2019_2020学年高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布讲义新人教A版选修2_3.docx

2.4 正态分布知识点正态曲线1正态曲线函数，x(，)，其中实数，(0)为参数，我们称，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线2正态曲线的性质(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线对称；(3)曲线在x处达到峰值；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；(6)当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；越小，曲线越“瘦高”总体分布越集中，如图乙所示：知识点正态分布一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(，2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为XN(，2)知识点3原则(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(X)0.6826；P(2X2)0.9544；P(3X3)0.9974.(2)通常服从正态分布N(，2)的随机变量X只取(3，3)之间的值正态分布是概率统计中最重要的一种分布，它由参数，唯一确定，常记作N(，2)，其中是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计，是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计参数，可由正态曲线的对称性求得：正态曲线关于x对称，当x时达到峰值.理论上可以证明，正态变量在区间(，(2，2，(3，3内的取值的概率分别为0.6826,0.9544,0.9974，由于正态分布在(，)内取值的概率为1，可以推出它在区间(2，2之外的取值的概率为0.0456，在区间(3，3之外的取值的概率为0.0026，于是正态变量的取值几乎都在x三倍标准差之内，这就是正态分布的3原则1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数，(x)中参数，的意义分别是样本的均值与方差()(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数，的变化而变化的()(3)正态曲线可以关于y轴对称()答案(1)(2)(3)2做一做(1)已知正态分布密度函数为f(x)，x(，)，则该正态分布的均值为_，标准差为_(2)设两个正态分布N(1，)(10)和N(2，)(20)的密度函数图象如图所示，则有1_2，1_2.(3)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，2)(0)若在(0,1)内取值的概率为0.4，则在(0,2)内取值的概率为_答案(1)0(2)(3)0.8解析(1)对照正态分布密度函数f(x)，x(，)，可得0，.(2)可知N(1，)，N(2，)的密度曲线分别关于直线x1，x2对称，因此结合所给图象知12，且N(1，)的密度曲线较N(2，)的密度曲线“高瘦”，因此12.(3)可知正态分布N(1，2)的密度曲线关于直线x1对称若在(0,1)内取值的概率为0.4，则在(0,2)内取值的概率为0.8.探究正态分布密度曲线例1如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差解从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x20对称，最大值是，所以20.由，解得.于是概率密度函数的解析式是(x)，x(，)总体随机变量的期望是20，方差是2()22.拓展提升利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质性两点：一是对称轴x，另一个是最值.这两点确定以后，相应参数，便确定了，代入，(x)中便可求出相应的解析式若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 .(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(4,4上的概率解(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即0.由，得4.故该正态分布的概率密度函数的解析式是 (2)P(4X4)P(04X04)P(X)0.6826.探究利用正态分布求概率例2若随机变量服从正态分布N(0,1)，已知P(1.96)0.025，则P(|1.96)()A0.025B0.050 C0.950D0.975解析随机变量服从正态分布N(0,1)，得0，其图象关于y轴对称，P(|1.96)12P(1.96)120.0250.950.答案C拓展提升利用正态密度曲线图象的性质，即正态曲线关于直线对称例3已知N(4，2)，且P(26)0.6826，则_，P(|2|4)_.解析N(4，2)且P(26)0.6826，4，结合“3”原则可知2.P(|2|4)P(26)P(22)P(26)P(210)P(26)P(26)P(210)P(26)P(33)P()(0.99740.6826)0.84.答案20.84拓展提升求在某个区间内取值的概率的方法(1)利用X落在区间(，(2，2，(3，3内的概率分别是0.6826,0.9544,0.9974求解(2)充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解熟记正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等P(Xa)1P(Xa)；P(Xa)设N(2,1)，试求：(1)P(13)；(2)P(34)；(3)P(0)解N(2,1)，2，1.(1)P(13)p(2121)P()0.6826.(2)P(34)P(01)P(22)P(4)，P(0)1P(04)(10.9544)0.0228.探究正态分布的应用例4某年级的一次数学测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，那么(1)成绩不及格的人数占总人数多少？(2)成绩在8090分内的学生占总人数多少？解(1)设学生的得分为随机变量X，则XN(70,102)，其中70，10.成绩在6080分之间的学生人数的概率为P(7010X7010)0.6826，不及格的人数占(10.6826)0.1587.即成绩不及格的学生人数占总人数的15.87%.(2)P(7020X7020)0.9544，成绩在8090分内的学生占P(50X90)P(60Xc)a，则P(X4c)等于()AaB1a C2aD12a答案B解析因为X服从正态分布N(2，2)，所以正态曲线关于直线x2对称，所以P(X4c)P(Xc)1a.3已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩XN(110,52)，据此估计，大约