数F(x)是连续函数，证明随机变量Y=F（X）在区间（0，1）上服从均匀分布。（8）二维随机变量的概率分布从两个事件相交的本质入手。 ，。（9）二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定积分的上下限。例19：设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中求X的边缘密度。（10）求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率，由画图计算相交部分（正概率区间和所求区域的交集）的积分。例20：设随机变量（X，Y）的分布密度为试求U=X-Y的分布密度。（11）均匀分布用“几何概型”计算。例21：设随机变量（X，Y）的分布密度为试求P(X+Y1)。（12）关于独立性：对于离散型随机变量，有零不独立；对于连续型随机变量，密度函数可分离变量并且正概率密度区间为矩形。例22：设Xe（1），（k=1, 2）,求：（1）的分布；（2）边缘分布，并讨论他们的独立性；（3）例23：如图，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, fY(y)=4y-4y3，不独立。y1 D1O 1 x例24：f(x,y)=,判断X和Y的独立性。 （13）二维随机变量的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，由边缘分布来求。例25：设，为两个随机事件,且, , , 令 求() 二维随机变量的概率分布;() 与的相关系数 ; () 的概率分布. （14）相关系数中的E(XY)，对于离散型随机变量，根据XY的一维分布来求；对于连续型随机变量，按照函数的期望来求。例26： 连续型随机变量：E(XY)（15）应用题：设Y为题干中要求期望的随机变量，a为最后题目所求，然后找Y与X的函数关系，再求E(Y)。例27：设某种商品每周的需求量X服从区间10，30上的均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间10，30中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。（16）切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。2、统计（1）似然函数是联合密度或者联合分布律。连续型：离散型：例28：设总体X的概率分别为其中（0）是未知参数，利用总体X的如下样本值3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3求的矩估计值和最大似然估计值。（2）“无偏”求期望，“有效”求方差，“一致”不管它。 例29：设是总体的一个样本，试证（1）（2）（3）都是总体均值u的无偏估计，并比较有效性。（3）标准正态、分布区间估计和假设检验取关于y轴对称的分位数，、分布取面积对称的分位数。三、选择题常考的5个混淆概念1、乘法公式和条件概率例30：100个学生，60个男生，40个女生，棕色头发30个，棕色头发的男生10个，任取一个学生，是棕色头发的男生的概率？已知取了一个男生，是棕色头发的概率？2、独立和互斥设A, B，则A和B相互独立与A和B互斥矛盾。例31：对于任意二事件A和B，（A） 若AB=，则A，B一定不独立。（B） 若AB=，则A，B一定独立。（C） 若AB，则A，B一定独立。（D） 若AB，则A，B有可能独立。3、独立和不相关 独立是不相关的充分条件。 (X,Y)为二维正态分布时，独立和不相关互为充分必要条件。4、X，Y分别为正态分布，不能推出（X，Y）为二维正态分布； 也不能推出 X+Y 为一维正态分布。例32：已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数，设（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X与Z的相关系数；（3）问X与Z是否相互独立？为什么？例33：设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则（A）X与Y一定独立。（B）（X，Y）服从二维正态分布。（C）X与Y未必独立。（D）X+Y服从一维正态分布。5、几个大数定律的区别 切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。例34：设X1,X2,Xn，是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n的指数分布（n=1,2, ），则随机变量序列 X1,22X2,n2Xn，：(A) 服从切比雪夫大数定律。(B) 服从辛钦大数定律。(C) 同时服从切比雪夫大数定律和辛钦大数定律。(D) 既不服从切比雪夫大数定律，也不服从辛钦大数定律。四、解答题常考的6个题型1、全概和贝叶斯公式 例35：在电源电压不超过200V、在200240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，设电源电压XN（220，252），试求（1） 该电子元件损坏的概率；（2） 该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率。表中（x）是标准正态分布函数。2、二项分布例36：设测量误差XN（0，102）。试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用泊松分布求出的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。附表：3、二维随机变量例37：设二维随机变量（X，Y）的概率分布为YX 0 10 0.4a1 b0.1若随机事件X=0与X+Y=1互相独立，则A、a=0.2, b=0.3B、a=0.1, b=0.4C、a=0.3, b=0.2D、a=0.4, b=0.1 例38：设随机变量在区间上服从均匀分布，在的条件下，随机变量在区间上服从均匀分布，求() 随机变量和的联合概率密度；() 的概率密度； () 概率4、数字特征例39：一辆送客汽车，载有m位乘客从起点站开出，沿途有n个车站可以下车，若到达一个车站，没有乘客下车就不停车。设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数。例40：今有两封信欲投入编号为I、II、III的3个邮筒，设X，Y分别表示投入第I号和第II号邮箱的信的数目，试求（1）（X，Y）的联合分布；（2）X与Y是否独立；（3）令U=max (X,Y), V=min(X,Y)，求E（U）和E（V）。例41：设为独立同分布的随机变量，且均服从N（0，1）。记 求：（I） （II） (III) 例42：设随机变量X的概率密度为为二维随机变量的分布函数,求:() Y的概率密度() ()5、应用题例43：市场上对商品需求量为XU（2000，4000），每售出1吨可得3万元，若售不出而囤积在仓库中则每吨需保养费1万元，问需要组织多少货源，才能使收益最大？例44：设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（，1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。已知销售利润T（单元：元）与销售零件的内径X有如下关系。问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？6、最大似然估计例45：设随机变量的分布函数为 其中参数. 设为来自总体的简单随机样本，() 当时, 求未知参数的矩估计量；() 当时, 求未知参数的最大似然估计量；() 当时, 求未知参数的最大似然估计量。 例46：设总体的概率密度为，其中是未知参数（01）。为来自总体的简单随机样本，记N为样本值中小于1的个数。求的矩估计和最大似然估计。五、考试的2个技巧：1、填空题和选择题的答题技巧例47：设随机变量独立同分布，则行列式的数学期望。例48：将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：